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Wizardに尋ねる #411

たとえカジノが全てのゲームでハウスエッジを0%にできたとしても、利益は出るはずだと私は主張します。これはプレイヤーの資金管理が悪く、カジノに比べてプレイヤーの資金が限られていることが原因です。あなたはこれに賛成ですか？

匿名

いいえ、同意しません。

資金管理は過大評価されている。ルーレットのような運のゲームでは、プレイヤーがどのようにプレイしても、ハウスエッジはどちらの方向にも下がることはない。

カジノはプレイヤーが破産するまで耐えられるという議論については、カジノが先に破産する可能性もある。1万ドルの資金を持つプレイヤーが、MGMミラージュ傘下のカジノと対戦することを考えてみよう。本稿執筆時点でのMGMミラージュの時価総額は111億6800万ドルである。さらに、議論のために、同社が自社株を100%保有していると仮定しよう。もしプレイヤーがどちらかが破産するまでプレイした場合、会社全体を獲得する確率は1,116,801分の1となる。プレイヤー数が多いことを考えると、最終的には誰かが勝つことになるだろう。

各州の人口に応じて議席が割り当てられることは知っています。しかし、具体的にはどのように計算されているのでしょうか？何らかの計算方法があるはずです。総人口は変わらないのに、州の人口が増えて議席が減るということはあり得るのでしょうか？

匿名

簡単に答えると、各州は少なくとも1議席からスタートします。そして、その議席から「最大の利益」を得られる州に、1議席ずつ追加議席が与えられます。

「最大利益」の計算方法はさらに複雑になります。詳細は以下のとおりです。

  1. 「乗数」は、(1) 追加議席による総議席数の増加率と、(2) 州が実際より1議席多く確保できた場合の総議席数の増加率の幾何平均として計算します。式に表すと、現在の議席数をnとすると、乗数は1/sqrt(n*(n+1))となります。
  2. 「優先度値」を、乗数と州の人口の積として計算します。

この計算をすべての州について行います。優先順位が最も高い州が次の議席を獲得します。

例えばネバダ州を見てみましょう。2020年の人口は3,104,614人で、すでに4議席が確保されています。乗数は1/sqrt(4*5) = 1/sqrt(20) = 0.223607です。優先順位は3,104,614 * 0.223607 = 694,213です。

質問とは関係ありませんが、もし議会が436議席を追加した場合、それはニューヨークになります。以下の表は、全50州の優先順位を順に示しています。

州人口現在の座席乗数優先度値
ニューヨーク20,201,249 26 0.037743 762,447
オハイオ州11,799,448 15 0.064550 761,651
テキサス29,145,505 38 0.025976 757,090
フロリダ21,538,187 28 0.035093 755,842
アリゾナ7,151,502 9 0.105409 753,835
カリフォルニア39,538,223 52 0.019048 753,143
バージニア州8,631,393 11 0.087039 751,266
アイダホ州1,839,106 2 0.408248 750,812
ミシガン州10,077,331 13 0.074125 746,981
ニュージャージー9,288,994 12 0.080064 743,715
ペンシルベニア州13,002,700 17 0.057166 743,315
マサチューセッツ州7,029,917 9 0.105409 741,018
ジョージア10,711,908 14 0.069007 739,192
ワシントン7,705,281 10 0.095346 734,670
イリノイ州12,812,508 17 0.057166 732,442
ウェストバージニア州1,793,716 2 0.408248 732,281
ユタ州3,271,616 4 0。223607 731,556
テネシー州6,910,840 9 0.105409 728,466
メリーランド州6,177,224 8 0.117851 727,993
ミズーリ州6,154,913 8 0.117851 725,363
オクラホマ3,959,353 5 0.182574 722,876
ノースカロライナ州10,439,388 14 0.069007 720,386
ルイジアナ州4,657,757 6 0.154303 718,708
インディアナ州6,785,528 9 0.105409 715,257
アイオワ3,190,369 4 0.223607 713,388
デラウェア州989,948 1 0.707107 699,999
ケンタッキー州4,505,836 6 0.154303 695,266
ウィスコンシン州5,893,718 8 0.117851 694,581
ネバダ州3,104,614 4 0.223607 694,213
サウスカロライナ州5,118,425 7 0.133631 683,978
コロラド州5,773,714 8 0.117851 680,439
アーカンソー州3,011,524 4 0.223607 673,397
ミネソタ州5,706,494 8 0.117851 672,517
アラバマ州5,024,279 7 0.133631 671,398
ミシシッピ州2,961,279 4 0.223607 662,162
コネチカット州3,605,944 5 0.182574 658,352
カンザス州2,937,880 4 0.223607 656,930
オレゴン4,237,256 6 0.154303 653,823
サウスダコタ州886,667 1 0.707107 626,968
ニューメキシコ2,117,522 3 0.288675 611,276
ハワイ1,455,271 2 0.408248 594,112
ネブラスカ州1,961,504 3 0。288675 566,237
ニューハンプシャー州1,377,529 2 0.408248 562,374
メイン州1,362,359 2 0.408248 556,181
ノースダコタ州779,094 1 0.707107 550,903
アラスカ733,391 1 0.707107 518,586
バーモント州643,077 1 0.707107 454,724
ロードアイランド州1,097,379 2 0.408248 448,003
モンタナ1,084,225 2 0.408248 442,633
ワイオミング州576,851 1 0.707107 407,895
合計3億3075万9736 435 0.002296 759,495

2つ目の質問については、はい、可能です。実際にそのような状況が起こった例を見つけるのに、しばらく時間がかかりました。まず、以下の6つの州がある架空の国を考えてみましょう。合計15議席の場合、議席配分は次のようになります。

州人口現在の座席乗数優先度値
混乱900 3 0.288675 259.807621
拒否800 3 0.288675 230.940108
至福700 3 0.288675 202.072594
うつ600 2 0.408248 244.948974
リンボ500 2 0.408248 204.124145
不安400 2 0.408248 163.299316
合計3,900 15

次に、国勢調査が行われ、人口が大幅に変化したものの、総人口は 3,900 人で変わらず、不安郡の人口が 400 人から 401 人に増加したと仮定します。不安郡は 15 州のうち 1 議席しか獲得できません。

州人口現在の座席乗数優先度値
混乱1,885 7 0.133631 251.893721
拒否405 2 0.408248 165.340558
至福404 2 0.408248 164.932309
うつ403 2 0.408248 164.524061
リンボ402 1 0.707107 284.256926
不安401 1 0.707107 283.549819
合計3,900 15

強調しておきたいのは、このような状況を見つけるために、かなり長い間数字をいじくり回さなければならなかったということです。全体的に見て、この方法は非常に公平だと感じています。

高さ 81 の長方形に 2 つの円が内接しています。長さ 56 の線分が両方の円の端まで伸びており、円が交わる場所を通り、長方形の垂直の端と平行になっています。

長方形の幅はどれくらいですか?

匿名

98

これが私の解決策です（PDF）。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。