Wizardに尋ねる #287
サイコロを最大 n 回振って Yahtzee を形成する確率はどれくらいですか?
他の読者のために、ヤッツィーとは5つのサイコロを使った5種類のサイコロの組み合わせです。ヤッツィーでは、プレイヤーは好きなサイコロを1つだけ持ち、残りのサイコロを振り直すことができます。最大3回まで振り直すことができます。
プレイヤーは希望に応じて、以前に保持していたサイコロを再度振り直すことができます。例えば、プレイヤーが最初に振った結果が3-3-4-5-6で、3の目を保持し、2回目に振った結果が3-3-5-5-5だった場合、5の目を保持し、3回目に振った結果が3の目だった場合、5の目を保持し、3回目に振った結果が3の目だった場合、再度振り直すことができます。
以下の表は、1回から20回までサイコロを振った場合の、同じ面のサイコロの最大数を示しています。この表から、3回振った場合のヤッツィーの出現確率は約4.6%であることがわかります。
ヤッツィーの確率
| ロール | 同じ面のサイコロの最大数 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 1つ | 二 | 三つ | 4つ | 五 | |
| 1 | 0.092593 | 0.694444 | 0.192901 | 0.019290 | 0.000772 |
| 2 | 0.008573 | 0.450103 | 0.409022 | 0.119670 | 0.012631 |
| 3 | 0.000794 | 0.256011 | 0.452402 | 0.244765 | 0.046029 |
| 4 | 0.000074 | 0.142780 | 0.409140 | 0.347432 | 0.100575 |
| 5 | 0.000007 | 0.079373 | 0.337020 | 0.413093 | 0.170507 |
| 6 | 0.000001 | 0.044101 | 0.263441 | 0.443373 | 0.249085 |
| 7 | 0.000000 | 0.024501 | 0.199279 | 0.445718 | 0.330502 |
| 8 | 0.000000 | 0.013612 | 0.147462 | 0.428488 | 0.410438 |
| 9 | 0.000000 | 0.007562 | 0.107446 | 0.398981 | 0.486011 |
| 10 | 0.000000 | 0.004201 | 0.077416 | 0.362855 | 0.555528 |
| 11 | 0.000000 | 0.002334 | 0.055317 | 0.324175 | 0.618174 |
| 12 | 0.000000 | 0.001297 | 0.039279 | 0.285674 | 0.673750 |
| 13 | 0.000000 | 0.000720 | 0.027757 | 0.249063 | 0.722460 |
| 14 | 0.000000 | 0.000400 | 0.019543 | 0.215313 | 0.764744 |
| 15 | 0.000000 | 0.000222 | 0.013720 | 0.184883 | 0.801175 |
| 16 | 0.000000 | 0.000124 | 0.009610 | 0.157896 | 0.832371 |
| 17 | 0.000000 | 0.000069 | 0.006719 | 0.134258 | 0.858954 |
| 18 | 0.000000 | 0.000038 | 0.004692 | 0.113753 | 0.881517 |
| 19 | 0.000000 | 0.000021 | 0.003272 | 0.096100 | 0.900607 |
| 20 | 0.000000 | 0.000012 | 0.002280 | 0.080994 | 0.916714 |
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
カジノが利益を確信するには、カジノゲームを何回プレイする必要がありますか?
もちろん、ゲームによって異なります。ハウスアドバンテージが大きく、変動が少ないほど、勝率は高くなります。また、信頼度にも左右されます。
以下の表は、一般的なゲームにおいて、同じ賭け金でカジノが様々なレベルの確信度で確信を持つために必要なベット回数を示しています。例えば、バカラでバンカーベットで95%の純利益を出すには、カジノは20,791ハンドを配る必要があります。
これはジャック・オア・ベターを除くすべてのケースにおいて正規分布に基づいています。この近似は、ある結果の期待イベント数が5以下である場合は信頼できません。そのため、ビデオポーカーでは、ロイヤルズにはポアソン分布を使用し、それ以外の場合は正規分布近似を使用しました。
ブラックジャックのルールは、6 デッキ、ディーラーはソフト 17 でスタンド、スプリット後のダブルが許可され、降伏が許可され、エースの再スプリットが許可されます。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。
ビデオポーカーの合計組み合わせとして、19,933,230,517,200 という数字が頻繁に出てくるのはなぜですか?
