確率 - 乱数

質問を言い換えてみましょう。宝くじの組み合わせが1000万通りあり、すべての参加者が数字をランダムに選ぶ（重複は許容する）と仮定すると、少なくとも1人が当選する確率が90%になるには、宝くじは何枚販売する必要があるでしょうか？当選確率をp、販売枚数をnとします。1人が落選する確率は1-pです。n人全員が落選する確率は(1-p) ⁿです。少なくとも1人が当選する確率は1-(1-p) ⁿです。したがって、これを0.9としてnについて解く必要があります。

.9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
23,025,850。

つまり、少なくとも1人の当選確率を90%にするには、宝くじは23,025,850枚の券を販売する必要があります。ちなみに、宝くじがちょうど1000万枚の券を販売した場合、少なくとも1人の当選確率は63.2%となり、これは1-(1/e)と非常に近い近似値となります。

答えの要素となるのは、他のプレイヤーに販売されたチケットの総数です。複数のプレイヤーがジャックポットを獲得した場合、賞金は分配されます。可能な組み合わせの数をn、他のチケットの販売総数をt、小額賞品の収益率をr（ビッグゲームの場合、r=0.179612）、そしてジャックポットの額をjとします。損益分岐点となるには、j*n/(n+t) + r*n - n=0 となります。つまり、j=(1-r)*(n+t) となります。

Visual C++ を使用する場合、シードは常に同じであることは明らかです。プログラムに同じ入力を与えれば、ランダムシミュレーション後の出力は常に同じになります。これは Microsoft の意図したとおりで、実験を正確に再現できるようにするためのものだと理解しています。Visual J++ は私のゲームでは明らかに異なります。そうでなければ、同じ手が毎回同じ順序で発生するはずです。

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20人全員が異なる誕生日を持つ確率（閏日を除く）は、(364/365)*(363/365)*(362/365)...(346/365) = 58.8562%である。したがって、少なくとも1組の誕生日が一致する確率は41.1438%となる。また、一致する確率が50%を超える最小の人数は23人である。

94 問中 6 問正解する確率は、combin(94,6) では 1 = 814,216,767 分の 1 です。

お褒めいただきありがとうございます。確率と統計の入門書であれば、二項分布について詳しく説明されているはずです。簡単に言うと、二項分布とは、各事象の確率と試行回数が与えられた場合に、任意の数の事象が発生する確率です。具体的には、各事象の成功確率がp、成功回数がs、試行回数がnの場合、s回の成功確率はp ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s)となります。combin関数については、私の用語集で説明されています。例えば、ルーレットを100回スピンした際に、赤の目がちょうど60個になる確率を知りたいとします。二項分布によれば、その確率は(18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0.003291となります。

Excelには二項分布の関数もあります。=BINOMDIST(x,n,p,0) です。ここで、

x = 肯定的な試行の数。n = 試行の合計数。p = 特定の試行における成功の確率。

関数の4番目の位置に0を指定すると、x回勝つ確率が正確に求められます。x回以下の勝つ確率を求めるには、1を指定します。

上記のルーレットの例では、関数は =BINOMDIST(60,100,18/38,0) となります。

あなたが言及しているのは、実際には「大数の法則」と呼ばれるものだと思います。これは、平均xを持つn個のランダム変数のランダム標本について、標本サイズが無限大に近づくにつれて、標本平均x _{n は}xに収束するというものです。賭けの結果はランダム変数と考えることができます。この法則は、賭けの回数が非常に多くなるにつれて、平均結果がハウスエッジに近づくことを示しています。

確率をそのような形で使うのは好きではありませんが、一般的には「ロイヤルフラッシュが出ない確率は649,739対1です」といった構文で使われます。つまり、ロイヤルフラッシュが出ない確率は649,739通りあり、出せる確率は1通りあるということです。あなたの例では、12対1は1/13、つまり7.69%、3対2は2/5、つまり40.00%なので、3対2の方が勝つ確率が高いということになります。

あなたの例でxが正確に正解する確率は、combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x)です。正確な答えを得るには、0から24までのすべてのxの値についてこの計算を行い、それらを合計し、1との差を取る必要があります。答えは13.14%です。

私がまだ社会保障局で保険数理士をしていた頃に、この質問をしてほしかった。死亡記録について全国規模の調査は簡単にできたはずだ。答えは365人に1人に近いだろう。出生後の乳児死亡率が不釣り合いに高いため、もう少し低いだろう。2000年の出生では、生後1年以内の死亡確率は男児で0.71%、女児で0.59%だった。つまり、生後1年を迎えれば危険期間を過ぎるため、これらの乳児死亡が誕生日に起こる可能性は低いということだ。また、これが真実かどうかは分からないが、「シックス・フィート・アンダー」の靴には、葬儀屋の仕事は1月に活発になると書かれていた。どうやら、人々があと1回のクリスマス休暇を待ち、その後は諦めるからだろう。誕生日を迎えることにも同じ論理が当てはまるかもしれない。ジョージ・バーンズのことを考えてみよう。彼は100歳の誕生日の48日後に亡くなった。

