ブラックジャック - 確率

これは統計学の入門クラスでよく出題される典型的な問題です。多数の確率変数の和は常にベル曲線に近づくため、中心極限定理を用いて答えを導き出すことができます。

ハウスエッジに関する私のセクションでは、ブラックジャックの標準偏差は1.17であることがわかりました。統計学を学んだことがない方には理解できないかもしれませんが、あなたの例で損失が出る確率はZ統計量で45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91となります。

基本的な統計学の書籍には、Z統計量0.8186を示す標準正規分布表が掲載されているはずです。つまり、あなたの例で先行する確率は約18%です。

ディーラーがソフト17でスタンドした場合、約29.1%の確率でバーストします。ディーラーがソフト17でヒットした場合、約29.6%の確率でバーストします。私のブラックジャック付録4によると、ネットウィンの確率は42.42%です。しかし、タイをスキップすると、確率は46.36%になります。つまり、4連勝する確率は0.4636 ⁴ = 4.62%となります。

親切なお言葉ありがとうございます。ディーラーが5から16を引くような連勝は避けられませんが、予測はできません。ブラックジャックはルーレットのように完全に独立した試行のゲームではありませんが、デッキ自体が連勝しやすいわけではありません。カードカウンターを使わない人にとっては、各ラウンドのオッズは一定であると想定されるかもしれません。デッキ構成による多少の影響を除けば、過去5回連続で5から16を引いたディーラーは、数時間にわたって16でバストしていたディーラーと、次回も同じ結果になる可能性は同じです。

私のブラックジャック付録4によると、ブラックジャックにおける全体的な勝利の確率は42.22%、引き分けは8.48%、負けは49.10%です。ここでは、連勝の計算において引き分けを無視すると仮定します。その場合、ベットが成立した場合の勝利の確率は46.36%です。n回連続で勝つ確率は0.4636 ⁿです。つまり、6回連続で勝つ確率は0.99%、7回連続で勝つ確率は0.46%です。

あなたが経験したことは、おそらくひどい連敗の結果でしょう。また、プログレッシブベッティングや戦略ミスの結果かもしれません。ベーシックストラテジーのフラットベッターは、急激な変動と急激な変動に関してほぼ対称的な期待値を持つはずです。ハウスエッジと、負ける確率が48%であるのに対し、勝つ確率は43%であるため、急激な変動がやや有利です。私は楽しみのためにプレイしているのであれば、もう楽しくなくなったらテーブルを去ります。

nをデッキの数とします。ブラックジャックの確率は2*(4/13)*(4n/(52*n-1))です。n=6の場合、確率は192/4043 = 4.75%となります。

親切なお言葉をありがとうございます。良いご質問ですが、明確な答えはありません。これは程度の問題で、プレイすればするほど、結果はハウスエッジに近づいていきます。最近、ブラックジャックの付録4を標準偏差に関する情報に差し替えました。役立つかもしれません。例えば、この表には、ブラックジャックを10,000ハンドプレイした場合、ハウスエッジによる予想損失を差し引いた後、開始時よりも192ユニット以内で終了する確率が90%であることを示しています。つまり、10,000ハンドでは、ランダムな変動により、賭けた合計金額の2%未満しか勝ち負けがない可能性があります。しかし、100万ハンドまでプレイすると、運による0.2%の変動の確率が90%になります。一般的に、平均値の変動はプレイするハンド数の平方根に反比例します。これはすべてフラットベッティングを前提としており、そうでない場合は計算が非常に複雑になります。

最初のカードがエースである確率は4/52です。2枚目のカードが10ポイントのカードである確率は16/51です。つまり、ブラックジャックで最初にエースが出る確率は(4/52)*(16/51)です。10ポイントのカードが出る可能性もあるので、この値を2倍すると、答えは2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0.0482655、つまり約20.7分の1となります。

この問題が提出されてから、2009年5月23日、アトランティックシティで、あるプレイヤーがサイコロを154回振りました。この確率は5,590,264,072分の1です。1回から200回までの任意の回数のサイコロを投げた場合の確率については、私のクラップスサバイバル表をご覧ください。問題を解く方法については、私のMathProblems.infoサイトの問題204をご覧ください。

