ポーカーの数学

ファイブカードスタッドの派生

ポーカーの各ハンドの確率をどのように導き出したのか、多くの質問を受けたため、計算を説明するためにこのセクションを作成しました。このセクションは、ある程度の数学的な能力を前提としていますが、高校数学に慣れた方であれば、この説明を理解できるはずです。ここで使用したスキルは、幅広い確率の問題に応用できます。

階乗関数

階乗関数を既にご存知の方は、読み飛ばしていただいて構いません。「5!」が数字の5を叫ぶという意味だと思う方は、このまま読み進めてください。

リビングルームのソファの説明書には、おそらく定期的にクッションを並べ替えることが推奨されているでしょう。ソファにクッションが 4 つあると仮定しましょう。これらを何通りの組み合わせで配置できるでしょうか? 答えは 4!、つまり 24 です。最初のクッションを置く位置は明らかに 4 つあり、2 つ目を置く位置は 3 つ残り、3 つ目を置く位置は 2 つ、最後のクッションを置く位置は 1 つだけなので、4*3*2*1 = 24 となります。クッションが n 個ある場合は、それらを配置する方法は n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! 通りになります。どの科学計算機にも階乗ボタンがあり、通常は x! と表示されます。また、Excel の fact(x) 関数を使用すると、x の階乗が計算されます。52 枚のカードを並べる方法の総数は、52! = 8.065818 * 10 ⁶⁷となります。

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組み合わせ関数

オフィスにいる 10 人の人々から 4 人の委員会を結成するとします。選べる組み合わせは何通りありますか? 答えは 10!/(4!*(10-4)!) = 210 です。一般的なケースでは、x 人の人々から y 人の委員会を結成する必要がある場合、選べる組み合わせは x!/(y!*(xy)!) あります。なぜでしょうか? 示された例では、オフィスの 10 人の人を順番に並べる方法は 10! = 3,628,800 通りあります。最初の 4 人を委員会、残りの 6 人を幸運な人とみなすことができます。ただし、委員会のメンバーや委員会以外の人の順番を決める必要はありません。委員会のメンバーを並べる方法は 4! = 24 通り、その他の人を並べる方法は 6! = 720 通りあります。10! を 4! と 6! の積で割ると、次のようになります。委員会の参加と非参加の順番を分けると、組み合わせの数だけが残ります。具体的には、(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*5*6)) = 210 です。Excel のcombin (x,y) 関数を使用すると、x から y のグループを配置する方法の数が表示されます。

これで、52枚のカードから5枚のカードの組み合わせが何通りあるかが分かります。答えはcombin(52,5)、つまり52!/(5!*47!) = 2,598,960です。電卓に階乗ボタンがなく、Excelも持っていないため、手計算で計算する場合は、47!の因数はすべて52!の因数と打ち消されるため、(52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5)となることに注意してください。ある役が成立する確率は、その役の組み合わせの数を、合計2,598.960通りの組み合わせで割った値です。以下は、各役の組み合わせの数です。2,598,960で割れば確率が得られます。

ポーカーの数学

次のセクションでは、ファイブカードスタッドの各ポーカーハンドの組み合わせの数を導き出す方法を説明します。

ロイヤルフラッシュ

ロイヤルフラッシュを描くには 4 つの異なる方法があります (各スーツごとに 1 つ)。

ストレートフラッシュ

ストレートフラッシュの最高位カードは、5、6、7、8、9、10、ジャック、クイーン、キングのいずれかです。つまり、9種類のハイカードと4種類のスーツがあり、9 × 4 = 36通りのストレートフラッシュが考えられます。

フォー・オブ・ア・カインド

フォーカードには13通りのランクがあります。5枚目のカードは残りの48枚のいずれかになります。つまり、13 * 48 = 624通りのフォーカードが存在します。

フルハウス

スリーカードには13通りのランクがあり、ツーカードには12通りのランクがあります。同じランクのカードを3枚並べる方法は4通り（4種類のカードは除外）あり、同じランクのカードを2枚並べる方法はcombin(4,2) = 6通りあります。したがって、フルハウスを作る方法は13 * 12 * 4 * 6 = 3,744通りあります。

