カジノバーのブラックジャックに関する警告

概要

以下は、2002年5月27日と12月13日にカジノバーでプレイした際のブラックジャックの結果が、公正なゲームとは一致していなかったという私の主張です。以前、ある人物が私に、カジノバーのブラックジャックから抜粋したというコンピュータコードの一部を持ちかけてきました。私の解釈では、プレイヤーの合計が16～21で、ディーラーが3枚目のカードを引かなければならない場合、そのカードがディーラーのバストにつながる場合は、そのカードは拒否され、ディーラーはセカンドチャンスカードを受け取ります。このセカンドチャンスカードは、ディーラーがバストするかどうかに関わらず、最終的なものです。言い換えると、コードのロジックは以下のようになります。

1. プレイヤーの合計が 16 ～ 21 の場合はステップ 2 に進み、それ以外の場合は通常どおりプレイします。
2. ディーラーの 2 枚のカードの合計が 12 ～ 16 の場合はステップ 3 に進み、それ以外の場合は通常どおりプレイします。
3. デッキの次のカードを見て、ディーラーがバストする場合はそれをバーンして次のカードを取り、そうでない場合はディーラーに渡します。
4. 必要に応じてさらにカードを取って合計が 17 以上になったら、そのハンドのスコアを計算します。

これは実際のカジノで言う「ディーリング・セカンド」です。プレイヤーがスプリットした場合、ゲームがどうなるかは分かりませんが、私の実験ではスプリットハンドは考慮していません。

このコードが正当なものかどうかは分からないことを強調しておきます。

私の実験の目的は、カジノバーが公正なブラックジャックをプレイしているという点を反証することでした。そのために、プレイヤーの合計が16-21で、バーストの可能性がある状況で、ディーラーが3枚目のカードでバストする頻度を検証する実験を計画しました。プレイ中に、この状況は332回発生しました。以下の表は、ディーラーの2枚目の合計に基づいて、この332回のうち、ディーラーが3枚目のカードでバストした回数を示しています。

単純化のためにデッキが無限であると仮定すると、ディーラーが12～16の合計でバストする確率は簡単に計算できます。合計が12の場合、ディーラーを破るカードは4枚、破らないカードは9枚あるため、次のカードでディーラーを破る確率は4/13です。同様に、次のカードで合計が13でバストする確率は5/13、というように続きます。次の表は、これらの確率と、12から16までの各合計におけるサンプル数に基づいて、この実験でディーラーがバストするはずだった回数の予想値を示しています。

右下の数字は、期待される破綻数が149.38であることを示しています。実際の破綻数は89でした。これはかなりの乖離です。この乖離の確率を決定するために、まず期待される破綻数の分散を計算する必要がありました。var(x+y) = var(x)+var(y)+2*cov(x,y)という式を用いることで、それぞれの合計について個別に分散を計算できます。共分散は0です。なぜなら、片方の手からもう片方の手へと影響が及ぶはずだからです。

この実験が従う二項分布の分散はn*p*qです。ここでpは成功確率、qは失敗確率です。したがって、総分散は84*(4/13)*(9/13) + 61*(5/13)*(8/13) + 67*(6/13)*(7/13) + 61*(7/13)*(6/13) + 59*(5/13)*(8/13) = 78.11となります。標準偏差はこの数値の平方根、つまり8.84です。

ディーラーの実際のバストと期待値の差は、149.38-89 = 60.38です。これは、60.38/8.84 = 6.83標準偏差、期待値より低いことになります。ベルカーブのここまで左に振れる確率は2380億分の1です。比較すると、パワーボールに当たる確率は80,089,128分の1です。公平なゲームでこれほど悪い結果になるよりも、1枚のチケットでパワーボールに当たる方が2976倍簡単です。

私の結果は他の 3 人のウェブマスターによって確認されました。

ゲームマスターは独自のテストを行いました。ゲームマスターのサンプルでは、プレイヤーが16～21、ディーラーが2枚合計で12～16だった223のハンドのうち、ディーラーは3枚目のカードで100.77回バーストするはずでしたが、実際には53回しかバーストしませんでした。53回以下のバーストの確率は430億分の1です。疑わしい点があれば、ゲームマスターは自分のプレイをビデオ録画しました。