期待損失は100×$5×.005=$2.50となります。1ハンドの標準偏差は1.17で、これは私のブラックジャックの付録7に記載されています。つまり、あなたの例における1標準偏差は$5×1.17×sqr(100)=$58.5となります。つまり、不運によって$295以上を失う確率は.00135（-3のZ統計量）です。

2組のカードには合計103枚のカードがあり、そのうち32枚は10です。つまり、ブラックジャックの確率は32/103=31.07%です。

6 デッキのゲームでスーツが同じブラックジャックになる確率は、2*(4/13)*(6/311) = 0.0118723 です。

2つの順序があることを忘れています。エースか10のどちらかが先になる可能性があるのです。2倍すれば答えが出ます。

スタンフォード・ウォンの『ベーシック・ブラックジャック』によると、最初のカードがエースの場合のプレイヤーの優位性は50.5%（124ページ）とされています。しかし、あなたの質問は「もう1枚のカードが10でない場合、エースの価値はいくらか」と言い換えることができます。単純化のために無限のデッキを使うと、ウォンの数字は次のように分解できます。0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x（xはあなたが知りたい値）です。簡単な代数計算をすると、x=28.5%となります。

はい！いい質問ですね。私も知りませんでした。デッキ数が少なく、カードの枚数が多いほど、この傾向は強くなります。ヒットに有利になる可能性が最も高い、デッキ数8でカードが3枚だけのケースをテストするために、あらゆる状況を想定した組み合わせプログラムを実行しました。次の表に結果を示します。

一番下の行の右側の2つの数字は、ヒットした場合の全体的な期待値が-0.540355、スタンドした場合の期待値が-0.540293であることを示しています。つまり、スタンドの方がわずかに有利なプレイです。このルールに従うと、1117910ハンドごとに1ユニットの追加利益が得られます。このアドバイスによってプレイヤーが1ユニット節約できるようになるまで、週40時間ブラックジャックをプレイして約5年かかります。

私のブラックジャック付録9Hによると、16が10と6で構成されていると仮定すると、スタンドの期待リターンは-0.476476、ヒットの期待リターンは-0.408624です。つまり、ヒットした場合、1ドルのベットにつき6.79セント節約できます。これは限界的なプレイですらありません。ヒットすべき理由を説明するサウンドバイトはありません。これらの期待値は、ハンドが展開する可能性のある無数の展開をすべて考慮に入れています。10億ハンドに対する最善のプレイは、1ハンドに対する最善のプレイです。基本戦略から逸脱したい場合は、12対3、12対4、13対2、16対10などの境界線上のプレイがあります。これらのハンドで逸脱すれば、コストははるかに少なくなります。

(1) ディーラーがブラックジャックを持っている場合、どうなるかによって決まります。プレイヤーが最初の賭け金以上の損失を出さないことが保証されている場合、ディーラーが2枚目のカードを引くかどうかは関係ありません。プレイヤーがダブルまたはスプリット後に賭けた金額の全額を失うことになり、ディーラーがブラックジャックを持っている場合、ディーラーに有利になります。(2) プレイヤーの数は関係ないため、シミュレーションする必要はありません。

デッキの数によって異なります。デッキの数がnの場合、確率は2*pr(ace)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1))となり、約21分の1となります。デッキの数を変えた場合の正確な答えは次のとおりです。

ブラックジャックの確率がpだとすると、10回のハンドでブラックジャックが出ない確率は1-(1-p) ¹⁰です。例えば6デッキのゲームでは、答えは1-0.952511 ¹⁰ = 0.385251となります。

ハンド間でシャッフルは発生しないと仮定します。他の3人のプレイヤーは関係ありません。答えは2 ³ *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47)= 0.00004401、つまり約22722分の1となります。ハンド間でシャッフルが発生した場合、確率は大幅に上昇します。

