Wizardに尋ねる #421

すべてのプレーヤーのスキルが同等であると仮定した場合、ピクルボールで最初にサーブを打ったチームがゲーム全体に勝つ確率はどれくらいでしょうか?

匿名

残りの読者に、ピックルボールの得点ルールを思い出してもらいたいと思います。

最初に 11 ポイントを獲得し、少なくとも 2 ポイント差で勝利したチームがゲームに勝利します。
各チームには 2 人のプレーヤーがおり、プレーヤー 1 とプレーヤー 2 と呼びます。2 つのチームを A と B とし、A が最初にサーブを打つとします。
チームAのプレーヤー2がサーブを打つ。
ステップ3でチームAがラリーに勝った場合、ポイントを獲得し、同じ人が再びサーブを打つ。これをチームBがラリーに勝つまで続ける。
チームBのプレーヤー1がサーブを打つ。
ステップ5でチームBがラリーに勝った場合、ポイントを獲得し、同じ人が再びサーブを打つ。これをチームAがラリーに勝つまで続ける。
チームBのプレーヤー2がサーブを打つ。
ステップ5でチームBがラリーに勝った場合、ポイントを獲得し、同じ人が再びサーブを打つ。これをチームAがラリーに勝つまで続ける。
チームAのプレーヤー1がサーブを打つ。
ステップ7でチームAがラリーに勝った場合、ポイントを獲得し、同じ人が再びサーブを打つ。これをチームBがラリーに勝つまで続ける。
ルール3に戻ります。

レシーブチームはポイントを獲得できませんのでご注意ください。レシーブチームはサーブを奪い返すためにプレーしています。

簡単に説明すると、同じ人がサーブを打つゲームで、相手チームがラリーに勝つまで、ラリーに勝つたびにポイントを獲得します。レシーブするチームはポイントを獲得しません。サーブの順番が交代すると、サーブを打つチームの両方の選手にサーブの機会が与えられます。オッズを公平にするため、どちらかのチームの2番目の選手がサーブを打つゲームから開始します。どちらかのチームが11ポイント以上を獲得し、かつ勝利点の差が2点以上になるまで、このゲームは続きます。

とはいえ、私の答えは、サーブ側のチームが勝つ確率は0.499999997522です。これはマルコフ連鎖を用いて解かれました。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。

1 から 54 の範囲から 6 個のボールがランダムに選ばれる宝くじがあるとします。50 回の抽選で少なくとも 1 個のボールが抽選されない確率はどれくらいでしょうか。

KevinAA

答えは0.140150159777671です。

[spoiler=解決策]

まず、50回の抽選で特定の数字が出ない確率はどれくらいかを考えてみましょう。答えは (combin(53,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0.002769325 です。

50 回の抽選でどの数字も出ない確率を求めるには、上記の数値に 54 を掛けます: 54 × 0.002769325 = 0.149543533246569。

しかし、これは50ゲーム中2つの数字が呼ばれない状況を二重にカウントしていることになります。50ゲーム中2つの特定の数字が呼ばれない確率は、(combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.788260 ⁵⁰ = 0.00000681512です。54個のボールの中から任意の2つのボールを選ぶ方法は、combin(54,2)=1431通りあります。したがって、50ゲーム中2つのボールが呼ばれない確率は、1431 × (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.009752432となります。

つまり、今は 0.149543533246569 - 0.009752431939662 = 0.139791101306907 です。

しかし、上記の二重カウント調整では、50ゲーム中3つの数字が呼ばれない状況も二重カウントされます。その確率は、combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.000367891216781です。

つまり、今は 0.149543533246569 - 0.009752431939662 + 0.000367891216781 = 0.140158992523688 です。

これを繰り返し、足し算と引き算を交互に繰り返します。Excelは約15桁の有効数字しか扱えないので、15桁以内の正しい数字を求めるには、8桁の欠落数字だけを足し算すれば十分です。

最終的に、確率は 0.140150159777671 になります。

[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

あるイベントの公正なオッズが 6.3 対 1 だとします。スポーツブックは、この賭けを 6 対 1 で提供します。優勢なチームが勝つことに賭け、劣勢なチームと同じハウスエッジで賭けを提供したい場合、どのようなオッズを提供すべきでしょうか。

匿名

公平なオッズが 6.3 対 1 の場合、勝つ確率は 1/7.3 です。

勝ち目のないチームに賭けた場合、配当は 6 対 1 となり、これは 7 対 1 と同じです。つまり、期待される勝利額は 7/7.3 = 70/73 = 0.958904 となります。

優勝候補が勝つ確率は 6.3/7.3 = 63/73 です。