TED-Edのカエルの謎の答えは間違っている
TED-Edは素晴らしいYouTubeチャンネルです。数学や論理パズルを頻繁に取り上げているのが気に入っています。しかし、今回のニュースレターでは、TED-Edの「カエルの謎」の答えが間違っていることを指摘したいと思います。
先に進む前に、次のリンクにあるビデオを視聴することをお勧めします。
ビデオを視聴していない場合は、次の情報を参照してください。
- あなたは巨大な熱帯雨林に取り残され、毒キノコを食べてしまいました。
- 命を救うには、ある種のカエルが排出する解毒剤が必要です。
- 残念なことに、解毒剤を生産できるのはこの種のメスだけです。
- オスとメスは同数出現し、見た目も同じです。
- オスは特徴的な鳴き声を出す。
- 左側の木の切り株の上にカエルがいます。
- 木の切り株の上のカエルのところまで行く前に、反対方向の空き地からカァカァという音が聞こえてきます。
- 空き地には2匹のカエルがいますが、どちらが音を立てたのか分かりません。
- 意識を失い、一方向にしか進むことができないと感じます。
- カエルはすべておとなしいので、近づくと簡単に舐められるかもしれません。
問題は、どちらの方向に進むべきかということです。言い換えれば、それぞれの方向で生き残る確率はどれくらいでしょうか？
このパズルは明らかに、古典的な男の子と女の子のなぞなぞを言い換えたものです。カエルのなぞなぞは一旦置いておいて、男の子と女の子のなぞなぞをきちんと考えてみましょう。そのパズルでは、次のような答えが与えられます。
- 男児と女児の数は同数で、兄弟姉妹とは無関係です（つまり、一卵性双生児は無視できます）。
- ちょうど 2 人の子供がいる女性に「少なくとも 1 人の男の子はいますか?」と尋ねると、彼女は「はい」と答えます。”
問題は、彼女が女の子を産む確率はどれくらいかということです。
この質問に対するよくある誤った答えは「1/2」です。これは、「もう一方の子供」が男の子か女の子かの確率が50/50であるという主張です。誤解は、「もう一方の子供」は存在しないというものです。
正しい解法は、ベイズの条件付き確率定理を用いることです。一般的に、情報Bを与えられた場合の命題Aが真である確率は、両方の真である確率の比を、情報Bが真である確率で割った値であると定義されます。これは次のように表されます。
Pr(A | B) = Pr(A および B) / Pr(B)。
男の子と女の子のパズル：
A = 母は女の子を産みました
B = 少なくとも1人の男の子
これは、Pr(男の子と女の子) / Pr(少なくとも 1 人の男の子) として解くことができます。
一般的に、2 人の子供がいる家庭の場合、確率は次のようになります。
男の子と女の子 = 50%
男の子と男の子 = 25%
女の子と女の子 = 25%
男の子と女の子のパズルの答えは、50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3 となります。
2/3 の確率を説明するもう 1 つの一般的な方法は、次の表を使用することです。
| 子供1 | 子供2 | |
| 男 | 女性 | |
| 男 | いいえ | はい |
| 女性 | はい | |
女性/女性のセルは黒く塗りつぶされています。これは不可能だからです。「はい」は少なくとも1人の女性がいることを意味します。3つの可能性のうち、2つには女性が含まれていることがわかります。したがって、少なくとも1人の女性がいる確率は2/3です。
さて、カエルの謎に戻りましょう。動画で彼らが答えを出した方法から判断すると、彼らは明らかに、オスが「カァカァ」と鳴くという部分を使って、空き地にいるカエルのうち少なくとも1匹はオスであるという知識を得ようとしています。しかし、答えである「カァカァ」という部分の表現は、2/3以外の答えを導き出しています。
正しい答えを得るには、特定のオスのカエルの鳴き声が聞こえる確率を知る必要があります。議論のために、10%と仮定しましょう。また、空き地から鳴き声が聞こえた場合、それが1匹のカエルからなのか2匹のカエルからなのかは分からないと仮定しましょう。
まず、丸太の上のカエルがメスである確率を調べてみましょう。その確率を表す式は次のとおりです。
Pr(女性 | 鳴き声なし) =
Pr(メスで鳴き声なし)/Pr(鳴き声なし) =
Pr(メスで鳴き声なし)/(Pr(メスで鳴き声なし) + Pr(メスで鳴き声なし)) =
(0.5 * 1)/(0.5 * 1 + 0.5 * 0.9) = 0.5/(0.5 + 0.45) = 0.5/0.95 = 10/19 =~ 52.63% です。
さて、まずは空き地にメスがいる確率を調べてみましょう。その確率を表す式は次のとおりです。
Pr(メス | ガラガラ声) =
6; フォントファミリー: 'Open Sans'、サンセリフ; 色: #313131 !重要; ">Pr(メスと鳴き声)/Pr(鳴き声) =Pr(メスと鳴き声)/(Pr(メスと鳴き声のオス) + Pr(鳴かないオスと鳴き声のオス) + Pr(2羽の鳴き声のオス)) =それぞれの確率を個別に見てみましょう。
Pr(メスと鳴き声): メスが1匹と鳴き声を出すオスが1匹ずついるはずです。その確率は2 * 0.5 * 0.5 * 0.1 = 1/20 = 0.05です。2としたのは、どちらのカエルがメスであるかを判断する方法が2通りあるためです。
Pr(メスと鳴き声を出すオス) = 上記と同じですが、鳴き声はオスからのみ発生します。
Pr(鳴かないオスと鳴くオス) = 2 * 0.5 * 0.5 * 0.9 * 0.1 = 0.045。2としたのは、鳴くオスを選ぶ方法が2通りあるためです。
Pr(鳴き声を上げる雄2羽) = 0.5 * 0.5 * 0.1 * 0.1 = 0.0025
空き地にメスがいる全体的な確率は、 0.05 / (0.05 + 0.045 + 0.0025) = 0.05/0.0975 = 20/39 =~ 51.28%です。
要約すると、両方の方法での生存確率は次のとおりです。
丸太の上のカエルを舐める = 52.63%
クリア時に両方のカエルを舐める = 51.28%。
したがって、丸太の上のカエルを舐める必要があります。
特定の雄の鳴き声を聞く確率がcである一般的なケースを見てみましょう。生存確率は以下のとおりです。
対数上のカエルをなめる = 1/(2-c)
空き地にいる両方のカエルをなめる = 2/(4-c)
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">c>0 のどの値でも、丸太の上のカエルを舐める確率が高くなります。c>0 であることは、鳴き声が聞こえたのでわかります。したがって、丸太の上のカエルを舐める必要があります。