手札の数は関係ありません。確率は2*(4/13)*(8/103) = 0.0478です。

ブラックジャックのシャッフルの有無によって異なります。シャッフルがないと仮定した場合、確率は8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0.000044011058となります。他のプレイヤーの数は、シャッフルを引き起こす場合を除き、関係ありません。

運が良さそうなら賭け金を増やすのは構いません。重要なのは、カードを正しくプレイすることです。カードを数えているのでない限り、好きなだけ賭ける自由があります。いつも言っているように、すべてのベッティングシステムは等しく無価値なので、長期的に見れば、行き当たりばったりの賭けはフラットベッティングと同じくらい良い結果をもたらします。8回連続で負ける確率が173分の1だと言ったのは、次のハンドから8回連続で負ける確率が173分の1だという意味です。1回のセッションで8回連続で負ける確率は、セッションが長くなるほど高くなります。これでご質問への回答になったかと思います。

残りの2枚のカードが10点のカード2枚である場合、この確率は4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6)で、22,307,231分の1です。ただし、同じハンドで4枚のエースが揃う可能性は他にもあります。例えば、最後のカードが8や9になることもあります。他の組み合わせをすべて考慮するには、コンピューターシミュレーションを行う必要があります。とはいえ、大まかに推測するなら、700万という数字が妥当でしょう。

ペアのスプリットを正しく理解するのに、私自身も何年もかかりました。Gambling ToolsのCindyさんはとても助かりました。Peter Griffin氏も『The Theory of Blackjack』の第11章でこのトピックについて触れています。例えば、ディーラーが2ハンドの場合に8ハンドをスプリットした場合の期待値を調べたいとします。リスプリットは最大4ハンドまで可能です。私が行った方法は以下の通りです。

1. 靴から 2 と 8 を 2 つ取り出します。
2. プレイヤーがどちらの手でも 3 つ目の 8 を出さない確率を決定します。
3. 8以外のすべてのランクを調べ、デッキからそのカードを引き、そのカードと8のカードをプレイし、期待値を求め、2倍します。各ランクについて、そのランクの確率を求めます。ただし、他の8の確率は0です。各ランクの確率と期待値の内積を求めます。
4. このドット積に手順 2 の確率を掛けます。
5. プレイヤーが 3 つのハンドに再分割する確率を決定します。
6. デッキからさらに 8 枚を取り出します。
7. 手順 3 を繰り返しますが、2 ではなく 3 を掛けます。
8. ステップ 7 のドット積にステップ 5 の確率を掛けます。
9. プレイヤーが 4 つのハンドに再分割する確率を決定します。
10. 靴からさらに 8 を 2 つ取り出します。
11. 手順 3 を繰り返しますが、2 ではなく 4 を掛けます。今回は、プレイヤーが再分割を停止せざるを得ない状況に対応して、3 枚目のカードとして 8 を取得することを検討します。
12. ステップ 11 のドット積をステップ 9 の確率で乗算します。
13. 手順 4、8、12 の値を追加します。

この中で一番難しいのはステップ3です。確率木を使って決定する長い式がぎっしり詰まった、とても見苦しいサブルーチンを作っています。ディーラーが10かエースを持っていると、特に見苦しくなります。

6組のカードがあり、プレイヤーは常に3枚目のカードを取る（ヒットまたはスプリットによる）と仮定しましょう。3枚のスートの7を引き出す方法は、スートの数（4）と、シューにあるそのスートの6枚の7から3枚を選ぶ方法の数を掛け合わせた数です。つまり、4× combin (6,3)=4×20=80です。3枚の色の7（スートの7を含む）を引き出す方法は、色の数と、その色のシューにある12枚の7から3枚を選ぶ方法の数を掛け合わせた数で、つまり、2×combin(12,3)=2×220=440です。3枚の色の7とスートの7を含む、任意の3枚の7を引き出す方法は、シューにある24枚の7から3枚を選ぶ方法の数で、つまり、combin(24,3)=2024です。 312枚のカードのうち、任意の3枚の組み合わせの総数は、combin(312,3)=5013320です。したがって、同じスーツの7が3枚揃う確率は80/5013320=0.000015957です。スーツが異なっていても色の違う7が3枚揃う確率は(440-80)/5013320=0.0000718です。異なる色の7が3枚揃う確率は(2024-440)/5013320=0.00031596です。

