確率 - サイコロ

答えは 6*(1/6) ⁶ = 6/46,656 = 1/7,776 =~ 0.0001286 です。

シューター1人あたりの平均ロール回数は8.525510回です。2回から200回ロールする確率については、クラップスの生存確率のページをご覧ください。

私のクラップスの付録では、あらゆる賭けのオッズを計算する方法を紹介しています。ドントパスベットで負ける確率は2928/5940であることがわかります。n回連続で負ける確率は(2928/5940) ⁿです。10万回のうちn回負ける確率は、100,000 * (2928/5940) ⁿ⁺²とほぼ近似できます。

6個のサイコロで同じ数字が6つ出る確率は、6*(1/6) ⁶ =1/7776 =~ 0.01286% です。

お褒めいただきありがとうございます。2つのサイコロを28回振って7が出ない確率をおっしゃっているのだと思います。1回も7が出ない確率は5/6です。28回振って7が出ない確率は(5/6) ²⁸ = 0.006066、つまり約165分の1です。

3つ揃う確率は1/216です。2つ揃う確率は3*5/216です。1つ揃う確率は25*5/216です。0つ揃う確率は5*5*5/216です。したがって、期待リターンは3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7.87%となります。最適なベット回数というものはなく、どのような賭け方をしても、期待される総資金の7.87%を失うことになります。

これらの賭けはシックボーとチャック・ア・ラックの両方で行うことができます。

ペアの組み合わせは、combin(6,2)=15通りあります。特定のツーペアが出るサイコロの出目は、 combin (4,2)=6通りあります。4つのサイコロを振る場合、6^4=1296通りあります。したがって、確率は90/1296=6.9444%です。

x個のサイコロを振った場合、少なくとも1つの6が出る確率は1-(5/6) ²です。サイコロを2個振った場合、この確率は30.56%です。

まず、6個のサイコロの中から3個の1が出る確率は、(6,3)=20通りあります。残りの3個のサイコロはそれぞれ5つの数字のいずれかになります。つまり、合計は20×5 ³ =2500通りです。すべてのサイコロを投げる確率は6 ⁶ =46,656通りなので、ちょうど3個1が出る確率は2500/46656=0.0536です。combin関数の使い方については、ポーカーの確率のセクションをご覧ください。

3 つのサイコロを振って 1 つだけ 1 が出る確率は、3*(5/6) ² *(1/6) = 75/216 = 34.72% です。

ペアは6つの数字のいずれかになります。残りの2つのシングルトンは、他の5つの数字のいずれかになります。したがって、6*combin(5,2)=60通りの組み合わせが既に存在します。ペアが出る可能性のあるサイコロの組み合わせは、combin(4,2)=6通りあります。2つのシングルトンは2通りの並び方が可能です。したがって、ペアが出る可能性は60*12=720通りあります。サイコロを投げる方法の総数は6 ⁴ =1296通りです。したがって、確率は720/1296 =~55.56%となります。

10個のサイコロを振って8個の目がすべて同じになる確率は、6*combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² = 1/8957.952です。少なくとも8個が同じになる確率は、6*[combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² + combin(10,9)*(1/6) ⁹ *(5/6) + (1/6) ¹⁰ ] = 1/8569.469です。

新しいロールごとに、次の 4 回のロールがすべて 6 のダブル 6 になる確率は (1/36) ⁴ = 1679616 分の 1 です。

スパンは1から5と2から6の2種類が考えられます。それぞれのスパンは5!=120通りの順序で並べることができます。5個のサイコロを振る方法は6× ⁵ =7776通りあります。したがって、確率は2×120/7776=3.09%です。ヤッツィーのゲーム中にラージストレートのマーク0をつけた直後は、この確率がかなり高くなるようです。

1 の予想される数は 30*(1/6) = 5 です。1 がちょうど 5 個ある確率は、combin(30,5)*(1/6) ⁵ *(5/6) ²⁵ = 19.21% です。

全てのサイコロが1にならない確率は(5/6) ⁿです。したがって、少なくとも1つ1が出る確率は1-(5/6) ⁿです。例えば、サイコロを5個出すとします。答えは1-(5/6) ⁵ = 59.81%です。

