3で割り切れるかどうかの証明
今週は大統領に関するトリビアから少し離れて、新しいことに挑戦してみます。私は昔から数学的な証明に興味があります。アイデアが尽きるまで、有名な数学の定理をいくつか取り上げ、それらがなぜ正しいのかをできるだけ分かりやすく説明してみようと思います。まず今週は、任意の整数の桁の和が3で割り切れる場合、その数全体も3で割り切れることを証明します。ただし、その前に、いつもの毎週の論理パズルを出題します。
ロジックパズル
テーブルの上に4枚のカードがあります。表向きのカードにはD、K、3、7と書かれています。すべてのカードの片面には文字、もう片面には数字が書かれています。片面にDが書かれているカードは、必ずもう片面には3が書かれているという製造上のルールがあるはずです。このルールが守られていることを確認するために、どの2枚のカードを裏返すべきでしょうか？
答えはニュースレターの最後にあります。
3で割り切れるかどうかの証明
はじめに述べたように、整数が 3 で割り切れるかどうかは次のようにしてテストできます。
- 数字の合計を計算します。
- ルール1で求めた和が3で割り切れる場合、元の数も3で割り切れます。また、和が3で割り切れない場合、元の数も3で割り切れません。
たとえば、ホワイトハウスの電話番号 2024567041 を見てみましょう。数字の合計は 2+0+2+4+5+6+7+0+4+1 = 31 です。31 は 3 で割り切れないので、元の数字も 3 で割り切れません。
これが機能することを証明するには、元の数値を次のように分解します。
6; フォントファミリー: 'Open Sans'、サンセリフ; 色: #313131 !重要; ">2024567041 = (2*1000000000) + 0 + (2*10000000) + (4*1000000) + (5*100000) + (7*1000) + 0 + (4*10) + (1*1)次に、10 の累乗を 1 と残りの数の 2 つの部分に分けます。
= (2*(999999999+1)) + 0 + (2*(9999999+1)) + (4*(999999+1)) + (5*(99999+1)) + (7*(9999+1)) + 0 + (4*(9+1)) + (1*(0+1))
すべてが 9 の数字は、両方とも 3 で割り切れることは明らかです。たとえば、99999 = 3 * 33333 です。
ということで、上記の数字の項を並べ替えてみましょう。
= (2*999999999) + (2*9999999) + (4*999999) + (5*99999) + (7*9999) + (4*9) + (1*0) + (2*1) + (2*1) + (4*1) + (5*1) + (7*1) + (4*1) + (1*1)
最初の7つの項はすべて3で割り切れます。なぜなら、すべて9の数で割り切れるからです。言い換えると、(2*999999999) + (2*9999999) + (4*999999) + (5*99999) + (7*9999) + (4*9) + (1*0) は9で割り切れるので、その部分を削除できます。以下が残ります。
(2*1) + (2*1) + (4*1) + (5*1) + (7*1) + (4*1) + (1*1) = 2+0+2+4+5+6+7+0+4+1 = 31
これは数字の合計で、31 になります。この残りの部分は 3 で割り切れないので、数字全体も 3 で割り切れません。
この同じ規則は、9で割り切れるかどうかの判定にも使えます。元の数の桁の合計が9で割り切れるなら、その数全体も9で割り切れます。逆もまた真で、桁の合計が9で割り切れないなら、その数全体も9で割り切れません。
ロジックパズルの解答
3 は D ルールの反対側になければならないというルールを「D-3」ルールと呼びましょう。
- • 反対側が 3 であることを保証するために、D カードを裏返す必要があることは明らかです。
- • K カードの裏面には番号が記載されている必要があります。反対側には D がないので、このカードは D-3 ルールが遵守されたことを反証するのに役立ちません。
- • 3のカードの裏面には必ず文字が書かれている必要があります。その文字がDであれば、D-3ルールが成立します。裏面に他の文字が書かれていた場合、それは役に立ちません。つまり、このカードはD-3ルールに合致するか、あるいは関係ないかのどちらかです。いずれにせよ、D-3ルールを破るカードを探します。裏面にどんな文字が書かれていても、D-3ルールを否定するものではありません。したがって、確認する必要はありません。
- • 7のカードの裏側には必ず文字が書かれている必要があります。もしその文字がDであれば、そのカードはD-3ルールを否定することになります。したがって、そのカードがD-7カードではないことを確認する必要があります。D-7カードはD-3ルールの縮約形となります。
したがって、チェックする必要があるのは D と 7 のカードのみです。