Deep Net Technologiesのウェブマスターである Dan Pronovost 氏は、プレイヤーの合計が16-21で、ディーラーが3枚目のカードでバストする可能性のある99ハンドの小規模サンプルを作成しました。その結果、予想バスト数は45.54、実際のバスト数は28で、標準偏差は4.84でした。28以下のバストを観測する確率は0.014%です。この高い確率は、サンプルサイズが小さいことに起因すると考えています。この実験の条件を満たす99ハンドを集めるために、Dan氏は合計500ハンドをプレイし、すべてのスクリーンショットを撮影しました。彼の実験の詳細はdeepnettech.comでご覧いただけます。

友人のMNも、Casino Barとその姉妹カジノであるCasino on Airのブラックジャックゲームで様々なテストを行いました。最も説得力があったのは、ディーラーの2枚合計が12～16で、プレイヤーの2枚合計がCasino Barでは17～21、Casino on Airでは16～21だった場合のディーラーの3枚目のカードの配り方です。結果は以下の通りです。

低いカード（A～5）が高いカード（9～K）に比べてどれほど重視されているかに注目してください。この分布をカイ二乗検定にかけると、Casino Barではカイ二乗統計量は97.83、Casino on Airでは87.86となり、どちらも自由度は12です。このように歪んだ結果が出る確率は、Casino Barでは676兆分の1、Casino on Airでは7.8兆分の1です。

なお、Casino on Air が Starnet を離れて以来、私は Casino on Air でプレイしたことがないので、Casino on Air の結果を確認することはできません。

カジノバーの対応

私が調査結果を投稿して間もなく、カジノ・バーの弁護士から手紙を受け取りました。彼らは私の主張を否定し、「あなたの報告は偏向しており、中傷的な性質を持っています。どのようにしてこのような不正確で誤解を招く結論に至ったのか、私たちには到底理解できません」と述べていました。公平性を期すため、カジノ・バーに調査結果の調査時間を与えるため、私は一時的に私の報告を削除しました。この待機期間中、カジノ・バーの弁護士の要請により、私たちのやり取りを掲載しました。

6月23日、私はカジノ弁護士会の弁護士から、ニューヨーク州ストーニーブルック州立大学経済学部のゲーム理論の著名な教授であるヤイル・タウマン博士（ヘブライ大学）による報告書を受け取りました。以下は報告書全文です。

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まず最初に、私はタウマン氏と彼の報告書を尊敬していると申し上げたいと思います。

私は、ポイント 1 のタウマン氏の冒頭陳述で、私が計算した確率に同意し、私の結果は「公正なディーラーの仮説では極めてありそうにない」と述べていたことを非常に嬉しく思いました。

2点目において、タウマン氏は公正なゲームプレイを体験したと報告しています。この点については異議を唱えません。私の主張は、2002年5月27日にプレイした際に公正なゲームプレイを体験できなかったということです。さらに、その直後に他の3人の独立したテスターが行ったテストも、明らかに公正なゲームプレイを体験していませんでした。Casino Barは、私のデータが不正確であると直接主張したことはなく、私のログファイルを自由に利用できます。

3番目のポイントで、タウマン氏は、規定で推奨されている取引方法に基づくと期待される収益率は93.8%であると述べていますが、これはカジノバーが報告した実際の収益率97.6%を大きく下回っています。93.8%という数字は妥当な数字に思えますし、カジノバーが常に不公平な取引をしているとは主張しません。

ポイント4で、私のリターンが95.7%だったと述べられていますが、これは私が従う適切な基本戦略を前提とした公正なゲームであれば可能な数字だと私も思います（構成によっては例外もありますが）。また、このリターンは、ディーラーが2枚目のカードを配っていると仮定した場合の93.8%に近いと言えるでしょう。カジノバールール（これは非常に優れたルールです）に基づく公正なゲームを前提とした99.8%よりも、むしろ近いと言えるでしょう。1245ハンドのサンプルでは、実際のリターンは期待リターンから最大6.4%の差が95%の確率で生じるため、私の実際のリターンは何も証明も反証もしません。

5番目の点について、タウマン氏の指摘は正しく、私の結果は私が上で説明した秒の分配方法とうまく一致しません。コードが正確であるという仮説に基づいて結果を検証すると、私の結果は確かに期待値より2.44標準偏差高く、この値以上になる確率は0.73%です。私の目的はコードの正確性を証明することではなく、公正なゲームを反証することであったことを強調しておきます。