1-(5/6) ³⁶ = 99.86%

1回振るごとに、5/6個のサイコロが残ると期待されます。つまり、n回振った後に残るサイコロの期待値は36*(5/6) ⁿとなります。例えば、10回振った場合、平均して5.81個のサイコロが残ります。

すべての数字が異なる確率は(5/6)*(4/6)=20/36です。したがって、少なくとも2つの数字が同じになる確率は1-(20/36)=16/36=44.44%です。

はい。2から12までの合計を計算してみて、それぞれを2回ずつ出す確率を求めるだけです。つまり、答えは(1/36) ² +(2/36) ² +(3/36) ² +(4/36) ² +(5/36) ² +(6/36) ² +(5/36) ² +(4/36) ² +(3/36) ² +(2/36) ² +(1/36) ² = 11.27%となります。

7個のサイコロで7つの6が出る確率は(1/6) ⁷ = 279,936分の1です。つまり、この賭けが良い結果になるには、車の価値が279,936ポンド以上である必要があります。平均的なロールスロイスでさえこれほどの価値はありませんので、これはひどい賭けだったと言えるでしょう。

[ブルージェイが付け加える: ああ、そうだね。でも、チャリティーのためだったってことがポイントだったと思う。1ポンドをチャリティーに寄付して、何も返ってこないけど役に立ったって思える気持ちになるのと、1ポンドを寄付して気持ちいい気持ちに加えて、ひょっとしたら車が当たるかもしれないって思うのと、どっちが楽しい？]

• 5枚の同じカード：6/6 ⁵ = 0.08%（明らか）
• フォーオブアカインド: 5*6*5 = 1.93% (シングルトンの可能な位置 5 つ * フォーオブアカインドのランク 6 つ * シングルトンのランク 5 つ)。
• フルハウス: combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3.86% (スリーオブアカインドのcombin(5,3)の位置 * スリーオブアカインドの6ランク * ペアの2ランク)。
• スリー・オブ・ア・カインド: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15.43%。(スリー・オブ・ア・カインドの位置 combin(5,3) * シングルトンのうち大きい方の位置 combin(2,1) * スリー・オブ・ア・カインド 6 ランク * 2 つのシングルトンのランク combin(5,2)。
• ツーペア: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23.15% (上位ペアの combin(5,2) の位置 * 下位ペアの combin(3,2) の位置 * ツーペアの combin(6,4) のランク * シングルトンの 4 ランク。
• ペア: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46.30% (ペアのcombin(5,2)の位置 * 3つのシングルトンのfact(3)の位置 * ペアの6つの順位 * シングルトンのcombin(5,3)の順位。
• ストレート: 2*fact(5) / 6 ⁵ = 3.09% (ストレートの場合、{1-5 または 2-6} * fact(5) の順序を並べる方法は 2 スパンの場合があります)。
• なし: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6.17% (6 つのランクのうち 5 つを選択する方法は、ストレートの場合は 2 つを差し引いた、* 順序を並べ替える方法は fact(5) 通り。

確かに、これは簡単です。24回投げて少なくとも1回12が出る確率は、1-(35/36) ²⁴ = 49.14%です。つまり、12が出ない方に賭ける方が有利です。24回投げて12が出る期待値は2/3なので、これは賢い賭けと言えるでしょう。しかし、これは12が出る確率が2/3であることを意味するわけではありません。12が複数出る場合もあり、12に賭けたプレイヤーは最初の12が出た後、それ以上12が出ても勝てないからです。ある試行で勝つ確率をp、試行回数をn、少なくとも1回勝つ確率をwとすると、nをpとwで解くと…

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n=log(1-w)/log(1-p)

つまり、あなたの例では、n = log(1-.5) / log(1-(1/36)) = log(0.5) / log(35/36) = 24.6051 となります。つまり、24.6回投げた場合の成功確率が50%であれば、24回投げた場合はわずかに低くなるはずです。

6個のサイコロを1回振って123456が出る確率は、確率(2番目のサイコロが1番目のサイコロと一致しない) * 確率(3番目のサイコロが1番目または2番目のサイコロと一致しない) * ... = 1 * (5/6) * (4/6) * (3/6) * (2/6) * (1/6) = 0.015432 と表すことができます。つまり、これを6回連続で出す確率は 0.015432 ^{× 6} = 74,037,208,411 分の 1 です。

