Wizardに尋ねる #293

はい！ジョーカーポーカーでは、ガベージハンドの場合、一般的には、ドローでストレートまたはフラッシュを形成する可能性が最も高いミドルカードを1枚キープするのが最善です。しかし、時にはどのカードを保持するのが最善か、判断が難しい場合や、引き分けになる場合もあります。

例えば、ジョーカー・ツーペアとQh、10d、5d、7c、2cのドローの配当表（97.19%）では、10d、5d、7cのみを保持するのがベストプレイで、3つ全て保持した場合の期待値は0.240703です。これは、私のビデオポーカーハンドアナライザーを使って検証できます。

同じジョーカー ポーカーのペイ テーブルでのその他のプレイは次のとおりです。

• QC 10S 5D 7H 2C
• クイックH 10D 5D 7H 2C
• KH 10D 5D 8C 3C
• KC 10S 5D 8H 3C
• KH 10D 5D 8H 3C

この質問にご協力いただいた Gary Koehler 氏に感謝します。

他の読者のために、私の秘策の一つは、ハーフポイント・パーレーカードの3と7のポイントスプレッドから得られるハーフポイントの恩恵を活用することです。これは、非常にボラティリティが高いものの、確実なアドバンテージプレイであることを証明しました。

新ルールでは、エクストラキックの位置が15ヤードラインまで後退します。これにより、キックの成功確率が低下し、2ポイントコンバージョンの試みが増えるはずです。2ポイントコンバージョンの試みが増えれば、成否に関わらず、3点差や7点差で決着がつく試合は少なくなるはずです。つまり、ハーフポイントパーレーカードでこれらの重要な数字から追加のハーフポイントを得る価値は低下するということです。心配すべきでしょうか？ 見てみましょう。

まず、心配すべき点ですが、これは当然のことです。他のルール変更によってディフェンスの積極性が損なわれ、得点が増加する試合が増えています。次のグラフは、1994年から2014年までの各シーズンにおける1試合あたりの平均得点を示しています。



グラフが示すように、1試合あたりの平均得点は2006年までは42点前後で推移していました。しかし、2007年以降、平均得点は年間約0.5点ずつ上昇しています。このことから、平均得点の上昇が、特にマジックナンバーである3点と7点において、勝利点差の分布を平坦化させる傾向があるのではないかという疑問が生じます。次のグラフは、3点差と7点差の勝利点差の確率を年ごとに示しています。



ご覧の通り、7点差で勝利する確率は9.1%で安定しています。一方、3点差で勝利する確率は着実に低下しており、特に2004年以降は顕著です。NFLでは3点差の試合が非常に多いため、これは好ましくない状況です。

3ポイント差での勝利が減った原因が何であれ、ハーフポイント・パーレーカードの価値は低下しています。新しいエクストラポイントルールによって、さらに悪化するのでしょうか？

私の答えは、影響は大きいものの、それほど大きくないということです。ルール変更前は、タッチダウンの約4.8%が2ポイントコンバージョンの試みに続いていました。この記事を書いている時点では、ルール変更後まだ2週間しか試合が行われていません。2015年シーズンの最初の2週間では、167回のタッチダウンのうち15回が2ポイントコンバージョンの試みに続いており、試み率は9.0%でした。

数学的に言えば、2ポイントコンバージョンを狙うのはもっと一般的になるべきだと私は思います。特に、分散を狙う弱いチームにとってはなおさらです。なぜそれがないのか理解できません。それはあなたの質問ではないのですが、どうしても言いたかったのです。

いい質問ですね。11対10のレイドベットのアドバンテージは3.09%、パーレーベットのアドバンテージは10.22%です。パーレーベットの優位性は十分にありそうですね。

しかし、アドバンテージのあるプレイで資金を増やすための最適な戦略は、ケリー基準を用いることです。ケリーによれば、最適なベット額とは、ベット後の資金の期待対数値を最大化する額です。結果が2通りしかないベットの場合、最適なベット額は、アドバンテージを「1対1」で支払われる額で割った値となります。

ストレートベットの配当は10対11です。したがって、最適なベット額は0.030909/(10/11) = 0.034000となります。プレイヤーのアドバンテージが3.09%の場合、ストレートベットでは1ゲームあたりバンクロールの0.001051倍の勝利が期待できます。