指定した数字がちょうどx回当たる確率は、combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-xです。次の表は、0から6までのすべての当たりの確率と合計を示しています。

つまり答えは 0.00000177564555、つまり 563175 分の 1 です。インターネット カジノでこのようなことが起こらなかったことを祈ります。

先ほどのコイン投げ問題で使った正規近似をなぜ使わなかったのかと疑問に思うかもしれません。それは、確率が非常に高い場合や非常に低い場合には、正規近似がうまく機能しないからです。

間違った選択をした後にカップを取り除けば、答えは正解になります。カップをテーブルに残しておくと、各選択の正解確率は1/322、間違える確率は321/322となります。75回のうち75回が間違える確率は(321/322) ⁷⁵ = 79.193%です。つまり、75回のうち少なくとも1回は正解する確率は100% - 79.193% = 20.807%です。

つまり、 combin (34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468となります。

Aの確率は明らかに25%です。5回中0発の確率は0.95 ^×5 =77.378%です。つまり、5回中少なくとも1発は当たる確率は100%-77.378%=22.622%です。つまり、Aの方が確率が高いということです。

過去のスピンがどうだったかは関係ありません。赤23が3回連続で出る確率は(1/38) ³ = 54,872分の1です。

つまり、黒が30個、赤が30個、緑が4個あるとします。黒の確率は30/64、赤が30/64、緑が4/64となります。ある事象の確率がpの場合、公平なオッズは(1-p)/p対1です。つまり、赤のオッズは(34/64)/(30/64) = 34対30 = 17対15となります。黒も同様です。緑のオッズは(60/64)/(4/64) = 60対4 = 15対1です。特定の数字の場合、公平なオッズは(63/64)/(1/64)対63対1となります。

赤と黒に1対1、緑に14対1、そして個々の数字に60対1の配当を推奨します。ハウスエッジの計算式の一つは(ta)/(t+1)です。ここで、tは真のオッズ、aは実際のオッズです。この場合、赤または黒に賭けた場合のハウスエッジは(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%です。緑に賭けた場合のハウスエッジは(15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%です。個々の数字に賭けた場合のハウスエッジは(63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%です。

ちょうど6つが正解となる確率は、combin(10,6)×0.2 ⁶ ×0.8 ⁴ = 0.00550502です。

ちょうど7つが正解となる確率は、(10,7)× 0.2 ⁷ ×0.8 ³ = 0.00078643です。

ちょうど8つが正解となる確率は、combin(10,8)×0.2 ⁸ ×0.8 ² = 0.00007373です。

ちょうど9つが正解となる確率は、combin(10,9)×0.2 ⁹ ×0.8 ¹ = 0.00000410です。

ちょうど 10 個正解する確率は 0.2 ^{× 10} = 0.00000010 です。

6 問から 10 問正解する確率を合計すると、少なくとも 6 問正解する確率は 0.00636938 になります。

勝つ確率が1/nで、n回プレイすると、nが無限大に近づくにつれて、少なくとも1回勝つ確率は1-(1/e)に近づきます。ここでe = 2.7182818...、つまり約63.21%です。正確な答えは1-(999,999/1,000,000) ^1,000,000 = 0.63212074と表すことができます。私の推定値は1-(1/e) = 0.63212056で、小数点以下6桁まで一致します。

数字が飛ばされないと仮定すると、参加者数がかなり多い限り、確率は参加者数にほとんど左右されません。参加者数が多いほど、少なくとも1つの数字が一致する確率は1-(1/e) = 63.21%に近づきます。

12回のゲームで、任意の数字がちょうどn回出現する期待回数は、(12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^{n-12 と}なります。次の表は、0から12までの出現期待回数を示しています。

ご質問にお答えすると、同じ数字がちょうど6回現れるのは、カード1セットあたり約0.099回、つまり約10.1回に1回です。同じ数字がちょうど7回現れるのは、カード1セットあたり0.0131回、つまり76.6回に1回です。

おっしゃる通りです。同じ数字の並びが2夜連続で出る確率は1000分の1です。筆者が答えようとしていた質問は、1-9-6が2回連続で出る確率はどれくらいか、ということでした。これは確かに100万分の1です。しかし、ご指摘の通り、重要な質問は、任意の並びが繰り返される確率はどれくらいか、ということです。その答えは(1/10) ³ = 1000分の1です。

こんなに簡単な質問なのに、解くのはかなり複雑です。私がやった方法では、この積分を知っておく必要があります。

ここに答えと私の解決策（PDF）があります。