PEMDAS ルールを適用する方法。
私と同じように、Facebookのライブフィードには演算順序に関する質問が山ほど寄せられる。そして、その質問にコメント欄で何百もの回答が寄せられるが、その大半は間違っている。自分が間違っていたことを認める人は、いつもゼロだ。
私の意見が正しいと言える根拠は何でしょうか？まず、自慢させていただければ、私はカジノゲームの数学の第一人者として認められていると思っています。カジノゲームや用語を検索すれば、私の名前が至る所で出てきます。それに加え、カリフォルニア大学サンタバーバラ校で数学と経済学の学位を取得し、アクチュアリー協会の元会員でもあります。大学卒業後、私がやってきたことは何でも、数学的な性質のものでした。
このような質問の例は次のとおりです。
6 ÷ 2 (1 + 2) = ?
少し立ち止まって考えてみましょう。
答えが1なら、それは間違いです。あなたが間違っていると思う理由は、PEMDASの計算順序の経験則に従っているからです。これは小学5年生くらいで習う記憶法です。私が教わったのは「Please Excuse My Dear Aunt Sally（おばさんのサリーさん、ごめんなさい）」です。これは、子供たちに式を次の順序で評価することを教えるためのものです。
- 1.括弧
- 2.指数
- 3.掛け算
- 4.分割
- 5.算数
- 6.引き算
おそらくあなたの文法学校の先生は、これが正しいと心から信じていたのでしょう。しかし、それは違います。どこから始まったのかは分かりませんが、10歳の子供でも簡単に理解できる、簡略化された記憶術なのではないかと思います。何かを簡略化することの問題点は、ほとんどの場合正しい答えに辿り着くものの、例外がしばしば存在することです。PEMDAS の場合、前述の 6 ÷ 2 (1 + 2) の問題は次のように解くことができます。
- 6 ÷ 2 (1 + 2) = 6 ÷ 2 (3)括弧を最初に評価するため
- 6 ÷ 2 (3) = 6 ÷ 2 × 3括弧外の演算子は乗算を意味しないので
- 6 ÷ 2 × 3 = 6 ÷ 6 PEMDASによれば、掛け算は割り算の前に行われるため
- 6÷6＝1
上記の論理の誤りは3番目のステップにあります。掛け算は必ずしも割り算の前に来るとは限りません。どちらも優先順位は同じです。同じ式に両方が現れた場合は、左から順に計算してください。
付け加えると、加算は必ずしも減算の前に行う必要はありません。どちらも優先順位は同じです。ただし、加算と減算の場合、上位のルールが適用されないため、どちらを先に行うかは問題ではありません。
6 ÷ 2 (1 + 2) を正しく計算する方法は次のとおりです。
- 6 ÷ 2 (1 + 2) = 6 ÷ 2 (3)括弧を最初に評価するため
- 6 ÷ 2 (3) = 6 ÷ 2 × 3括弧外の演算子は乗算を意味しないため
- 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3掛け算と割り算はどちらも左から計算するため
- 3 × 3 = 9
もう一つ質問があります。
7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 – 7 = ?
Facebookでは答えが56と表示されています。これはPEMDASのせいではなく、「私の計算機では答えは56だった」という理由で間違える人の例です。これは、左から右へ答えるだけの人が出す、怠惰で誤った答えです。誤った推論は次のとおりです。
- 7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 – 7 = 14 ÷ 7 + 7 × 7 – 7左から順に計算するため
- 14 ÷ 7 + 7 × 7 – 7 = 2 + 7 × 7 – 7左から順に計算するため
- 2 + 7 × 7 – 7 = 9 × 7 – 7左から順に計算するため
- 9 × 7 – 7 = 63 – 7左から順に計算するので
- 63 – 7 = 56
これを評価する正しい方法は次のとおりです。
- 7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 – 7 = 7 + 1 + 7 × 7 – 7割り算は足し算に優先し、掛け算の左側にあるため
- 7 + 1 + 7 × 7 – 7 = 7 + 1 + 49 – 7なぜなら、掛け算は足し算と引き算よりも優先されるからである。
- 7 + 1 + 49 – 7 = 8 + 49 – 7加算と減算では左端の演算を先に行うため
- 8 + 49 – 7 = 57 – 7加算と減算では左端の演算を先に行うため
- 57 – 7 = 50
これはPEMDASが正確に計算できる点です。多くの人が電卓を正しく使っていないために間違えることがあります。数字と計算を正しい順序で入力することが重要です。HP15Cのような逆ポーランド記法を採用した電卓なら、これははるかに簡単です。ちなみに、HP15CやHP12Cをお持ちの方は、誰でもすぐに私の友達になれます。
最後に、この演算順序パズルに、ロジックとレイアウトの両方において独自の工夫を加えた、自作のパズルをご紹介します。画像はGoogleから拝借しました。このパズルは、 Mind Your DecisionsのYouTubeチャンネルにある、似たような、しかしさらに難しいパズルからヒントを得ました。ぜひお好きな場所に投稿してください。きっと話題になると思います。
パイナップルだけを解くと部分的な単位が与えられ、積分を解くと完全な単位が与えられます。
答えは6月29日のニュースレターに掲載します。それまでの間、幸運があなたに味方しますように。