Casino Barのブラックジャックゲームを、ご要望に応じて1回無料で再テストさせていただきます。また、ご要望がなくても自主的に再テストを行う可能性があります。アカウントはまだ有効ですので、ご理解のほどよろしくお願いいたします。

紛争は続く

以下は、2002 年 6 月 28 日にカジノ バーの弁護士から受け取った手紙です。

拝啓、

件名: COAワールドエンターテインメントリミテッド

テルアビブ大学のゲーム理論博士の著名な教授であるヤイル・タウマン教授の報告に続き、私たちは以下の点に注目したいと思います。

ヤイール・タウマン教授は、ゲーム理論と確率論を専門とする数学と統計学の分野で著名な専門家です。タウマン氏は、『International Journal of Game Theory』および『Games and Economic Behavior』誌の副編集長を務めました。教職歴は、スタンフォード大学、オハイオ州立大学、ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校、ノースウェスタン大学ケロッグ経営大学院など、米国の著名な教育機関に加え、イスラエルの二大大学であるテルアビブ大学とエルサレム大学にも及びます。

タウマン教授の調査結果は、カジノ バーでプレイされるブラック ジャック ゲームが公正であることを疑いなく証明しており、あなたの結論は根拠がなく、したがって真実ではないということになります。

前回の報告書の表現と掲載方法に異議を唱えます。トゥアマン教授の報告に基づき、少なくとも謝罪は得られるものと期待していました。したがって、この件に関する掲載を直ちに撤回し、上記の無謀かつ名誉毀損的な示唆について、全面的に謝罪する旨を表明した文書を、報告書を掲載した同じメディアを通じて掲載するよう指示いたします。

弊社のクライアントは、Casino Bar のブラック ジャック ゲームのテストをあなたに依頼したことはなく、再テストを実行するかどうかはあなたの独自の裁量に委ねられていると主張しています。

さらに、お客様の最初の投稿に起因するCOAの損失と損害を評価するよう指示を受けており、これらが明確になり次第、お客様および本件に関与するすべての関係者に対して講じるべき更なる措置について助言いたします。また、お客様はCasino on Airでプレイしていないと明確に述べていたにもかかわらず、最初の報告にCasinoonair.comを含めたことにより、COAが被った損失と損害が拡大していることにも留意いたします。

ここに記載されている内容は、COA の権利または救済手段の放棄を構成するものとはみなされず、それらはすべて明示的に留保されます。

よろしくお願いします、

ギデオン・レビット、弁護士
アブラモビッチ、ヨセフ、ハキム

以下は私の弁護士から送られてきた返答です

親愛なるレビット様

ご承知のとおり、私は知的財産弁護士であり、マイケル・シャックルフォード氏の代理として出廷しております。

6月28日付のお手紙に対するシャックルフォード氏の回答を添付いたします。法的根拠に基づき、シャックルフォード氏の回答に完全に同意いたします。

タウマン氏がテスト中にフェアなゲームをしていたからといって、シャックルフォード氏が2002年5月27日にフェアなゲームをしていたとは限りません。これはシャックルフォード氏の報告書で述べられていることです。カジノ・バーはシャックルフォード氏のプレイのログファイルにアクセスでき、あなたの専門家でさえフェアなゲームでは「極めてあり得ない」と述べていたシャックルフォード氏のハンドを否定したことは一度もありません。さらに、ログファイルの破棄は法的措置につながる可能性があることも指摘されており、これはあなたもご存知でしょう。また、シャックルフォード氏の報告書で言及されている同僚2名が、結果をビデオ録画し、スクリーンショットを撮影していることは明白です。

真実は名誉毀損に対する完全な防御手段であるため、シャックルフォード氏の報告書のどの部分が虚偽であるかをあなたはまだ指摘していません。ぜひ指摘してください。もし指摘できないのであれば、シャックルフォード氏はあなたに謝罪も撤回もする義務はありません。さらに、法的措置を取れば、依頼人であるあなたの依頼人にとって大きな悪評を招くだけでしょう。なぜなら、この事件は広く報道される可能性があり、前述の反駁の余地のない証拠が裁判で提出され、より広く報道される可能性が高いからです。

