フィボナッチ数列 パート3
今週から、数学と自然界の至るところに現れるフィボナッチ数列に関する3部構成のシリーズを開始します。しかし、その前に、いつものように毎週恒例の論理パズルをお届けします。
論理パズル
下の図において、ペンを紙から離さずに、9つの点すべてを通る4本の線を引いてください。
フィボナッチ数列 パート3
今週も引き続きフィボナッチ数列について見ていきます。先に進む前に、以下の定義をしておきましょう。
F nはフィボナッチ数列の n番目の数です。
今週は、フィボナッチ数列の任意の項を、前の項を定義することなく直接求めることができる公式を紹介します。
先週のニュースレターで、フィボナッチ数列のnが無限大に近づくにつれて、数列の前のフィボナッチ数に対する比率がΦに近づくことを示しました。Φは以下の式を満たす2つの解のうちの1つであり、黄金比として知られています。
Φ 2 – Φ – 1 = 0
並べ替えるには：
（１）Φ 2 = Φ + 1
次に、式（1）の両辺にΦを掛けます。
Φ 3 = Φ 2 + Φ
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;">= Φ + 1 + Φ (上記の式(1)にΦ 2の値を代入)= 2 Φ + 1
次に、式（1）の両辺にΦ2を掛けます。
Φ 4 = Φ 3 + Φ 2
= (2 Φ + 1) + (Φ + 1) (上記の Φ 3 + Φ 2の値を代入)
=3 Φ + 2
次に、式(1)の両辺にΦ3を掛けます。
Φ 5 = Φ 4 + Φ 3
= (3Φ + 2) + (2Φ + 1) (上記のΦ 3 + Φ 2の値を代入)
=5 Φ + 3
次に、式(1)の両辺にΦ4を掛けます。
Φ 6 = Φ 5 + Φ 4
= (5Φ + 3) + (3Φ + 2) (上記のΦ 3 + Φ 2の値を代入)
=8 Φ + 5
次に、式(1)の両辺にΦ5を掛けます。
Φ 7 = Φ 6 + Φ 5
= (8Φ + 5) + (5Φ + 3) (上記のΦ 3 + Φ 2の値を代入)
=13 Φ + 8
何か共通点が見えてきましたか？
(2) Φ n = F n Φ + F n-1
方程式 Φ 2 – Φ – 1 = 0 には 2 つの解があることを思い出してください。二次方程式を使用して、2 つの解を x と y と定義します。
6;font-family: 'Open Sans',sans-serif;color: #313131!important; margin-top: 20px;"> x = 1 + √5 2y = 1 - √5 2
これらの解を式（2）に代入すると、次のようになります。
(3) x n = F n x + F n-1
(4) y n = F n y + F n-1-
式（3）から式（4）を引くと、次のようになる。
x n – y n = F n x - F n y
x n – y n = F n (xy)
F n = (x n – y n ) / (xy)
上で定義したxとyに戻りましょう。
実際にこの方法でフィボナッチ数を計算するのは非常に複雑になることは承知しています。しかし、フィボナッチ数には純粋な形式が存在するという事実は、やはり驚くべきことだと思います。
このニュースレターで紹介した方法は、YouTubeチャンネルblackpenredpenによるものです。この方法は、 動画「二次方程式からフィボナッチ数列のn番目の項を求める公式」で見ることができます。
論理パズルの答え
