2の平方根が無理数であることの証明
今週は、2の平方根が無理数であることを証明します。ただし、その前に、今週の論理パズルを紹介します。
ロジックパズル
アラブのシェイクは、二人の息子にラクダで遠くの街まで競争させ、どちらが財産を相続するか競わせます。ラクダの遅い方が勝ちです。何日もあてもなくさまよった後、兄弟は賢者に助言を求めます。助言を受けた彼らはラクダに飛び乗り、街へと全速力で駆け出します。賢者は彼らに何と言いましたか？
答えはニュースレターの下部にあります。
2の平方根が無理数であることの証明
証明には背理法を用います。つまり、2の平方根が有理数であることを反証し、無理数であるという代替案を残します。
有理数の定義は、2つの整数の比として表せるということです。これらをpとqと呼びましょう。つまり、無理数はこのように表すことができないということです。背理法による証明のために、とりあえず の平方根はp qと表せるとしましょう。ここで分数は最小の項まで約分されます。つまり、次のようになります。
√2 = p q2 = p 2 q 2 （両辺を二乗する）
6; フォントファミリー: 'Open Sans'、サンセリフ; 色: #313131 !重要; ">2q 2 = p 2この時点で、pは偶数でなければなりません。なぜなら、ある数の平方が偶数であれば、その数自体も偶数だからです。同様に、奇数の平方も奇数です。したがって、kを整数とすると、p=2kとなります。
2q 2 = (2k) 2
2q 2 = 4k 2
q 2 = 2k 2
同じ論理で、qも偶数でなければなりません。つまり、pとqはどちらも偶数です。しかし、冒頭でpとqは最小の形に縮約されていると仮定しました。しかし、もし両方とも偶数であれば、どちらも2で割ることができます。
したがって、 √2 = p qという当初の仮定は誤りであることが証明されました。したがって、√2 が無理数であるという仮定は真でなければなりません。
ロジックパズルの解答
賢者は言いました。「ラクダを乗り換えて遠くの街まで走りなさい。」