(6,2)*(1/6) ⁴ *(5/6) ²を合計すると 0.008037551 になります。

確率は次のとおりです。

3つのサイコロ：25.93%
4つのサイコロ：48.77%
サイコロ5個: 66.13%。

AがBの場合の確率は、AとBの確率をBの確率で割ったものです。この場合、最初のサイコロで4が出た後、残りの2つのサイコロの合計が8になる確率は(1/6)*(5/36) = 5/216です。私のシックボーのセクションで示したように、3つのサイコロで合計が12になる確率は25/216です。したがって、答えは(5/216)/(25/216) = 5/25 = 20%となります。

あなたが挙げた2つの方法は、17回投げて合計100を出す唯一の方法です。6が16回出て4が1回出る確率は17*(1/6) ¹⁷です。4の出る順番は17通りあり、それぞれの順番の確率は(1/6)*(1/6)*...*(1/6)で、17項で表されます。6が15回出て5が2回出る確率は(17,2) = 136通りです。つまり、6が15回出て5が2回出る確率は136*(1/6) ¹⁷です。つまり、合計確率は(17+136)*(1/6) ¹⁷ = 110,631,761,077分の1です。

A = 通常のサイコロを選択する
B = ランダムに選んだサイコロで6が出る
答え = Pr(A given B) = Pr(A and B)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4。

これらの数字を任意の順序で並べると、6!/(4!*1!*1!) = 30通りあります。別の見方をすると、1を置く位置は6つ、4を置く位置は5つ残っているので、6*5=30となります。666614をまさにその順序で並べる確率は、6の6^乗分の1 = 46656分の1です。これを30倍して30通りの順序を考えると、答えは30/46656 = 0.0643%、つまり1552.2分の1となります。

単一の事象において、確率がpであれば平均待ち時間は1/pであることは事実です。しかし、連続する事象の場合は状況はより複雑になります。xを、最後のロールが2でなかった状態とします。これは開始時の状態でもあります。yを、最後のロールが2だった状態とします。最初のロールの後、状態xに留まる確率は5/6、状態yに留まる確率は1/6です。Ex(x)を状態xからのロールの期待値、Ex(y)を状態yからのロールの期待値とします。すると…

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)、そして
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

これら 2 つの方程式を解くと...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
例(x) = 36*(7/6) = 42

したがって、2 回連続して 2 が出る場合の平均待ち時間は 42 回です。

私も同じタイプの問題を抱えています。2 回表が出ると予想される回転数だけです。私の数学の問題のサイトで、問題 128 を参照してください。

ロールの回数に応じて、少なくとも 1 つの数字が複数回出る確率は次のとおりです。

これを解くために正規近似法を使い始めましたが、100点を超える確率が低すぎるため、この方法は正確とは言えませんでした。そこで、825万回のランダムシミュレーションを行ったところ、101点以上の試行回数は127回でした。つまり、確率は約65,000分の1です。

答えをnとします。7か11が出る確率は8/36です。nを求めるには、次のようにします。

(8/36) ⁿ = 1/41,400,000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41,400,000)/log(8/36)

n = -7.617 / -0.65321

n = 11.6608

つまり、スーパーロトに当たる確率は、7または11を11.66回連続で投げるのと同じです。部分的な投げの意味がわからない人のために言い換えると、確率は11回から12回連続で投げた場合の間になります。

1回の投げで5種類の目が出る確率は、6*(1/6) ⁵ = 1/1,296です。これは、5種類の目（1から6まで）が6種類あり、各サイコロでその目が出る確率が(1/6)だからです。5種類の目が出ない確率は、1-(1/1,296)=1,295/1,296です。3回投げても3種類の目が出ない確率は、(1,295/1,296) ³ =99.77%です。つまり、3回投げて少なくとも1つの5種類の目が出る確率は、100%-99.77% = 0.23%です。

何かの確率がpだとすると、平均して最初にそれが起こるまでには1/p回の試行が必要です。当然、最初のサイコロ投げでは1つの数字を消します。次に他の5つの数字のいずれかが出る確率は5/6です。つまり、それが起こるまでには平均して1/(5/6)=6/5=1.2回のサイコロ投げが必要になります。この推論を最後まで当てはめると、期待されるサイコロの回数は(6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1)=14.7となります。