フラッシュ

選択できるスーツは4種類あり、同じスーツのカード5枚の並び方は、combin(13,5) = 1,287通りあります。1,287通りから、ストレートにつながるハイカード10枚分の10を引くと、ストレートフラッシュとなり、残りは1,277通りになります。さらに、4種類のスーツの4倍を加えると、フラッシュの並び方は5,108通りになります。

真っ直ぐ

ストレートの最高位カードは、5、6、7、8、9、10、ジャック、クイーン、キング、エースのいずれかです。つまり、最高位カードは10種類あります。それぞれのカードは4つの異なるスーツを持つことができます。4つの異なるスーツを持つ5枚のカードの組み合わせは、4 ^×5 = 1024通りあります。次に、1024から4を引くと、フラッシュを形成する4通りのカードが出てきます。つまり、ストレートフラッシュとなるので、残りは1020通りです。ストレートを形成する組み合わせは、合計10×1020 = 10,200通りです。

スリー・オブ・ア・カインド

スリーカードには13通りのランクがあり、そのうち3枚のカードの並び方は4通りあります。残りの2枚のカードについては、残りの2つのランクの並び方をcombin(12,2) = 66通りから選ぶことができます。2つのランクにはそれぞれ4枚のカードがあります。したがって、スリーカードの並び方は13 * 4 * 66 * 4 ² = 54,912通りです。

ツーペア

2つのランクの並び方は(13:2) = 78通りあります。どちらのランクでも、2枚のカードの並び方は(4:2) = 6通りあります。5枚目のカードは44枚残っています。したがって、ツーペアの並び方は78 * 6 ² * 44 = 123,552通りあります。

ワンペア

ペアには13通りのランクがあり、ペアを構成する2枚のカードの並び方はcombin(4,2) = 6通りあります。シングルトンの他の3つのランクの並び方はcombin(12,3) = 220通りあり、各ランクには4枚のカードから選ぶことができます。したがって、ペアの並び方は13 * 6 * 220 * 4 ³ = 1,098,240通りあります。

何もない

まず、13種類のランクから5種類のランクを選ぶ方法の数を求めます。これはcombin(13,5) = 1287です。次に、ストレートにつながるハイカード10種類分の10を引くと、1277になります。各カードは4種類のスーツのいずれかであるため、1277通りの組み合わせそれぞれにおいて、スーツの組み合わせは4× ⁵ = 1024通りあります。ただし、フラッシュを形成する4通りのパターンがあるので、1024から4を引くと、1020通りになります。つまり、ハイカードの組み合わせの最終的な数は1277×1020 = 1,302,540通りとなります。

特定のハイカード

例えば、ジャックハイの確率を計算してみましょう。手札にはジャック未満の4種類のカードがあり、そのうち9種類から選ぶことができます。9種類の中から4種類のランクを並べる方法はcombin(9,4) = 126通りあります。そして、ストレートとなる10-9-8-7の組み合わせから1を引いて、残りは125通りになります。上記のことから、スーツの並べ方は1020通りあることがわかります。125に1020を掛けると127,500通りとなり、これがジャックハイの手札を形成する方法の数です。エースハイの場合、AKQJ-10と5-4-3-2-Aはどちらも有効なストレートなので、ランクの並べ方の合計から1ではなく2を引くことを忘れないでください。
ポーカーの確率を計算する方法も説明している良いサイトがあります。

エース/キングハイ

カリビアンスタッドポーカーに興味のある方のために、キングの2番目に高いカードでエースをハイカードにする確率を計算してみましょう。他の3枚のカードはすべて異なるランクで、クイーンから2までのランクである必要があります。11ランクのうち3ランクの組み合わせは(11:3) = 165通りです。QJ-10（ストレートになる）を1つ引くと、残りは164通りの組み合わせになります。上記のように、スーツの組み合わせでフラッシュを避ける方法は1020通りあります。エース/キングの組み合わせは最終的に164*1020=167,280通りになります。

内部リンク

ポーカーにおけるその他の多くの確率については、私の「ポーカーにおける確率」のセクションを参照してください。

作成者： Michael Shackleford