無限デッキのブラックジャックのハウスエッジ
マイク：こんにちは。オッズの魔法使いマイクです。前回の動画では、今目の前にある空白のスプレッドシートからブラックジャックの基本戦略を作成する方法をご紹介しました。このパート2では、そこからブラックジャックでハウスアドバンテージを得る方法をご紹介します。つまり、プレイヤーがどのハンドで勝つか負けるかの期待値は既に分かっているということです。
今、私がしなければならないことは、あらゆるスターティング ハンドの確率を見つけ、それらの確率を期待値で乗算し、最後にディーラーが最初からブラックジャックを持っていることを考慮して調整することだけです。
それでは、まずページから始めましょう。Prob（確率）と名付けましょう。これは、あらゆるスターティングハンドの確率を表します。プレイヤーは5から21、あるいはブラックジャックまで、どんな手札でもスタートできます。ソフトハンドは13からブラックジャックまでです。ハードハンドの合計に、ブラックジャックとソフトハンドの合計を記入します。そして、スプリットの可能性も考えられます。2から10までのペアとエースです。もちろん、すべてはディーラーのアップカードに従って行われます。では、それでは。
プレイヤーの最初のカードは2からエースまで、そして2枚目のカードも同様です。では、それぞれの可能な合計がどのくらいの頻度で発生するかを見てみましょう。エースは除きます。この表は、最初のカードと2枚目のカードのすべての組み合わせの合計を示しています。ペアはプレイヤーが分割できるため、別々に扱うため、ここでは除外します。さて、ここに可能性のあるすべての合計が示されています。この列には、上の表で発生する頻度に基づいて、それぞれの確率を示します。いつも使っているsum if関数を使います。ちょっと待ってください、まだ時期尚早ですね。では、似たような表を見てみましょう。
それぞれの合計の確率を示す別の表を作成します。ほとんどの場合、10が絡まっていない場合は13回に1回、13回に1回です。10が絡んでいる場合は13回に1回、13回に4回です。
はい。これで、等和の計算が完了しました。この表から特定の数値を検索し、見つかったらそれらの数値を合計します。ドル記号を挿入する必要があります。そうすることで、これをコピー＆ペーストしても、2つの行列の範囲は同じままになります。
よく見えないかもしれないので、拡大して見ましょう。ごめんなさい。わかりました。
ここでは、各プレイヤーのハード合計が5から19までになる確率を示しています。ここでは、ディーラーの合計とほぼ同じことをしています。しかし、気にする必要はありません。例えばハード5の場合は、下の表を参照して、ディーラーのアップカード2枚のうち13枚を1回掛け合わせた値とします。そして、ペアの場合と同じ考え方なので、この20を引いておきます。わかりました。
ディーラーの表向きのカードが10の場合も、同じことをしますが、デッキには10点のカードが4枚あるので、4を掛けて13で割ります。さらに、ホールカードがエースではないことが分かっているので、12と13も掛けます。エースの場合も同様ですが、ディーラーのエースと9を13分の1で掛けて、ホールカードが10点ではないので、13で割ります。これが、各スターティングハンドにおけるプレイヤーのハード合計の確率です。これによると、プレイヤーは67.6%の確率でハード合計を扱うことになります。わかりました。
ソフト合計はほとんどの場合、2倍、つまり13の2乗に1回です。2回にする理由は、例えばソフト13の場合、エースと2の2枚のカードは「どちらか」の可能性があるからです。そのため、2倍にします。さらに、ディーラーのアップカードも13分の1で計算します。つまり、合計確率は2倍、つまり13分の1になります。これはソフト20まで適用されます。ソフト21では、10点のカードが他のカードよりも多くあるため、その可能性が高くなります。ですから、13の2乗に1回、つまり13分の4を掛ける計算をします。わかりました。
ディーラーの9までコピー＆ペーストしました。というか、コピー＆ペーストしすぎました。では、10までやってみましょう。ここでも、13の1を13の4に変更し、さらに12と13を掛けます。ディーラーはホールカードにエースを持っていないからです。ソフト13の場合も、やはりエースです。同じように、13の1を2回、キューに入れて、9と13を掛けます。ディーラーはホールカードに10を持っていないことが分かっているからです。わかりました。
