先攻サイコロ

ボードゲームでは、サイコロを振って先攻を決めるのが一般的です。例えば、最も高い目が出た人が最初に行動し、その後時計回りにテーブルを回るという提案があります。しかし、この方法には2つの問題があります。1つ目は、同点になる可能性があり、その場合、サイコロをもう一度振る時間が無駄になります。2つ目は、他の位置はランダムではないということです。

目標は、2人から4人以上のプレイヤーの順番をランダムに決め、どの順番も等確率で出せるサイコロのセットを作ることでした。5つの正多面体を使うのが理想でしたが、柔軟に対応しました。同点は決して許されません。1回だけ振ってください！

2人ならかなり簡単です。一番低い数字のプレイヤーが先に手札を出し、コインを使うと、コインに次のように簡単にラベルを付けることができます。

コイン1: 1.4

コイン2: 2,3

すべては1が来るかどうか、つまりコイン2の連続する2つの数字よりも高いか低いかにかかっています。これをプラトン立体のルールに拡張すると、面を複製するだけで済みます。例えば、立方体の場合は次のようになります。

キューブ1: 1,1,1,3,3,3

キューブ2：2、2、2、2、2、2

すべて異なる数値にする必要がある場合は、次のようにします。

6; フォントファミリー: 'Open Sans'、サンセリフ; 色: #313131 !important; ">キューブ1: 1,2,3,10,11,12

キューブ2：4、5、6、7、8、9

3人になると難しくなっていきます。正直に言うと、代数とExcelでの試行錯誤を組み合わせて試してみましたが、うまくいきませんでした。そこで、少しズルをして、3つのサイコロの面に1から18までの番号をランダムに振っていき、解が見つかるまでシミュレーションを実行してみました。すると、プログラムは数分以内に次のように解を見つけました。

キューブ1: 3,4,9,10,13,18

キューブ2: 2,5,7,12,15,16

キューブ3: 1,6,8,11,14,17

3つのサイコロを振る方法は6³ =216通りあります。3人のプレイヤーの出目は6通り考えられます。216通りの結果のうち、それぞれの出目は216/6=36回発生したと考えて間違いないでしょう。

この課題用のシミュレータは既に作成済みだったので、それを4人プレイ用に拡張しました。何時間も実行し、何兆通りもの組み合わせを試しましたが、どれもうまくいきませんでした。そこで、問題を数学的に解くことに戻りました。3つのサイコロを使った解を次のように拡張するというアイデアです。

キューブ1	4	5	10	15	18	23
キューブ2	3	6	8	17	20	21
キューブ3	2	7	9	16	19	22
キューブ4	1	11	12	13	14	24

私の考えでは、キューブ4を持つプレイヤーは先攻か後攻になる確率が1/4であるべきだと考えました。先攻になる確率を考えてみましょう。もし彼が1を出した場合、他の3つのサイコロの出目に関わらず、1が最も低い数字なので、彼が先攻になります。その確率は明らかに1/6です。もしキューブ4が11から14だった場合、他の3人のプレイヤーが15以上を出さなければ、キューブ4は最低になります。彼らはそれぞれ14より大きい数字を3つ持っていました。つまり、キューブ4が最も低い確率は(1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6です。これで、各プレイヤーが先攻になる確率が1/4になるという結論に至りました。

しかし、キューブ4が最も低い場合、他の3人のプレイヤーの順位は必ずしも均等ではありません。例えば、キューブ1から3がすべて15以上の場合、キューブ1が最も低い確率は1/3になるはずですが、実際には確率(キューブ1 = 15) + 確率(キューブ1 = 18)*確率(キューブ2 = 20または21)*確率(キューブ3 = 19または22) = 1/3 + (1/3)*(2/3)*(2/3) = 13/27となります。

そこで、私は、立方体 1 から 3 を十二面体 (12 面のサイコロ) に変えて、他の 6 面にも元の 6 面を複製し、次のように 24 を追加するというアイデアを思いつきました。

キューブ1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
キューブ2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
キューブ3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

キューブ4では、最も低い2つの数字と最も高い2つの数字、つまり1、2、47、48を入れました。そして、20と29の間の8つの数字を入れました。これにより、キューブ4が最初または最後になる確率は(2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼に保たれます。キューブ4で10から39が出た場合、3つのサイコロを使う解法に戻り、これは有効であることが証明されています。したがって、4つのサイコロを使う解法は次のようになります。

ダイス1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
ダイス2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
ダイス3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
ダイ4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

4 つのサイコロを振る場合、12^4 = 1,296 通りの可能な方法と 4!=24 通りの可能な順序があり、各順序には 1296/24 = 54 通りの組み合わせがあるということをあなたは信じなければならないでしょう。

そこで止まらず、5人プレイのケースに移りました。4人プレイのケースと同じ論理で考えると、840面ダイスを使うのが精一杯でした。このニュースレターに5ページほども数字を羅列する記事を書くよりも、Wizard of Vegasのフォーラムにある「Go First Dice」というスレッドに、正確なダイス面を公開しました。840面ダイスを5つ振る方法は3,485,099,520,000通りあるので、ランダムシミュレーションで結果を確認したところ、ダイスが期待通りの結果を出したと確信しました。

私がこの迷路にハマるきっかけとなった動画は、 Numberphile （私のお気に入りのチャンネルの一つです！）の「Go First Dice」です。ジェームズ・グライムも私と同じように4つのサイコロのケースにたどり着いています。それでも、この議論に少しでも貢献できればと思っています。

このニュースレターに掲載されているすべての画像は、 Copilotを使用して作成されました。