Wizardに尋ねる #226
2つの興味深いブラックジャックのルールを持つオンラインカジノを見つけました。1つ目は、プレイヤーが21の時、ディーラーがブラックジャックの場合プッシュされるというものです。2つ目は、ブラックジャックのタイの場合、配当は3対2というものです。これらのルールはハウスエッジにどのような影響を与えますか？
6デッキを用いた結果、21のプレイヤーがブラックジャックに対してプッシュすると、ハウスエッジが0.37%低下することがわかりました。ブラックジャックのタイで3対2の配当を得ると、ハウスエッジは0.32%低下します。戦略の変更は必要ありません。
試合終了間際に2ポイントシュートを狙うと、ファウルされて簡単に2点取られる可能性が高くなるという事実とバランスが取れているのかもしれません。しかし、それでも、最高のファウルシューターの成功率は約85%です。つまり、2点とも成功させる確率は72%、延長戦で勝つ確率は50%で、合計36%になります。これらの点について、あなたはどうお考えですか？
喜んでいただけたら嬉しいです。バスケットボールのルールと戦略に関する知識が乏しいので、その分野に詳しい友人たちに聞いてみたのですが、同じ答えは二度とありませんでした。中には正反対の答えもありました。この議論から導き出された2つの仮説は、(1) NBAのフィールドゴール成功率は全体で50%程度（出典）、(2) 2ポイントシュートを狙うと、シューターがファウルを受けてもシュートを決める可能性がある、というものです。これ以上の答えは出せませんが、ご容赦ください。
妻と私はスロットマシンをよくプレイしますが、新しいスロットマシンがカジノに導入されると、「大当たり」やボーナスゲームによる配当が以前よりずっと頻繁に発生することに気づきました。ゲームに「引き込まれる」と、その後はゲームが停止してしまい、大当たりやボーナスラウンドの頻度が減ってしまうようです。カジノは、マシンの当たりやボーナスラウンドへの突入回数を合法的に制限できるのでしょうか？
もしあなたがカジノでプレイしている間に、カジノ側がゲームのオッズを変えていると考えているのであれば、それは単なる作り話です。ゲームのオッズを変更するには、スロットメーカーはゲームを開いてEPROMチップを交換する必要があります。サーバーベースのゲームでは、リモートで変更が可能ですが、変更を行う前に一定時間ゲームが停止していることが規制で義務付けられています。
もしカジノが新規プレイヤー獲得のために最初の数日間はスロットマシンを緩く設定し、その後EPROMをもっと厳しいものに切り替えると言っているのであれば、私も反対です。それは簡単に合法的にできるかもしれませんが、現実的ではないと思います。スロットマシンに関する調査では、どのカジノでもスロットマシンの緩め方や締め付け方はかなり一貫していることがわかりました。
チーム A は平均して 1 試合あたり 1.5 ゴール、チーム B は平均して 1 試合あたり 1.2 ゴールを獲得するとします。A と B の間の試合で次の可能性はどれくらいでしょうか。
1) AはBよりも高い得点を獲得する
2) BはAよりも高い得点をあげる
3) ゲームは引き分けで終了します。
提供された情報は、それぞれの結果の確率を計算するのに十分ですか?
ただし、個々の得点は多少負の相関関係にあるはずであり、各チームが失う平均得点は平均得点と同じくらい重要であるという点を考慮していません。攻撃と守備の両方を考慮し、試合で期待される得点数を1.5点と1.2点と仮定し、相関係数を無視すれば、3つの確率をある程度推定できます。このようなスーパーボウルのプロップは数多くありますが、タッチダウン、フィールドゴール、インターセプトなどを誰がより多く決めるかに基づいています。
最初のステップは、ポアソン分布を用いて各チームのゴール数ごとの確率を推定することです。一般的な公式は、チームが平均mのゴール数gを獲得する確率は、e -m × m g /g!です。Excelでは、poisson(g,m,0)という式を使用できます。次の表は、この式を用いて両チームのゴール数が0から10までの確率を示しています。
各チームの0～8ゴールの確率
| 目標 | チームA | チームB |
| 0 | 0.223130 | 0.301194 |
| 1 | 0.334695 | 0.361433 |
| 2 | 0.251021 | 0.216860 |
| 3 | 0.125511 | 0.086744 |
| 4 | 0.047067 | 0.026023 |
| 5 | 0.014120 | 0.006246 |
| 6 | 0.003530 | 0.001249 |
| 7 | 0.000756 | 0.000214 |
| 8 | 0.000142 | 0.000032 |
次のステップはやや地味ですが、各チームの0から8までのスコアの81通りの組み合わせ全てをマトリックスにまとめる必要があります。これは、上の表にあるチームAのスコアxとチームBのスコアyの確率を掛け合わせることで行います。次の表は、0-0から8-8までのすべてのスコアの組み合わせの確率を示しています。
次の表は、ゴールの組み合わせごとに勝者を示しています。T は引き分けを表します。
両チームの勝利の組み合わせ
| ゴールチームA | ゴールチームB | ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 0 | T | B | B | B | B | B | B | B | B |
| 1 | あ | T | B | B | B | B | B | B | B |
| 2 | あ | あ | T | B | B | B | B | B | B |
| 3 | あ | あ | あ | T | B | B | B | B | B |
| 4 | あ | あ | あ | あ | T | B | B | B | B |
| 5 | あ | あ | あ | あ | あ | T | B | B | B |
| 6 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | T | B | B |
| 7 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | T | B |
| 8 | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | あ | T |
最後に、Excelのsumif関数を使って、賭けの3つの可能な結果すべてに対応するセルを合計します。この場合の確率は次のとおりです。
Aが勝つ = 44.14%
Bの勝利 = 30.37%
同点 = 25.48%
スタンフォード・ウォン著『シャープ・スポーツ・ベッティング』の付録Cには、このような賭けにおける勝敗や引き分けの確率が示されています。このケースでは、44%、30%、25%とされています。このような問題を解く簡単な公式をご存知の方がいらっしゃいましたら、ぜひ教えてください。
追記：数学のこととなるといつも私を刺激してくれるボブ・Pさんからメールをいただきました。内容は以下のとおりです。
2つの無相関ポアソン分布の差の分布を調べました。これはスケラム（私にとっては新しい）です。いずれにせよ、質問は P(Z=0)、P(Z>0)、および P(Z<0) として提示されます。ここで、Z はパラメータ 1.5 と 1.2 を持つ Skellam です。
まだやっていないなら、知っておくと喜ばれるでしょう
P(同点) = P(Z=0) = .254817
P(AがBに勝つ) = P(Z>0) = .441465
P(BがAに勝つ) = P(Z<0) = 1 - .254817 - .441465 = .303718
ほぼあなたの答え通りです。
スケラムのWikipediaの項目にはベッセル関数について触れられていましたが、微積分学ではそのあたりでこれ以上先に進むのが怖くなってしまいました。なので、今回はボブの言葉を信じることにします。
2 つのサイコロを振って、合計が 12 になるか、2 回連続して合計が 7 になるまで続けます。最初に 12 が出る確率はどれくらいでしょうか。
答えと解答は、私の関連サイトmathproblems.infoの問題 201 にあります。