はい、ブラックジャックのオッズを計算するのに組み合わせ論的なアプローチを使っています。プレイヤーとディーラーのカードが出てくるあらゆる可能性を分析し、あらゆる決定ポイントで最大の期待値を取るのです。これはシミュレーションよりもプログラミングが難しいですが、再帰プログラミングにおいてはよりエレガントで、良い挑戦になると思っています。とはいえ、シミュレーションを行う同僚の姿勢は尊敬しています。今日のコンピューターなら、10億回の賭けを実行するのにそれほど時間はかかりません。これは最適な戦略のリターンに非常に近い値です。

エースの再スプリットが許可されている場所はそれほど多くないので、許可されている場所でプレイできたことを喜ぶべきです。座席の位置は関係ありません。この確率は、シューから出てくる最初の4枚のカードがエースで、次の4枚が10である確率、つまり(combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 4,034,213分の1です。

少なくとも月に一度は、この質問のバリエーションを受け取っているようです。計算を簡単にするために、今は毎回ハンド後にデッキがシャッフルされると仮定しましょう。何かが起こる確率がpだとすると、それがn回連続して起こる確率はp ⁿです。シングルデッキゲームでブラックジャックが出る確率は4*16/combin(52,2) = 64/1326です。つまり、4回連続で出る確率は(64/1326) ⁴ = 16777216/ 3091534492176 = 1/184270となります。しかし、実際の確率ははるかに低くなります。なぜなら、プレイヤーがブラックジャックを出すたびに、デッキに残っているカードに対するエースの比率が減少するからです。ディーラーがどんなカードを引いたかがわからないので、正確な答えはわかりません。

どういたしまして。褒めていただきありがとうございます。6デッキのシュー（プラス3枚のジョーカー）からジョーカーが3枚連続で配られる確率は、1/combin(315,3) = 5,159,805分の1です。別の解は(3/315)*(2/314)*(1/313)です。

正当なブラックジャックの専門家は皆、他のルールが同じであれば、デッキ数が減るにつれてハウスエッジが減少することに同意しています。しかし、その理由を説明するのは困難です。まず、シングルデッキではマルチデッキよりもスモールカードとビッグカードが1枚ずつ出る確率が高いのは事実です。例えば、スモールカードを2から6、ラージカードを10ポイントのカードまたはエースと定義すると、シングルデッキでそれぞれ1枚ずつ出る確率は2*(20/52)*(20/51) = 30.17%です。8デッキでは2*(160/416)*(160/415) = 29.66%です。スティフはどちらの方法でもカットできますが、プレイヤーはスタンドする自由がありますが、ディーラーは必ずヒットしなければなりません。

確率は次のとおりです。

プレイヤー1 0.048265
プレイヤー2 0.036735
プレイヤー3 0.024823
ディーラー 0.012560

この積は 1,808,986 分の 1 です。

お褒めいただきありがとうございます。残念ながら、私自身も含め、ゲーム分析のコードを提供している情報源を知りません。ブラックジャックのエンジンを完璧に動作させるのに何年もかかりました（ディーラーが10かエースを出している場合のスプリットは非常に難しかったです）。ブラックジャックのハウスエッジを簡単に得るには、ランダムシミュレーションを書くことです。いつか、ゲーム分析の方法について本を書きたいと思っていますが、買ってくれるのはあなただけかもしれません。

2*(4/13)*(4n/(52n-1))

確率は (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 3,248,700 分の 1 です。

お褒めいただきありがとうございます。

ディーラーがソフト 17 でスタンドし、プレイヤーが基本戦略をプレイする 6 デッキ ゲームを想定して、1 億ハンド シミュレーションに基づく概算結果を以下に示します。

