Wizardに尋ねる #237
ドイツの6/49宝くじで、異なる日に同じ数字が選ばれたと聞きました。何か怪しい気がします。確率はどれくらいですか？
それは事実ですが、あなたが思うほど怪しいものではありません。HCティムズ著『確率を理解する：日常生活における偶然のルール』によると、1995年6月21日と1986年12月20日の2週間ごとの抽選で、同じ数字の組み合わせが選ばれました。1986年12月20日の抽選は3,016回目の抽選でした。6/49の宝くじの組み合わせの数は、combin(49,6) = 13,983,816です。2回目の抽選で1回目の抽選で選ばれた数字と一致しない確率は(c-1)/cです。ここでcは組み合わせの数、つまり13,983,816です。3回目の抽選で同じ数字の組み合わせが選ばれる確率は(c-2)/cです。したがって、2回目から3,016回目までのすべての抽選で異なる数字が出る確率は、(c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413 です。したがって、少なくとも1組の共通数字が出る確率は、1 - 0.722413 = 0.277587、つまり27.8%です。次の表は、週2回の抽選と仮定した場合、少なくとも1組の同じ数字が出る確率を年数ごとに示しています。
6/49宝くじの当選番号の確率
| 年 | 確率 |
| 5 | 0.009640 |
| 10 | 0.038115 |
| 15 | 0.083800 |
| 20 | 0.144158 |
| 25 | 0.215822 |
| 30 | 0.295459 |
| 35 | 0.379225 |
| 40 | 0.463590 |
| 45 | 0.545437 |
| 50 | 0.622090 |
| 55 | 0.691985 |
| 60 | 0.753800 |
| 65 | 0.807008 |
| 70 | 0.851638 |
| 75 | 0.888086 |
| 80 | 0.917254 |
| 85 | 0.940000 |
| 90 | 0.957334 |
| 95 | 0.970225 |
| 100 | 0.971954 |
ご参考までに、一致する抽選の確率が初めて 50% を超える抽選回数は 4,404 回です。
数ヶ月前から解こうとしているパズルがあるのですが、全く進展がありません。時間があれば、どうかお付き合いいただけたら嬉しいです。夜も眠れないほど悩んでいるんです :-)。ところで、 『Beyond Counting -- Exhibit CAA』の用語集には、「マジックナンバー」という用語として、3つの数字と文字の並びが挙げられています。そのうちの1つは本の表紙にも使われているので、何か重要な意味を持っているのだと思います。何かご意見はありますか？
普段はあまり言わないのですが、全く分かりません。別のメールでもご指摘いただいたように、アメリカ紙幣のシリアルナンバーと同じ形式で、2文字のアルファベットと10桁の数字が間に入っています。著作権保護のため、ここでは数字は明記しません。
たとえば、ボーナス デュース ワイルド (または、配られた 2 つのペアのうち 1 つのペアだけを保持してドローすることが正しい戦略であるその他のゲーム) をプレイしているとします。スピン ポーカーでこのゲームを 9 つのパターンでプレイする場合、等しい価値のペアに対して、各ペアの位置によって、どのペアを保持する必要があるかという点に違いが生じますか。また、もしそうであれば、保持するのに最適な位置と最悪の位置はどれですか。
他の読者のために言っておきますが、デュース ワイルド ゲームでは、ツーペアよりもシングルペアの方が確率が高くなることがあります。これは、フルペイ デュース ワイルド (100.76%) や、フルハウスで 3 ペイする一般的なボーナス デュースで当てはまります。これを正確に計算するのは非常に面倒で時間がかかります。ただし、リール 1、2、4、5 では、9 つのペイラインが各位置を 3 回通過することは容易にわかります。一方、リール 3 では、上部と下部の位置はそれぞれ 2 回だけ交差し、中央の位置は 5 回しか交差しません。中央の列を含むペアを保持すると、ボラティリティが低下します。中央の列がシングルトンである 20% のケースでは、可能であれば、列 1 と 5、または列 2 と 4 でペアを保持するとします。それが不可能な場合は、可能であれば、列 1 と 2、または列 4 と 5 のペアを保持します。それ以外の場合は、どのペアを保有していても違いはありません。
NFLのハンディキャップコンテストに参加している6人のうちの1人です。私たちはそれぞれ、シーズンを通して70試合を、大手インターネットスポーツブックの20セントラインのラインを基準に予想しなければなりません。他の参加者の1人は、シーズン終了時の最高スコアにオーバー/アンダーのプロップベットを提供しました。彼のラインは8.5ユニットの利益でした。シーズンはまだ始まっておらず、参加者は経験豊富なスポーツベッターだと仮定しましょう。あなたはそのラインについてどう思いますか？また、どのように分析しますか？
このようなプロップで自問自答すべき大きな疑問は、特定のピックが勝ち、負け、またはプッシュで終わる確率はどれくらいかということです。私のNFL ベッティングのセクションから、2.8% の試合がラインぎりぎりで終わることがわかります。簡単にするために 3% としましょう。賭けが決着した場合の勝利の確率を p としましょう。完全にランダムに選ぶ場合、p は明らかに 50% になります。アンダードッグだけを選ぶことで、この値を簡単に改善できます。前述のページが示すように、25 シーズン以上アンダードッグにフラットベットすると、勝率は 51.5% になります。また、市場全体に対して最も弱いラインを厳選することで、この値をもう少し改善することも簡単です。この 2 つを合わせれば、52% に到達するのは難しくないと思います。ですから、これらの人たちは少なくとも 52% までは到達できると信じて受け入れることにします。
したがって、解決された賭けの 52% が勝つと仮定すると、全体的な確率は次のようになります。
勝率: 50.44%
引き分け: 3.00%
損失: 46.56%
基本的な統計を用いると、-110のレイイングで1ピックあたりの期待勝利額は-0.0078であることが容易に分かります。1ピックあたりの標準偏差は1.0333です。70ピックでの期待勝利額は-0.5432で、標準偏差は70 1/2 × 1.0333 = 8.6452です。8.5ユニットの勝利は期待値より9.0432ユニット高く、ガウス曲線上で期待値の右側に9.0432/8.6452=1.0460標準偏差あります。プッシュや-110/-110ではない試合もあるため、離散分布の調整は無視できると思います。0.05ユニットの係数でかなり滑らかな曲線になるでしょう。
したがって、いずれかの選手が期待値を1.046標準偏差以上上回る確率は14.77%です。この数値はガウス曲線の表、またはExcelの式 =1-normsdist(1.046) で求めることができます。6人の選手全員が1.046標準偏差以下で終了する確率は (1-0.1477) 6 =38.31%です。したがって、少なくとも1人の選手が1.046標準偏差以上で終了する確率は61.69%です。つまり、オーバーは-110の堅実な賭けのように見えます。-161であれば妥当な賭けだと示します。
以下の表は、pの様々な値における8.5以上のオッズが勝つ確率を示しています。おそらく、このプロップを設定した人はpの値を51%に近い値と想定していたのでしょう。
NFLハンディキャッププロップ
| おそらく正しい選択 | おそらくオーバー勝利 |
| 50.0% | 41.16% |
| 50.5% | 46.18% |
| 51.0% | 51.33% |
| 51.5% | 56.53% |
| 52.0% | 61.69% |
| 52.5% | 66.72% |
| 53.0% | 71.52% |