他の読者のために、9-6 Jacks or Better のリターン テーブルを以下に示します。
「9-6」ジャックス・オア・ベター
| 手 | 精算 | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|
| ロイヤルフラッシュ | 800 | 493512264 | 0.00002476 | 0.01980661 |
| ストレートフラッシュ | 50 | 2178883296 | 0.00010931 | 0.00546545 |
| フォー・オブ・ア・カインド | 25 | 47093167764 | 0.00236255 | 0.05906364 |
| フルハウス | 9 | 229475482596 | 0.01151221 | 0.10360987 |
| フラッシュ | 6 | 219554786160 | 0.01101451 | 0.06608707 |
| 真っ直ぐ | 4 | 223837565784 | 0.01122937 | 0.04491747 |
| スリーオブアカインド | 3 | 1484003070324 | 0.07444870 | 0.22334610 |
| 2組 | 2 | 2576946164148 | 0.12927890 | 0.25855780 |
| ジャックス・オア・ベター | 1 | 4277372890968 | 0.21458503 | 0.21458503 |
| 何もない | 0 | 10872274993896 | 0.54543467 | 0 |
| 合計 | 19933230517200 | 1 | 0.99543904 |
私のビデオ ポーカーの 52 枚のカード ゲームのリターン テーブルのほとんどは、19933230517200 という同じ数の組み合わせを持っています。なぜでしょうか?
まず、52 枚の中から 5 枚のカードを選ぶ方法はcombin (52,5) = 2,598,960 通りあります。
次に、プレイヤーが捨てるカードの枚数に応じて、ドローの組み合わせは最大でcombin(47,5) = 1,533,939通りあります。次の表は、2列目に捨てるカードの枚数に応じたドローの組み合わせの数を示しています。
ドローの組み合わせ
| 破棄 | 組み合わせ | 重さ | 製品 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 7,669,695 | 7,669,695 |
| 1 | 47 | 163,185 | 7,669,695 |
| 2 | 1,081 | 7,095 | 7,669,695 |
| 3 | 16,215 | 473 | 7,669,695 |
| 4 | 178,365 | 43 | 7,669,695 |
| 5 | 1,533,939 | 5 | 7,669,695 |
2列目の数字の最小公倍数は7,669,695です。この数は5×combin(47,5)と表すことができます。すべてのハンドの組み合わせの総数を一定に保つため、ドローの組み合わせに重み付けを行い、ドローの組み合わせの総数が7,669,695になるようにします。
つまり、19,933,230,517,200 = combin(52,5)×combin(47,5)×5 となります。私が使用している52枚のビデオポーカーテーブルの中には、組み合わせの数が少ないものもあります。これは、最終的なリターンテーブルにおける各ハンドの組み合わせの合計数の最大公約数が1より大きい場合があるためです。このような場合、各合計数を最大公約数で割ることがあります。私のビデオポーカーアナライザーはこれを自動的に行っています。
この質問は私のWizard of Vegasフォーラムで提起され、議論されました。
2人のプレイヤーにそれぞれ(0,1)の範囲の乱数が配られます。最初のプレイヤーはそのまま続けるか、カードを捨てて新しい数字を引くかを選択します。2番目のプレイヤーも同様にカードを引きます。高い数字を引いたプレイヤーが勝ちます。各プレイヤーにとって最適な戦略は何でしょうか？最適な戦略を前提とした場合、各プレイヤーが勝つ確率はどれくらいでしょうか？
インドのカジノでパイゴウポーカーをプレイしていたとき、キングとクイーンのハンドが来て、頭の中で勝ちを数えていました。するとディーラーがTTTJK*A（*=ワイルド）をめくりましたが、フラッシュの可能性はありませんでした。彼女はTTTKJ、A*とセットしました。私はTJ*KA、TTの方が良いプレーだと思い、結果に金銭的な利益があったので、ハウスウェイを見せるように頼みました。