1個から25個のサイコロを使った場合の、このような質問に答える新しいセクションを追加しました。よろしければご覧ください。5個のサイコロを使った表に示されているように、合計が12になる確率は0.039223251028807です。

残念ながら、この賭けはスクエア側でしたね。6と8が出る前に7が2つ出る確率は45.44%です。これがすべての可能性のある結果です。最初の列は、賭けの結果に対する意図的なロールの順序で、他のすべての列は無視されます。

基本的に、6 と 8 がより良い側である理由は、これらの数字を 6、8、または 8、6 のどちらの順序でも当てることができるからです。7 が 2 つある場合は、7、次にもう 1 つの 7 という 1 つの順序しかありません。

6つの6が出る確率は(1/6) ⁶ = 46656分の1です。6つのサイコロを振って1、2、3、4、5、6が出る確率は6 ! /6 ⁶ = 64.8分の1です。

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51.55%.

7、11、または12が出る確率は(6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4です。この数字の導き方については、サイコロの確率の基礎に関するセクションをご覧ください。それ以外の目が出る確率は3/4です。5回サイコロを振って7、11、または12が出ない確率は(3/4) ⁵ = 23.73%です。

質問されたわけではないのですが、まずは平均値についてお話ししましょう。6面サイコロの場合、各面が少なくとも1回出る期待値は(6/6)+(6/5)+(6/4)+(6/3)+(6/2)+(6/1) = 14.7です。n面サイコロの場合、期待値は(n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + nです。必要なサイコロの回数の中央値は13です。13回以下になる確率は51.4%、13回以上になる確率は56.21%です。

投げる回数が多い場合は、ガウス曲線近似を使用できます。655回投げた場合の7の期待値は、655 × (1/6) = 109.1667です。分散は655 × (1/6) × (5/6) = 90.9722です。標準偏差はsqr(90.9722) = 9.5379です。78個の7は、期待値より109.1667 − 78 = 31.1667少なくなります。これは、(31.1667 - 0.5)/9.5379 = 3.22標準偏差分、期待値より低い値です。期待値より3.22標準偏差以上低い値になる確率は0.000641、つまり1,560分の1です。この数値は、Excel で normsdist(-3.22) という式を使用して取得しました。

親切なお言葉をありがとうございます。「ランダムでない結果が出る確率はp」と書くべきではありません。正しくは「ランダムなゲームでそのような結果が出る確率はp」と書くべきです。500回のサイコロ投げで何かを証明したり反証したりするとは誰も思っていませんでした。79.5の7というラインを設定したのも私ではありませんが、統計的に有意になるように設定したとは思えません。むしろ、両者が賭けに同意するポイントだったのではないかと思います。

2.5%の有意水準は、期待値からの標準偏差1.96倍です。これはExcelの式 =normsinv(0.025) で求められます。500回投げた場合の標準偏差は、sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333です。つまり、標準偏差1.96倍ということは、期待値より1.96 * 8.333 = 16.333倍低いことになります。500回投げた場合の7の期待値は、500*(1/6) = 83.333です。つまり、標準偏差1.96倍低いということは、83.333 - 16.333 = 67倍です。二項分布を用いて検証すると、7が67個以下になる確率は正確には2.627%です。

プレイヤーが常に最も多く出現する数字を持っていると仮定すると、平均は11.09になります。以下は、8260万回のランダムシミュレーションにおけるロール回数の分布を示す表です。

期待値を最大化するという観点だけで言えば、プレイヤーは永遠にプレイし続けるべきです。プレイヤーが最終的に負ける確率は1ですが、どの決定点においても、期待値は常にもう一度プレイする方に有利です。一見矛盾しているように見えますが、その答えは、確率が1であっても、実際には起こらない可能性があるという事実にあります。例えば、0から10までの数直線にダーツを投げた場合、円周率にぴったり当たらない確率は1ですが、それでも起こり得ます。

しかし、現実的には、ある程度の限界があります。それは、お金がもたらす幸福度は金額に比例しないからです。お金が増えれば増えるほど幸福度も増すというのは一般的に認められていますが、お金が増えれば増えるほど、1ドルごとに得られる幸福度は少なくなるのです。