ハウスエッジのないゲームの場合、どのようなシステムを使っても、5,000ドルを賭けて200ドルを獲得する確率は、5000/(5000+200) = 96.15%になります。バンクロールbでwに勝つための一般的な公式は、b/(b+w)です。つまり、バンクロールが大きいほど、勝率は高くなります。ハウスエッジは、定量化が難しい程度に勝率を低下させます。ブラックジャックのようなハウスエッジの低いゲームでは、勝率の低下はわずかです。確実に知るには、ランダムシミュレーションを行う必要があります。その点については、あえて触れないことにいたしますが、VegasClickは、マーチンゲール法の勝率に関する小規模なシミュレーションを実施しました。

これは正しくありません。オッズがプレイヤーに有利に振れるには、残りのデッキが一定以上の偏りを示さなければなりません。1デッキゲームで、どのスーテッドペアに対しても3対1の配当が支払われる仮想的なサイドを考えてみましょう。デッキのトップカードの勝率は4*コンビン(13,2)/コンビン(52,2) = 23.53%です。しかし、異なるスートのカードを2枚バーンした場合、勝率は2*(コンビン(13,2)+コンビン(12,2))/コンビン(50,2) = 23.51%に低下します。同じスートのカードを2枚バーンした場合、勝率は(3*コンビン(13,2)+コンビン(11,2))/コンビン(52,2) = 23.59%に上昇します。各ランクのカードを1枚ずつ取り除くと、勝率は4*combin(12,2)/combin(48,2) = 23.40%に低下します。つまり、カードが均一に分布して取り除かれると勝率は低下しますが、非常に偏った分布になると勝率は上昇します。デッキをプレイしていくにつれて勝率は上がることもあれば下がることもありますが、長期的には平均化され、勝率は23.53%のままです。

典型的なラスベガスのルール（6デッキ、ディーラーはソフト17をヒット）では、常にスタンドした場合のハウスエッジは15.7%です。短期的にはまだこの数字を克服できるかもしれませんが、長期的には大きな損失を被ることになります。

すごい！この確率は、(combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 287,209,346,813,617分の1です。

その確率は、52/ combin (260,5) = 5/9525431552 = 1,905,086,310 分の 1 となります。

ラスベガスストリップのリベラルなルール（6デッキ、ディーラーはソフト17でスタンド、スプリット後のダブル可、レイトサレンダー可、エースの再スプリット可）を前提とすると、最初の2枚のカードでダブルした場合の各結果の確率は以下のとおりです。ただし、スプリット後のダブルは含まれません。

私のブラックジャックの付録 4から、各初期ハンドの次の確率がわかります。

• 勝率42.43%
• 49.09%の損失
• 抽選 8.48%

つまり、19連敗する確率は0.4909^19*(1-0.4909) = 1,459,921分の1です。ちなみに、ビデオポーカーでロイヤルフラッシュが出る確率は649,740分の1、つまり2.25倍です。熱心なビデオポーカープレイヤーはロイヤルフラッシュを何度も出すことが知られているので、ブラックジャックをよくプレイする人なら、いずれそのような連敗に見舞われる可能性が高いでしょう。

付録18に示されているように、手札の枚数に応じて戦略が変化する理由は、デッキからカードが1枚減るごとに、残りのカードの確率が変化するためです。良い例として、シングルデッキの基本戦略では、10に対して7,7の場合はサレンダーしますが、それ以外の14の場合はヒットすべきです。サレンダーすべき理由は、7の半分が既にデッキから取り除かれているからです。ディーラーの20に勝てる唯一の手札である21を作るには、さらに7が必要です。つまり、7が不足するとヒットの期待値は賭け金の半分以下に下がり、サレンダーの方がより良い戦略となります。

8デッキのシューには416枚のカードがあります。これは多いように思えるかもしれませんが、16対10はギリギリのハンドなので、1枚でも減らすとスタンドした方が有利になることがあります。ルールでは、8デッキ以下の場合、16が3枚以上のカードで構成され、ディーラーが10を持っている場合はスタンドすべきです。2枚の16の場合、カード1枚あたりの平均ポイントは8点、3枚の16の場合は5.33点です。3枚のハンドでデッキから小さなカードが増えると、残りのデッキは大きなカードが多くなり、ヒットするリスクが高まり、スタンドする確率が高くなります。

