2つの封筒のパラドックス -- 2019年9月19日
私は良いパラドックスが好きで、中でも封筒のパラドックスは特に気に入っています。色々な言い方がありますが、私はゲーム番組が好きなので、その形式で表現するのが好きです。さて、パラドックスはこんな感じです。
あなたはゲーム番組に出演しています。司会者が2つの封筒を見せ、どちらかを選ぶように言います。あなたは封筒を開けることなく、司会者は片方の封筒にはもう片方の2倍のお金が入っていると説明します。そして、もう片方の封筒に切り替える選択肢を与えます。
切り替えるかどうかの判断において、もう一方の封筒には、あなたが選んだ方の半分か2倍の金額が入っていると仮定します。低い方、または高い方の封筒を選ぶ確率は50%です。あなたが選んだ封筒に入っている金額をxとします。もう一方の封筒の期待値は、xの半分とxの2倍の平均であると計算します。より数学的に言えば、もう一方の封筒の期待値は(1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1.25 xとなります。
これを見ると、切り替えは良い賭けのように思えます。しかし、機会があれば、同じ論理で切り替えを元に戻すことも可能です。もし無制限に切り替えが許されれば、あなたは無限に切り替え続けるでしょう。明らかに、その過程で何も得られません。では、問題は、もう一方の封筒の期待値があなたが選んだ封筒の1.25倍であるという議論のどこに欠陥があるのかということです。
この問いに簡単な答えはありません。高度な数学雑誌には長文の記事が書かれてきました。私自身も、同僚の数学者たちと何時間も議論を重ねてきました。1.25倍の議論には欠陥があることは誰もが認めていますが、なぜ欠陥があるのか、特に平易な言葉で説明する方法については、皆が同意していません。
期待値に関する議論の欠陥を説明する最も簡単な方法は、最初の封筒の x の値に2 と 0.5 という乗数が適用されていることです。これは、もう一方の封筒の金額が2x か 0.5x のいずれかであることを示唆しています。2xと 0.5x の比率は 4 です。問題文自体では、大きい方の金額は小さい方の金額の 2 倍であり、4 倍ではないと述べられています。したがって、これは正しくありません。
それでも、その議論には納得がいきません。期待値論を反証するかもしれませんが、期待値論のどこが間違っているのでしょうか？私が好んで説明するのは、期待値の公式はxが一定であると仮定しているために成り立たないということです。xは一定ではなく、ランダムです。乗数はxの量と100%相関しています。これが期待値論を破綻させるのです。
この問題をより適切に考えるには、切り替えによって得られる量または失われる量を考えることです。その量は、2つの封筒の差です。例えば、2つの封筒にyと2yが含まれている場合、切り替えによってyの増減が生じます。言い換えると、切り替えによる増減は*y + 0.5*-y = 0となります。
それでも、この説明にはまだ完全に納得できていません。これで夜は眠れるのですが、素人が私の主張を理解できるかどうかは分かりません。おそらく理解できないでしょう。
このニュースレターがあまり面白くなくて申し訳ありません。もしこのトピックに興味があれば、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで時々話題になっています。このトピックに関する2つの主要なスレッドをご紹介します。
com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">MATHPROBLEMS.INFO の 2 つの封筒の問題