この質問に答える良い方法は、ケリー基準をこの問題に適用することだと私は考えています。ケリー基準によれば、プレイヤーは賭け金が総資産の96.5948%を超えるまで、あらゆる決定を下すべきです。つまり、（私は多くの計算を省略しました）プレイヤーは賭け金が総資産の96.5948%を超えるまで賭け金を倍増し続けるべきです。資産とは、勝ち金とプレイヤーが最初の賭けを行う前に持っていたお金の合計と定義されます。例えば、プレイヤーが最初に10万ドルを持っていたとしたら、23回賭け金を倍増させ、4,194,304ドルを獲得するまで賭け続けるべきです。その時点で、プレイヤーの総資産は4,294,304ドルになります。彼は総資産の 4,194,304/4,294,304 = 96.67% を賭けるよう求められますが、これは 96.5948% の停止ポイントより大きいため、やめる必要があります。

この問いの答えをpとしましょう。合計が6になる確率は5/36、合計が7になる確率は6/36です。なぜそうなるのか理解できない場合は、サイコロの確率の基礎に関するセクションを参照してください。pは次のように定義できます。

p = 確率(最初のロールで 6 が出る) + 確率(最初のロールで 6 が出ない)*確率(2 番目のロールで 7 が出ない)*p。

これは、最初の 2 回のロール後にどちらのプレイヤーも勝てなかった場合、ゲームは元の状態に戻り、プレイヤー A が勝つ確率は同じままであるためです。

つまり、次のようになります。

p = (5/36) + (31/36)×(30/36)×p
p = 5/36 + (930/1296)×p
p * (1-(930/1296)) = 5/36。
p * (366/1296) = 5/36
p = (5/36)×(1296/366) = 30/61。

答えはcombin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!)と表すことができます。1個から20個のサイコロの場合の答えは次のとおりです。

『Applied Combinatorics 』の著者、Alan Tucker 氏に感謝します。

はい。Pr(2) ² + Pr(3) ² + ... + Pr(12) ² = (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) 2 + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ^{2 +} (1/36) ² = 11.27%となります。

この情報を知る有益な理由は思いつきませんが、この種の質問はよく受けるので、お答えします。

最初のサイコロから始めて、または最後のサイコロで終わる特定の7の連続を出すのは、その連続が片側で有界であるため、少し簡単です。具体的には、最初のサイコロから始めて、または最後のサイコロで終わるs個の7の連続を出す確率は、(1/6) ^s ×(5/6)です。5/6という項は、連続の端で7以外の目が出なければならないためです。

連続する7が連続する確率は、途中のどの時点でも(1/6) ^s × (5/6) 2 です。プレイヤーは連続する両端で7以外の数字を必ず出さなければならないため、5/6の項を²乗します。

r回のロールの場合、内側の連続が2箇所、n個の7が連続する箇所がrn-1箇所あります。これらの式を表にまとめると、1から10までの7の連続の期待値は以下のようになります。「内側」の列は2*(5/6)*(1/6) ^r 、「外側」の列は(179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^rです。ここで、rは連続する7の数です。つまり、7が2個連続する確率は3.46回、7が3個連続する確率は0.57回、7が4個連続する確率は0.10回と予想されます。

答えと解答は、私の関連サイトmathproblems.infoの問題 201 にあります。

正多角形に限定し、すべての面の確率を等しくしたい場合、プラトン立体に限定されます。しかし、正多角形という条件を緩和できれば、13個のカタラン立体も追加できます。

もう一つの質問にお答えすると、いいえ、カジノでサイコロ以外のサイコロを使ったゲームを見たことはありません。10年ほど前、アトランティックシティのゲームショーで、カタルーニャ立体の一つである菱形三十面体を使ったゲームのデモを見たことがありますが、カジノで実際にプレイされたことはなかったと思います。毎年グローバル・ゲーミング・エキスポで見かけるゲームで、回転するコマ（ドレイドルのような）を使ったものがありますが、残念ながら、カジノで見たことがありません。

3つのサイコロを振る方法は^6⁻⁻ =216通りあります。そのうち6通りの組み合わせはスリーカード（1-1-1から6-6-6）になります。したがって、スリーカードが出る確率は6/216 = 1/36です。ストレートが出る可能性のある組み合わせは4通り（1-2-3から4-5-6）あります。また、3つのサイコロをストレートに並べる方法は3!=6通りあります。つまり、ストレートの組み合わせは4*6=24通りあります。したがって、ストレートが出る確率は24/216 = 1/9です。

