Wizardに尋ねる #237

Q: たとえば、ボーナス デュース ワイルド (または、配られた 2 つのペアのうち 1 つのペアだけを保持してドローすることが正しい戦略であるその他のゲーム) をプレイしているとします。スピン ポーカーでこのゲームを 9 つのパターンでプレイする場合、等しい価値のペアに対して、各ペアの位置によって、どのペアを保持する必要があるかという点に違いが生じますか。また、もしそうであれば、保持するのに最適な位置と最悪の位置はどれですか。

他の読者のために言っておきますが、デュース ワイルド ゲームでは、ツーペアよりもシングルペアの方が確率が高くなることがあります。これは、フルペイ デュース ワイルド (100.76%) や、フルハウスで 3 ペイする一般的なボーナス デュースで当てはまります。これを正確に計算するのは非常に面倒で時間がかかります。ただし、リール 1、2、4、5 では、9 つのペイラインが各位置を 3 回通過することは容易にわかります。一方、リール 3 では、上部と下部の位置はそれぞれ 2 回だけ交差し、中央の位置は 5 回しか交差しません。中央の列を含むペアを保持すると、ボラティリティが低下します。中央の列がシングルトンである 20% のケースでは、可能であれば、列 1 と 5、または列 2 と 4 でペアを保持するとします。それが不可能な場合は、可能であれば、列 1 と 2、または列 4 と 5 のペアを保持します。それ以外の場合は、どのペアを保有していても違いはありません。

ドイツの6/49宝くじで、異なる日に同じ数字が選ばれたと聞きました。何か怪しい気がします。確率はどれくらいですか？

Lotte から Hamburg

それは事実ですが、あなたが思うほど怪しいものではありません。HCティムズ著『確率を理解する：日常生活における偶然のルール』によると、1995年6月21日と1986年12月20日の2週間ごとの抽選で、同じ数字の組み合わせが選ばれました。1986年12月20日の抽選は3,016回目の抽選でした。6/49の宝くじの組み合わせの数は、combin(49,6) = 13,983,816です。2回目の抽選で1回目の抽選で選ばれた数字と一致しない確率は(c-1)/cです。ここでcは組み合わせの数、つまり13,983,816です。3回目の抽選で同じ数字の組み合わせが選ばれる確率は(c-2)/cです。したがって、2回目から3,016回目までのすべての抽選で異なる数字が出る確率は、(c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413 です。したがって、少なくとも1組の共通数字が出る確率は、1 - 0.722413 = 0.277587、つまり27.8%です。次の表は、週2回の抽選と仮定した場合、少なくとも1組の同じ数字が出る確率を年数ごとに示しています。

6/49宝くじの当選番号の確率

年	確率
5	0.009640
10	0.038115
15	0.083800
20	0.144158
25	0.215822
30	0.295459
35	0.379225
40	0.463590
45	0.545437
50	0.622090
55	0.691985
60	0.753800
65	0.807008
70	0.851638
75	0.888086
80	0.917254
85	0.940000
90	0.957334
95	0.970225
100	0.971954

ご参考までに、一致する抽選の確率が初めて 50% を超える抽選回数は 4,404 回です。

数ヶ月前から解こうとしているパズルがあるのですが、全く進展がありません。時間があれば、どうかお付き合いいただけたら嬉しいです。夜も眠れないほど悩んでいるんです :-)。ところで、『Beyond Counting -- Exhibit CAA』の用語集には、「マジックナンバー」という用語として、3つの数字と文字の並びが挙げられています。そのうちの1つは本の表紙にも使われているので、何か重要な意味を持っているのだと思います。何かご意見はありますか？

匿名

普段はあまり言わないのですが、全く分かりません。別のメールでもご指摘いただいたように、アメリカ紙幣のシリアルナンバーと同じ形式で、2文字のアルファベットと10桁の数字が間に入っています。著作権保護のため、ここでは数字は明記しません。