このルールはプレイヤーにとって0.026%の価値があることを示しています。ディーラーが2-7に対して7-7をヒットするインセンティブがあるにもかかわらず、プレイヤーは依然として基本戦略に従い、スプリットするべきです。

私のブラックジャック付録14によると、最初のカードが6の場合、期待値は既に約-21%です。例えば、相手が100ドルベットした場合、ハンドを売却してベットする適正価格は約79ドルです。相手が不満を漏らしている隙に、適正価格の79セントよりも低い価格でハンドを売却することを提案してみてはいかがでしょうか。あまり有利になりすぎずに優位に立つには、75セントをお勧めします。

他の読者のために、完全なルールは次のとおりです。

• シングルデッキ。
• ディーラーはソフト17でスタンドします。
• ブラックジャックで勝つと、同額のお金が支払われます。
• プレイヤーは最初の 2 枚のカードをダブルすることができます。
• 分割後にダブルは発生しません。
• プレイヤーはエースを含む 4 つのハンドに再分割することができます。
• エースをスプリットするためのドローはありません。
• 降伏はしない。
• 6 カード チャーリー (6 枚のカードを持っていないプレイヤーは自動的に勝利します)。
• 各ハンドの後にカードがシャッフルされます。
• ゲームでカードがなくなった場合、破産していないプレイヤーの手札はすべて自動的に勝ちます。

トータル依存型基本戦略を用いた場合のハウスエッジは2.13%です。トータル依存型基本戦略を用いて7人のプレイヤーでシミュレーションを行ったところ、1ラウンドあたりの平均カード使用枚数は21.65枚、標準偏差は2.72でした。約1億9000万ラウンドのプレイにおいて、最も多く使用されたカード枚数は42枚で、これは7回発生しました。

私の経験に基づく見解ですが、コンピューターが完璧な構成依存戦略を採用したとしても、プレイヤーは現実的には最後のカードを見ることはないでしょう。ゲーム中に見るカードに応じて構成依存戦略を採用すれば、ハウスエッジをさらに大幅に削減できます。しかし、最初から2.13%のハウスエッジを逆手に取ってしまうと、どんなに努力しても損益分岐点に近づくことは決してありません。

私のゲーム比較によると、ブラックジャックのプレイヤーは1時間あたり約70ハンドをプレイします。6デッキゲームでブラックジャックが出る確率は、24*96/combin(312,2)=4.75%です。ブラックジャックで引き分けになった場合でもスタンプが押されると仮定すると、カードが満杯になるまで約30/0.0475=632ハンド、つまり9.02時間かかります。

4時間でカードを埋める確率は、280ハンドと仮定すると、一度に1ハンドずつプレイした場合、3万分の1です。4時間で目標を達成したプレイヤーは、少なくとも一度に2ハンドはプレイしていたと推測します。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

これらのルールでは、ディーラーが9枚のカードでちょうど21になる確率は32,178,035分の1です。以下は、デッキの数と、ディーラーがソフト17でヒットするかスタンドするかによって生じる確率です。

私の答えとしては、6組のカードがあると仮定します。

ディーラーがブラックジャックで勝った場合のみ6対5で支払う場合、「イーブンマネー」は通常認められません。しかし、リゾートワールドではそれが提供されていると聞いています。

6対5で勝つ場合、プレイヤーがエースに対してブラックジャックをした場合、賭け金の83%の価値があります。つまり、100%の利益を得るのは非常に有利です。この状況が発生する確率は0.352%です。全体として、プレイヤーにとっての価値は0.00352 × (1 - 0.83) = 0.0006です。つまり、ハウスエッジは0.06%減少します。

読者の皆様に改めてお伝えしたいのは、ブラックジャックの配当が3対2の場合、プレイヤーはそれを拒否すべきだということです。その場合、エースに対してブラックジャックは賭け金の1.037倍の価値を持つため、1ユニットだけを受け入れるのは賢明ではありません。