次の表は、3 から 18 までのすべての可能な合計の組み合わせの数を示しています。

平均結果は 12.2446、標準偏差は 2.8468 です。

7が出る確率は1/6、12が出る確率は1/36です。7か12が出た場合、7が出る確率は(1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7です。つまり、6か12が出た場合、最初の6回で毎回6が出る確率は(6/7) ⁶ = 39.66%です。

質問を「12が出る前に6が5つ出る確率は？」と言い換えると、答えは(6/7) ⁵ = 46.27%です。4つ出る場合は(6/7) ⁴ = 53.98%です。つまり、12が出る前に7が出る確率が50/50になるような数字は存在しません。もしあなたが良い賭けを探しているなら、12が出る前に7が4つ出るか、7が5つ出る前に12が出るかのどちらかを提案しましょう。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

英国サマセットのロバート・グッドハンド氏による便利な裏技をご紹介します。まず、次のように、6つの1とその両側に5つの0を並べます。

これは、1つのサイコロで1から6の目が出る組み合わせの数を表しています。当たり前ですよね。でも、もう少しだけお付き合いください。サイコロが2つの場合は、一番下にもう1行追加し、各セルについて、上の行とその左側の5つのセルの合計を求めます。さらに計算を続けたい場合は、右側にダミーの0を5つ追加します。これは、合計が2から12になる組み合わせを表しています。

サイコロが3つの場合は、これを繰り返します。これは3から18までの組み合わせの数を表します。

任意の合計の確率を求めるには、その合計の組み合わせの数を、組み合わせの総数で割ります。サイコロを3つ振る場合、合計は216で、これも6÷ ³と簡単に求められます。例えば、サイコロを3つ振って合計が13になる確率は、21÷216 = 9.72%です。

つまり、d個のサイコロの場合は、1個からd-1個まで順番に計算していく必要があります。これはどのスプレッドシートでも簡単に行えます。

これは確率論の歴史における古典的な問題です。多くの人が答えは18だと誤解しています。なぜなら、12が出る確率は36分の1で、18×(1/36)=50%だからです。しかし、その論理では、36回振って12が出る確率は100%になりますが、明らかにそうではありません。正しい解は次のとおりです。rを振る回数とします。1回振っても12が出ない確率は35/36です。r回振って12が0個ある確率は(35/36) ^rです。したがって、次の式でrについて解く必要があります。

（35/36） ^r = 0.5
log(35/36) ^r = log(0.5)
r × log(35/36) = log(0.5)
r = log(0.5)/log(35/36)
r = 24.6051

つまり、丸められた答えはありません。24回振って12が出る確率は1-(35/36) ²⁴ = 49.14%です。25回振って12が出る確率は1-(35/36) ²⁵ = 50.55%です。

これに賭けるなら、例えば25回投げて12が出せるか、誰かが24回投げて12が出せないか、どちらにしても、イーブンマネーで有利になります。

このゲームを知らない方のために説明すると、攻撃側と防御側はそれぞれ1～8個のサイコロを振り、その時点でのそれぞれの軍隊数に応じて出目が大きくなります。出た目が大きい方が勝利します。同点の場合は防御側が勝利します。攻撃側が敗北した場合、攻撃を開始した領土に軍隊を1つ保持できます。そのため、攻撃には少なくとも2つの軍隊が必要です。攻撃に勝利した場合、1つは征服した領土に駐留し、もう1つは残留することができます。

次の表は、合計 64 通りのサイコロの組み合わせに応じて、攻撃側の勝利の確率を示しています。

次の表は、攻撃側の期待利益を示しています。これは、pr(攻撃側の勝利数)*(防御側のダイス数)+pr(防御側の勝利数)*(攻撃側のダイス数-1)として定義されます。この表から、5の出目を持つ相手に対して8の出目を持つ攻撃をした場合、最大の期待利益が得られることがわかります。

他の読者のために、ヤッツィーとは5つのサイコロを使った5種類のサイコロの組み合わせです。ヤッツィーでは、プレイヤーは好きなサイコロを1つだけ持ち、残りのサイコロを振り直すことができます。最大3回まで振り直すことができます。

