Wizardに尋ねる #414

ある人が私にこんな賭けを挑んできました。6面サイコロを2つ振り、以下のどちらかが起こるまで賭けるのです。

7が2つ揃ったら、イーブンマネーで私が勝ちます。合計7になる確率が高いので、私が有利ではないでしょうか？しかし、トリックがあるのではないかと疑っています。どちらが有利だったのでしょうか？

匿名

相手側が有利でした。それぞれの合計が出る確率は次のとおりです。

確率 p のイベントを達成するための平均待機時間は 1/p です。

合計が7になる確率は1/6です。つまり、平均すると合計が7になるには6回振る必要があります。2回連続で7が出るには、平均12回振る必要があります。

合計が6または8になる確率は(5/36) + (5/36) = 10/36です。6と8はどちらの順番でも出せることに注意してください。したがって、6または8のいずれかが出る確率は1/(10/36) = 36/10 = 3.6となります。

6と8の合計が最初の値に達した後、もう1つの値が出る確率は5/36です。2つ目の値が出るまでの待ち時間は、1/(5/36) = 36/5 = 7.2回です。

したがって、6と8の両方が出る場合の期待値は、どちらの順番であっても3.6 + 7.2 = 10.8です。これは、7が2つ出る場合の12よりも小さいです。したがって、6と8に賭ける方が、この賭けでは有利です。

イコサヘドロン（20面体サイコロ）を振ります。プレイヤーは出た目の数を保持するか、1ドル支払ってもう一度サイコロを振るかを選択できます。プレイヤーはこのゲームを無制限に繰り返します。このゲームをプレイするための正しい戦略と適正な価格はいくらでしょうか？

匿名

プレイヤーが受け入れる最低のロールが r だとします。

その目標が達成されると、平均結果は (20+r)/2 になります。

1回のロールで目標が達成される確率は(21-r)/20です。したがって、目標達成の期待ロール回数はその逆数、つまり20/(21-r)となります。

rを振るという目標の場合、期待される勝利は(20+r)/2 - 20/(21-r)となります。rの妥当な値に対する期待勝利をいくつか示します。

したがって、15 以上を出すことを目標にした場合、期待される勝利は最大で 15.17 ドルになります。

この問題は、プレシュ・タルワルカー著『 Math Puzzles Volume 3』のパズル22から抜粋したものです。この本では100面サイコロが使われています。

テニスにおいて、サーバー側が特定のポイントに勝つ確率をpと仮定します。スコアがアドアウト、デュース、またはアドインの場合、サーバー側がゲームに勝つ確率はどれくらいでしょうか？

匿名

他の読者のために補足すると、テニスでは2ポイント差で勝たなければゲームに勝てません。1ポイント差で負けていることをアドアウト、1ポイント差で勝っていることをアドインと呼びます。

用語をいくつか作ってみましょう。

ここから、次のようにマルコフ連鎖を形成できます。

上記の最初の方程式と 3 番目の方程式を 2 番目の方程式に代入して、b について解いてみます。

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = p ² + pb - p ² b + pb - p ² b

簡単な代数計算で次のようになります...

b = p ² /(1-2p+2p ² )

そこから、最初の式と 3 番目の式を使用して a と c を簡単に見つけることができます。

次の表は、さまざまな p 値に対する 3 つの可能な段階での確率を示しています。

p	広告アウト	デュース	広告掲載
0.1	0.001220	0.012195	0.110976
0.2	0.011765	0.058824	0.247059
0.3	0.046552	0.155172	0.408621
0.4	0.123077	0.307692	0.584615
0.5	0.250000	0.500000	0.750000
0.6	0.415385	0.692308	0.876923
0.7	0.591379	0.844828	0.953448
0.8	0.752941	0.941176	0.988235
0.9	0.889024	0.987805	0.998780