彼らはハウスウェイを示してくれましたが、このハンドへの明確な説明はありませんでした。結局、彼らは私のお金を取り上げ、ゲームを続行できるようにベット額の2倍の譲渡不可のチップを渡してくれました。それで問題ありませんでした。ピットでは4スーツ以上のプレイヤーがハンドをどうセットするかについて議論し、30分以上も続きました。最終的に彼らはTTTJK/A*が正しいセット方法だと判断し、ハウスウェイを変更することにしました。
私の質問は、このハンドのハウス ウェイとは何ですか。また、このような混乱するハンドのハウス ウェイをどのように解釈しますか。
パイゴウポーカーは最初からひどいデザインのゲームであり、何十年も経った今でも誰もそれを改善しようとはしていません。パイゴウポーカーの欠点には以下のようなものがあります。
- 非常に混乱を招き、複雑な家のやり方。
- A2345ストレートが2番目に高いというとんでもないルール。
- プレイヤーバンキングと共同バンキングのオプション。私以外、ほとんど誰もこれを呼び出しません。
名前は伏せますが、ストリップの大手カジノで短期間働いていた頃、より短く、より強力で、あらゆる状況を明確にカバーできるハウスウェイの作成を提案しました。パイゴウポーカーだけでなく、牌にも適用できます。もちろん、その提案は一言も発せられず却下されました。
長々と話したのがここまでで、ご質問にお答えしたいと思います。ハウスによって多少の違いはありますが、大体同じ構成になっています。フォックスウッズ・ハウスのハウスウェイが典型的です。あなたのハンドを例に挙げると、ストレートハンドとしてAKQJT/TTとしてプレイすべきか、フルハウスハンドとしてTTTJK/AAとしてプレイすべきか、はっきりしません。
質問とは関係ないのですが、ハウスにとって数学的に有利なプレイは何か考えてみましょう。私のパイゴウポーカー付録1を参考に、ディーラーがバンキングしていると仮定すると、以下のようになります。
ディーラーはストレートとしてプレイすることで、フルハウスの場合の87.49%に対して、96.46%の勝率を期待できます。つまり、ストレートルールに従う方がはるかに有利です。
個人的に、パイゴウポーカーのコーディングは、最もランクの高いハンド（5枚のエース）から始めて、if/else if/else if/else if/end ループでページを上へ進んでいきます。つまり、5枚のカードで作られる最も強いハンドに基づいてハンドを分類し、そのルールに従います。
ハウスウェイはこのように解釈されるべきだと私は考えています。その理由の証拠として、カンタベリーパークのハウスウェイを考えてみましょう。特にフラッシュハンドのルールは次のように書かれています。
6 枚と 7 枚のフラッシュでは、ロー ハンドで可能な限り最高の 2 枚のカードが使われます。
(例外: ツーペアがフラッシュの場合は、ツーペア ルールが適用されます。)
他のハウスウェイと同様に、最も弱いハンドが最初に記載されます。もしそのハンドが最初に遭遇したルールセットに従ってプレイされるべきであれば、いずれにせよツーペアルールに従うはずです。ツーペアルールはフラッシュルールよりも前に記載されていたため、明示的に例外を設ける必要はありません。
実務上の理由から、2人のディーラーにこのハンドをどう扱うか尋ねてみました。二人とも、ハウスルールはあくまでガイドラインに過ぎず、分かりにくいハンドの場合はフロアにどうすべきか尋ね、理由を聞かずに指示に従うべきだとほぼ同意しました。ディーラーの一人は、状況に最も適したルールに従うのが暗黙のポリシーだと言いました。フォックスウッズの場合、スリーカードを含むストレートハンドにはルールがあります。このルールは問題のハンドを最も具体的に表しているので、フルハウスルールにも含まれているにもかかわらず、そのルールに従うべきです。
端的に言うと、パイゴウポーカーでもパイゴウタイルでも、あらゆるハンドの遊び方を明確に説明しているカジノハウスのルールは見たことがありません。矛盾したルールが満載です。誰かが何らかの対策を講じない限り、フロアでプレイしている人の解釈に従うしかありません。私の経験では、このような分かりにくいケースは、たいていプレイヤーに不利な判決が下されるようです。
いつかプレイヤーがこれにうんざりして、次にディーラーに有利なように曖昧なハンドが設定されたときに、適切なゲーム当局に苦情を申し立てるようになることを願っています。
この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。