プレイヤーは希望に応じて、以前に保持していたサイコロを再度振り直すことができます。例えば、プレイヤーが最初に振った結果が3-3-4-5-6で、3の目を保持し、2回目に振った結果が3-3-5-5-5だった場合、5の目を保持し、3回目に振った結果が3の目だった場合、5の目を保持し、3回目に振った結果が3の目だった場合、再度振り直すことができます。

以下の表は、1回から20回までサイコロを振った場合の、同じ面のサイコロの最大数を示しています。この表から、3回振った場合のヤッツィーの出現確率は約4.6%であることがわかります。

答えは50/50です。これはサイコロを2個振った場合だけでなく、何個振った場合でも同じです。

少し話が逸れますが、クラップスで恐ろしい6/8の大きな賭けの代わりに、奇数/偶数の組み合わせの賭けが良い方法だとずっと思っていました。ハウスに有利になるように、私が提案する配当表と分析を以下に示します。

平均ロール回数はボーナス終了イベントの逆数で、その確率は1/6です。つまり、プレイヤーは平均6回ロールすることになります。ただし、最後のロールは7回目となるため、ボーナスごとに平均5回の当選ロールが発生します。

次に、7 がないと仮定した場合の各合計の確率は次のとおりです。

• 2または12：1/30
• 3または11：2/30
• 4または10：3/30
• 5または9：4/30
• 6または8：5/30

コラム #179 に投稿された元の質問は次のとおりです: 2 つのサイコロを何度も振り、次のいずれかのイベントが発生するまで続けた場合、どちらが先に発生する可能性が高いでしょうか。

• 合計で 6 と 8 が出た場合、順序は問わず、重複も許可されます。
• 合計7が2回出ます。

あなたの工夫は、同じロールが両方のプレイヤーに有利にならないという点です。代わりに、プレイヤーは順番にロールし、ロールしたプレイヤーだけがそのロールを使えるようになります。

答えは誰が先にサイコロを振るかによって異なります。6と8が必要なプレイヤーが先にサイコロを振った場合、そのプレイヤーの勝率は57.487294%です。7が2つ必要なプレイヤーが先にサイコロを振った場合、6と8が必要なプレイヤーの勝率は52.671614%です。私は単純なマルコフ連鎖過程を用いてこの問題を解きました。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

最初のロールには58種類の出目があります。それぞれの出目は、最も多く出る面の数、次にその面のサイコロの合計数、というように分類します。例えば、3、3、3、3、6、6、6、5、5、2をロールした場合は、4-3-2-1と表記されます。次の表は、各出目の組み合わせの数、その出目が出る確率、2回目のロールで12の出目が完成する確率、そしてこれら2つの値の積を示しています。2回目のロールの確率については、プレイヤーが最初のロールで合計が最も大きいサイコロを持っていると仮定します。右下のセルには、全体の確率が0.0000037953、つまり263,486分の1であることが示されています。

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これが私の解決策です。(PDF)

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この質問に私が答えたように微積分を使用して答えるには、 integral-calculator.com / にあるような積分計算機をお勧めします。

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この問題は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで (少し異なる言葉で) 質問され、議論されています。

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> [spoiler=解決策]

させて：

• p = 初期状態から最初に 12 が出る確率、または前回のロール結果が 7 でなかったときの確率。
• q = 前回のロール結果が 7 だった場合に、最初に 12 が出る確率。

これはマルコフ連鎖問題として知られています。

その前に、合計が 7 になる確率は 1/6 で、12 になる確率は 1/36 であることを思い出してください。

p と q は次のように相互に定義できます。

• (1) p = (1/36) + (6/36)q + (29/36)p
• （2）q = （1/36）+ （29/36）p

式（1）に36を掛けてみましょう。

36p = 1 + 6q + 29p
（3）7p = 1 + 6q

(2)のqの値を(3)に代入してみましょう。

7p = 1 + 6*((1/36) + (29/36)p)
7p = 1 + (1/6) + (29/6)p
42ペンス = 6 + 1 + 29ペンス
13ペンス = 7
q = 7/13

したがって、最初に 12 が出る確率は 7/13 =~ 53.85% です。

したがって、最初に 2 回連続して 7 が出る可能性は 46.15% です。

したがって、最初に合計 12 が出る可能性が高くなります。