パーレーの最適なベットサイズは0.102248/6 = 0.017041です。プレイヤーのアドバンテージが0.102248の場合、ストレートベットでは1ゲームあたりバンクロールの0.001742倍の勝利が期待できます。

しかし、ストレートベットの方が3回賭けられるので有利です。フラットベットの1ベットあたりの期待利益を3倍すると、3 × 0.001051 = 0.003153となります。これは、パーレーベットのバンクロール増加率よりも81%高い数値です。

資金が多すぎて最大賭け金の制限に達してしまった場合は、ラインを動かさない傾向のあるパーレーベットを最初に行い、その後ストレートベットを行うのがよいでしょう。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

これはギリギリの判定であり、NFLがルール変更の際に目指していたのはまさにこれだったと思います。判断を下す際に考慮すべき点は以下のとおりです。

• キックによる成功確率。
• 2ポイントコンバージョンを狙う場合の成功確率。
• 各チームが勝利する全体的な可能性。

試合終盤では、重要な数字を考慮することも非常に重要です。例えば、試合終盤でタッチダウンを決めて3点リードしている場合は、キックすべきです。キックが成功すれば4点リードとなり、相手チームはタッチダウンを取らなければ勝利できません。一方、2点を狙って失敗すれば、相手チームはフィールドゴールだけで同点に追いつくことができます。そのため、ここでは重要な数字が大きな要素とならない、試合序盤に限って考察することにします。

ご質問にお答えするために、シミュレーションプログラムを作成しました。かなり粗雑ではありますが、フィールドゴール、タッチダウン、ターンオーバーといったNFLの特性をかなり正確に反映できていると思います。

ケビン・ルディ氏による記事「エクストラポイントを15ヤードラインに移動するとどうなるか？」によると、15ヤードラインからエクストラポイントを獲得する確率は94.2%です。私は数値を概算するため、プログラムに94%を組み込んでいます。

2ポイントコンバージョンの成功率については、さらに意見が分かれています。これは、ディフェンスとオフェンスのパターンによって大きく異なることは明らかです。私は、2ポイントコンバージョンの成功率を46%から50%まで、1%ずつのグループに分けてシミュレーションを行いました。

各シミュレーションでは、一方のチームが常にキックし、相手チームが各成功確率でコンバージョンを狙うという設定にしました。また、両チームが常にキックするシミュレーションも実行し、2ポイントコンバージョンの結果を比較できるようにしました。

下の表1は、実力が同等の2チームの結果を示しています。チームAは常にタッチダウン後にキックを行います。表は、チームBがキックするか2ポイントコンバージョン（2PC）を狙うか、そしてその成功確率に応じて、チームBの勝利確率と1試合あたりの平均追加得点を示しています。



成功確率が47%の場合、キックであれツーポイントであれ、期待される追加得点は0.94点です。しかし、ツーポイントを狙う場合の勝利確率は0.1%低くなります。これは、もしミスした場合、相手チームが2本のフィールドゴールで同点に追いつくチャンスがあるためだと考えられます。このキーナンバー効果は非常に小さいですが、他の条件が同じであれば、保守的なキックを優先する傾向があることに留意してください。つまり、2チームの実力が同等であれば、ツーポイントコンバージョンの成功確率は少なくとも49%である必要があります。

下の表2は、2つの格差のあるチームの結果を示しています。チームAの方が強いです。チームAは常にタッチダウン後にキックします。上の表1と同じ統計値を示しています。

表2は、記載されているすべての成功確率において、弱いチームが2ポイントコンバージョンを狙うべきであることを示しています。期待される総得点数が少ない45%の場合でもそうです。なぜそうなるのか疑問に思うかもしれません。それは、どんな試合でも弱いチームは変化を求めるべきであり、強いチームは変化を嫌うからです。

下の表3は、2つの格差のあるチームの結果を示しています。チームBの方が強いです。チームAは常にタッチダウン後にキックします。上記の表1と表2と同じ統計を示しています。

表3では、チームBがキックで勝利する確率が71.17%であることに注目してください。期待得点数は成功確率49%または50%の方が高いにもかかわらず、表に示されているすべての成功確率においてこの確率はそれよりも低い値です。その理由は、弱いチームは変化を求めるべきであり、強いチームはそれを避けるべきだからです。2ポイントコンバージョンの試みは試合にボラティリティをもたらすため、他の条件が同じであれば、弱いチームは強いチームよりも2ポイントコンバージョンを試みる傾向が強くなります。