たとえば、ボーナスデュースワイルド (または、配られた 2 つのペアのうち 1 つのペアだけを保持してドローすることが正しい戦略であるその他のゲーム) をプレイしているとします。スピンポーカーでこのゲームを 9 つのパターンでプレイする場合、等しい価値のペアに対して、各ペアの位置によって、どのペアを保持する必要があるかという点に違いが生じますか。また、もしそうであれば、保持するのに最適な位置と最悪の位置はどれですか。

Joe から Denver

他の読者のために言っておきますが、デュースワイルドゲームでは、ツーペアよりもシングルペアの方が確率が高くなることがあります。これは、フルペイデュースワイルド (100.76%) や、フルハウスで 3 ペイする一般的なボーナスデュースで当てはまります。これを正確に計算するのは非常に面倒で時間がかかります。ただし、リール 1、2、4、5 では、9 つのペイラインが各位置を 3 回通過することは容易にわかります。一方、リール 3 では、上部と下部の位置はそれぞれ 2 回だけ交差し、中央の位置は 5 回しか交差しません。中央の列を含むペアを保持すると、ボラティリティが低下します。中央の列がシングルトンである 20% のケースでは、可能であれば、列 1 と 5、または列 2 と 4 でペアを保持するとします。それが不可能な場合は、可能であれば、列 1 と 2、または列 4 と 5 のペアを保持します。それ以外の場合は、どのペアを保有していても違いはありません。

NFLのハンディキャップコンテストに参加している6人のうちの1人です。私たちはそれぞれ、シーズンを通して70試合を、大手インターネットスポーツブックの20セントラインのラインを基準に予想しなければなりません。他の参加者の1人は、シーズン終了時の最高スコアにオーバー/アンダーのプロップベットを提供しました。彼のラインは8.5ユニットの利益でした。シーズンはまだ始まっておらず、参加者は経験豊富なスポーツベッターだと仮定しましょう。あなたはそのラインについてどう思いますか？また、どのように分析しますか？

Rob から Las Vegas, NV

このようなプロップで自問自答すべき大きな疑問は、特定のピックが勝ち、負け、またはプッシュで終わる確率はどれくらいかということです。私のNFL ベッティングのセクションから、2.8% の試合がラインぎりぎりで終わることがわかります。簡単にするために 3% としましょう。賭けが決着した場合の勝利の確率を p としましょう。完全にランダムに選ぶ場合、p は明らかに 50% になります。アンダードッグだけを選ぶことで、この値を簡単に改善できます。前述のページが示すように、25 シーズン以上アンダードッグにフラットベットすると、勝率は 51.5% になります。また、市場全体に対して最も弱いラインを厳選することで、この値をもう少し改善することも簡単です。この 2 つを合わせれば、52% に到達するのは難しくないと思います。ですから、これらの人たちは少なくとも 52% までは到達できると信じて受け入れることにします。

したがって、解決された賭けの 52% が勝つと仮定すると、全体的な確率は次のようになります。

勝率: 50.44%
引き分け: 3.00%
損失: 46.56%

基本的な統計を用いると、-110のレイイングで1ピックあたりの期待勝利額は-0.0078であることが容易に分かります。1ピックあたりの標準偏差は1.0333です。70ピックでの期待勝利額は-0.5432で、標準偏差は70 ^1/2 × 1.0333 = 8.6452です。8.5ユニットの勝利は期待値より9.0432ユニット高く、ガウス曲線上で期待値の右側に9.0432/8.6452=1.0460標準偏差あります。プッシュや-110/-110ではない試合もあるため、離散分布の調整は無視できると思います。0.05ユニットの係数でかなり滑らかな曲線になるでしょう。

したがって、いずれかの選手が期待値を1.046標準偏差以上上回る確率は14.77%です。この数値はガウス曲線の表、またはExcelの式 =1-normsdist(1.046) で求めることができます。6人の選手全員が1.046標準偏差以下で終了する確率は (1-0.1477) ⁶ =38.31%です。したがって、少なくとも1人の選手が1.046標準偏差以上で終了する確率は61.69%です。つまり、オーバーは-110の堅実な賭けのように見えます。-161であれば妥当な賭けだと示します。

以下の表は、pの様々な値における8.5以上のオッズが勝つ確率を示しています。おそらく、このプロップを設定した人はpの値を51%に近い値と想定していたのでしょう。