Wizardに尋ねる #416
プールは塩水で満たされています。ホースから一定の速度で真水がプールに流れ込みます。真水がプールに流れ込むと同時に、反対側からも同じ速度で水が流れ出ます。プールの容積と同じ量の水をプールに流し込んだ後、塩水はどのくらいの割合で残りますか？
これが私の解決策です（PDF）。
ゲームショーでは、0ドルから20ドルまでの賞品が提供されます。賞品は、均一かつ連続的な分布に従ってランダムに決定されます。賞品提供後、賞品をそのまま受け取るか、1ドルを支払って新たな賞品を選ぶことができます。この操作は何度でも行うことができます。
最適な戦略は何ですか? また、この戦略に従うと予想される勝利は何ですか?
x を、受け入れ可能な最小値とします。
x の平均値は (20+x)/2 です。
与えられたオファーを受け入れる確率は (20-x)/20 です。
拒否するオファーの平均数は、1/((20-x)/20) = 20/(20-x) です。
f(x) = 平均最終勝利 = (20+x)/2 - 20/(20-x) とします。
最大勝利を求めるには、f'(x)=0 のときの x を解きます。
f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0
20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2
x^2 - 40x + 400 = 40
x^2 - 40x + 360 = 0
二次方程式の公式を使用して x を解きます...
x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13.67544468.
つまり、平均勝利額は (20 + 13.67544468)/2 - 20/(20-13.67544468) =~ 14.675445 となります。
平方根(3-x) = 3-x 2
x について解きます。
両辺を二乗すると3-x = x 4 - 6x 2 + 9となる。
f(x) = x 4 - 6x 2 + x + 6 = 0
次に、有理根定理を使用して x の因数を見つけます。
可能な根は x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) です。
x=-1 の場合、f(x) = 0 になります。したがって、(x+1) は因数です。
x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1)(x 3 - x 2 -5x + 6)
有理根定理を再度適用すると、x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) の可能な根が得られます。
試行錯誤してみると、x=2が解であることが分かります。つまり、(x-2)は因数です。
x 3 - x 2 -5x + 6 = (x-2)(x 2 + x + 3)
二次方程式の公式を使ってx 2 + x + 3 = 0を解くと、x = (-1 +/- sqrt(13))/2が得られます。
したがって、すべての解はx = -1、2、(-1 + sqrt(13))/2、(-1 - sqrt(13))/2です。