ディーラーが 10 に対してプレイヤーがブラックジャックを出す確率は、2 倍、13 倍、4 倍、4 倍、13 倍、12 倍、13 で割った値です。ディーラーがエースに対してプレイヤーがブラックジャックを出す確率は、2 倍、13 倍、4 倍、13 倍、13 倍、9 倍、13 倍です。この値が正しいといいのですが。
さて、ペアについて考えてみましょう。ディーラーが2のペアに対して、プレイヤーが2のペアになる確率は13分の1です。同じカードが2枚あるので、2倍にする必要はありません。ディーラーが9のペア、そしてエースのペアの場合も同様です。ディーラーが2のペアに対して、プレイヤーが10のペアになる確率は、ディーラーが2のペアの場合、4と13の2乗を13分の1で掛け算します。これをコピーして貼り付けてください。
では、ディーラーが10を出した状態で同じことをしてみましょう。これは13の2乗に1を掛け、4と13を掛け、12と13を掛けた値になります。ディーラーが10を出した状態でプレイヤーが10をペアにする確率は、4と13をキューに入れて12と13を掛けた値になります。わかりました。
ディーラーのエースに対して 2 のペアになる確率は、13 の 1 乗で、13 分の 9 になります。ディーラーのエースに対してプレイヤーの 10 のペアになる確率は、13 の 2 乗で、13 分の 1 を掛けた 13 分の 9 になります。わかりました。
全ての確率が揃っています。正しいといいのですが。実際、それらを合計して、正しいかどうか確認してみましょう。よし。
合計すると95.27%になります。そして、ここで足りないのはディーラーがブラックジャックになる確率です。ディーラーがブラックジャックになる確率は、2×4と13×13分の1で4.74%です。これらを合計して、うまくいけば1になるはずです。1になりましたね。素晴らしい。それで、確率表ができました。
次に、期待収益のシートを作成しましょう。
次のステップは、期待リターンシート（略してERと呼びます）を作成することです。このシートには、既に算出した任意のハンドの期待リターンが含まれます。これをすべて、確率シートと同じレイアウトで1枚の便利なシートにまとめます。ハード5対2の場合は、ヒット、スタンド、ダブル、サレンダーシートを参照するだけです。これをコピーして貼り付けます。ソフト合計についても同様です。そしてペアについてもです。ただし、ペアについては、前回の動画で紹介したスプリッティングシートを参照します。
次に、期待値シート（EVと呼びます）を作成しましょう。これは期待値の確率と、任意のハンドの確率を表します。つまり、確率シートの任意のセルと、期待ターンシートの対応するセルを掛け合わせるだけです。これを、考えられるすべてのスターティングハンドについて行います。合計がどうなるか見てみましょう。プラスの1.43%です。しかし、これまでずっと言ってきたように、ディーラーはブラックジャックを持っていないと仮定してきました。そして今気づきました。ソフト21の期待リターンシートで、エース5と5のように扱っていたのですが、実際にはブラックジャックなので1.5になるはずです。この1.5をコピーして下まで貼り付けると、期待リターンは4.02%になります。しかし、繰り返しますが、ディーラーがブラックジャックを持たないというハードルをクリアした後、ディーラーがブラックジャックになる確率はどれくらいでしょうか？つまり、13 回のうち 4 回、13 回のうち 1 回です。2 回である理由は、10 とエースの順序がどちらになる可能性があるからです。
ディーラーがブラックジャックで勝つ可能性もあります。その確率は、ブラックジャックの確率に、プレイヤーがブラックジャックを持っていない確率を掛け合わせたものです。そして、その状況ではプレイヤーが負けるので、マイナス1を掛けます。ブラックジャックで引き分けになる可能性もありますが、その場合はプッシュになります。つまり、0を足したり引いたりすることになるので、気にする必要はありません。では、合計はいくらになるでしょうか？これを「ディーラーなしブラックジャック」と呼びましょう。この2つのセルを合計すると、答えはマイナス48.5%になります。これで計算できます。これが、無制限デッキのブラックジャックゲームの期待リターンです。ディーラーはソフト17でスタンドし、スプリット後のダブルは許可され、スプリットは1回のみ。サレンダーは許可され、エースの再スプリットは許可されません。これらのルールを8デッキゲームで調べると、0.43%になります。 .43と.485の違いは、無限デッキという仮定によるものです。これが、無限デッキを前提としたブラックジャックのハウスエッジです。これもまた、ゼロからスタートしただけです。
ありがとうございました。楽しんでいただければ幸いです。