チェスのレーティングルールを攻略する方法

今週は、チェスのレーティング計算式を使って、ゲーム自体を少しも上達させずにレーティングを向上させる方法を見ていきます。ただし、これはわずかなアドバンテージに過ぎず、主に学術的な興味の対象であることを予めご了承ください。しかしその前に、いつものように、今週のロジックパズルをご紹介しましょう。

ロジックパズル

50人が一列に並んでおり、それぞれ1から50まで順番に番号が振られています。列の先頭の人が1番です。それぞれの人は常に真実を話すか、常に嘘をつくかのどちらかです。誰もが他の人の正直さを知っています。

偶数人は皆「私の前にいる人は全員嘘つきだ」と言います。

奇数番号の人は皆、「私の後ろにいる人は全員嘘つきだ」と言います。

誰が真実を語っているのか？

チェスのレーティングルールを攻略する方法

私の知る限り、チェスのレーティングシステムで最も一般的なのはイロレーティングシステムです。これはアルパド・イロにちなんで名付けられました。このシステムは他のゲームやスポーツでも使用されています。

基本的に、この仕組みは、両プレイヤーのレーティングに基づいて、あるプレイヤーがゲームに勝つ確率を決定する計算式に基づいています。勝ったプレイヤーは負ける確率に比例してポイントを獲得します。同様に、負けたプレイヤーは勝つ確率に比例してポイントを獲得します。勝利には1ポイント、引き分けには0.5ポイント、引き分けには0ポイントが与えられます。

このシステムは、プレーヤーのパフォーマンスは、プレーヤーの評価を平均として、ベル曲線上に描かれた乱数に基づいてモデル化できるという仮定に基づいています。これは私も同意します。より高い数字を出したプレイヤーが勝ちます。

当選確率の決定方法は以下の通りです。

r1 = プレイヤー 1 の評価とします。

r2 = プレイヤー2の評価とします。

p = プレイヤー 1 が勝つ確率。

例を見てみましょう。r1=1900、r2=2000とします。

勝利に 1 ポイント、敗北に 0 ポイントが与えられると仮定すると、評価の増加は 32*(実際のポイント - 勝利の確率) になります。

上記の例では、プレイヤー1が予想通り負けた場合、彼のレーティングは11.52ポイント下がり、プレイヤー2のレーティングは同じポイントだけ上がります。プレイヤー1が勝った場合、彼のレーティングは20.48ポイント上がり、プレイヤー2のレーティングは同じポイントだけ下がります。

Elo方式は、前述の乱数法でモデル化されたパフォーマンスの標準偏差を200としています。これは正しいと仮定しています。しかし、Elo表のベースとなる勝率の計算式は、レーティングの差が0または189の場合を除いて、この標準偏差と一致しません。

r1 レーティングのプレイヤーが勝つ正しい確率は次のとおりです。

ここで、関数Φ(x)は、ランダムな標準正規分布の値がxより小さくなる確率です。Excelでは、正しい数式はnorm.s.dist((r1-r2)/(200*sqrt(2)),1)です。

レーティングの差が100の場合を考えてみましょう。プレイヤー1をアンダードッグとします。イロレーティングの計算式によると、プレイヤー1の勝率は35.99%です。しかし、パフォーマンスの標準偏差200に基づく実際の勝率は36.18%です。つまり、プレイヤー1が勝つのは良い賭けであり、プレイヤー2にとっては悪い賭けです。プレイヤー1のレーティングの期待値の増加と、プレイヤー2の期待値の低下はそれぞれ0.06ポイントです。

次に、レーティングの差が300の場合を見てみましょう。プレイヤー1は劣勢です。ここでイロレーティングの計算式ではプレイヤー1の勝率は15.10%ですが、私が示すと14.44%になります。つまり、この試合に賭けるのはプレイヤー1にとっては悪い賭けですが、プレイヤー2にとっては良い賭けです。プレイヤー1の期待損失は0.21ポイントで、プレイヤー2の期待利益も同じです。

実際の確率の背後にある数学はガウス曲線に基づいており、このニュースレターで詳しく説明するよりも複雑です。

つまり、レーティングの差が189以上の場合、フェイバリット側が勝利に賭けるのは良い賭けです。同様に、レーティングの差が189以下の場合、アンダードッグ側が勝利に賭けるのは良い賭けです。

しかし、その偏りはごくわずかです。この情報に基づいてゲームを受諾したり拒否したりするつもりはありません。むしろ、チェスへの愛ゆえにどんなゲームでも挑戦すべきだと思います。

さらに詳しく: Elo 評価システムに関する Wikipeida の記事。

ロジックパズルの答え

真実を語っているのは2番と49番の人だけです。

ロジックパズルの解答

まず、1人目から始めましょう。もし彼が真実を語っているなら、他の全員は嘘をついていることになります。しかし、3人目は4人目から50人目まで全員が嘘をついていると主張しています。もしそれが真実なら、3番目の人は正直です。しかし、1番目の人は嘘をついていると言っています。これは矛盾を生じます。つまり、1番目の人は嘘をついているに違いありません。

2番目の人は1番目の人が嘘をついているとだけ言います。つまり2番目の人は正直者です。

4番から50番までの偶数番目の人は皆、2番の人は嘘をついていると言います。つまり、全員が嘘つきということになります。

49番は50番が嘘をついていると言っていますが、それは事実です。つまり、49番は正直者ということになります。

3から47までの奇数番号の人は皆、49番の人は嘘をついていると言います。つまり、全員が嘘つきということです。

したがって、真実を語っているのは 2 番と 49 番の 2 人だけです。