心から、

{弁護士の要請によりオンラインで名前を削除}、弁護士

（シャックルフォード氏の手紙は以下）

拝啓：

前回のお手紙への返信として、ウェブサイト上で謝罪したり、重要な変更を加えたりすることはお断りいたします。以下は、お手紙の具体的な点について私がコメントしたものです。

オンラインで述べたように、私はヤイール・タウマン教授と彼の報告書を尊敬しています。彼の資格は疑う余地がありません。

私のサイトでは、カジノバーがブラックジャックで常に不公平なプレイをしているとは主張していません。むしろ、5月27日のゲームでは私自身が公平なプレイをしなかったと主張しています。タウマン氏でさえ、「シャックルフォード氏の計算した確率には同意します。また、シャックルフォード氏が報告した実験結果は、公平なディーラーの仮説の下では極めてあり得ないことにも同意します」と述べています。つまり、あなたの専門家も私に同意しているということですね。彼が公平な試合をしたからといって、私が公平な試合をしなかったという証明にはなりません。

Casino on Airに関しては、インターネットゲームにおける誠実さを信条とする別の人物から得たデータを転載しているだけです。私自身がそこでプレイしたわけではありませんが、Casino on AirはCasino Barの姉妹カジノであるため、彼の結果は私の調査結果を裏付けていると信じています。

調査を依頼されなかったことは問題ではありません。あなたや私のサイトに広告を掲載する人は、より厳しい監視を受けることになります。カジノバーの広告掲載について読者から苦情がいくつか寄せられたため、自分でゲームをテストする義務を感じました。

損害額はご自由に計算してください。私はカジノバーで起こったことを正直に報告しているだけなので、責任を感じる必要はありません。米国の裁判所で損害賠償を求めるのはあなた次第ですが、勝訴の可能性は「極めて低い」と考えています。よろしくお願いいたします。

マイケル・シャックルフォード
2002年6月29日

2002年9月6日、ディーラーがまだ2枚目のカードを配っているかどうかを確認するために、カジノバーに戻りました。カジノバーが私のアカウントをずっとオープンにしていたのは、スポーツマンシップの表れだったと思います。プレイヤーのカードの合計が16～21で、ディーラーの2枚目の合計が12～16だった106回のハンドにおいて、ディーラーが3枚目のカードでバストする頻度を以下の表に示します。

上の表は、106通りのハンドのうち51通りのバストハンドを示しています。次の表は、無限デッキを想定した場合の予想されるバストハンド数を示しています。

上の表は、このサンプルにおける期待されるバースト数が47.15であることを示しています。実際のディーラーのバースト数は51回で、これは予想を上回り、通常の変動範囲内です。予想を上回る確率は22%、下回る確率は78%です。つまり、Casino Barは2回目のディーラーの配り方に関するテストに難なく合格したことになります。

最初の再テストでフェアなゲームができたことがわかった後、友人のMNがプロモーション中にもう一度チャンスを与えてくれました。驚いたことに、彼女の結果は私の最初のテスト結果と一致していました。プレイヤーの合計が16-21で、ディーラーの2枚目の合計が12-16の時に、彼女はディーラーの3枚目のカードをサンプリングしたのです。彼女の結果は非常に偏っていました。フェアなゲームで、示されている分布と同じかそれ以上に偏った分布になる確率は、6.3兆分の1です。

カスタムストラテジーカードの再テストを確認するため、2002年12月13日にCasino Barを再度テストしました。しかし、このシステムは公平なゲームプレイを提供するようにプログラムされているのではないかと推測しました。そこで、友人の自宅にある彼のアカウントに資金を入金してプレイしました。テストの結果は1回目と2回目のテストと同じで、プレイヤーの合計が16～21で、ディーラーが3枚目のカードでバストの危機に瀕している状況で、ディーラーが3枚目のカードでバストする頻度が変わりました。以下はその結果です。

上の表は、160通りのハンドのうち43通りがバストすることを示しています。次の表は、無限デッキを想定した場合の予想されるバスト数を示しています。

つまり、サンプルの160ハンドのうち、期待されるバスト数は73.46でしたが、実際の数はわずか43でした。バスト数の標準偏差は6.16です。私の結果は期待値より4.94標準偏差低いものでした。公平なゲームで46回以下のバストになる確率は260万分の1です。

今回は、法廷で私の結果が争われた場合に備えて、自分のプレイをビデオに録画しました。

作成者： Michael Shackleford