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Wizardに尋ねる #345

シャッフルされた（ランダムであると想定される）カードのデッキから 13 枚のカードを配る場合、いくつの異なるランクが表示されると予想されますか?

Suited89

答えは9.05037214885954位です。

[spoiler=解決策]

これは、まさにマルコフ連鎖のような問題です。

次の表は、配られたカードの枚数が 1 から 52 までのすべての場合における、0 から 4 のカードのランクの予想数を示しています。

配られたカードによる予想ランク

カード0 ランク1位2ランク3つのランク4つのランク期待される
ランク
1 12.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000
2 11.058824 1.882353 0.058824 0.000000 0.000000 1.941176
3 10.174118 2.654118 0.169412 0.002353 0.000000 2.825882
4 9.343577 3.322161 0.324994 0.009220 0.000048 3.656423
5 8.564946 3.893157 0.519088 0.022569 0.000240 4.435054
6 7.836014 4.373589 0.745498 0.044178 0.000720 5.163986
7 7.154622 4.769748 0.998319 0.075630 0.001681 5.845378
8 6.518655 5.087731 1.271933 0.118319 0.003361 6.481345
9 5.926050 5.333445 1.561008 0.173445 0.006050 7.073950
10 5.374790 5.512605 1.860504 0.242017 0.010084 7.625210
11 4.862905 5.630732 2.165666 0.324850 0.015846 8.137095
12 4.388475 5.693157 2.472029 0.422569 0.023770 8.611525
13 3.949628 5.705018 2.775414 0.535606 0.034334 9.050372
14 3.544538 5.671261 3.071933 0.664202 0.048067 9.455462
15 3.171429 5.596639 3.357983 0.808403 0.065546 9.828571
16 2.828571 5.485714 3.630252 0.968067 0.087395 10.171429
17 2.514286 5.342857 3.885714 1.142857 0.114286 10.485714
18 2.226939 5.172245 4.121633 1.332245 0.146939 10.773061
19 1.964946 4.977863 4.335558 1.535510 0.186122 11.035054
20 1.726771 4.763505 4.525330 1.751741 0.232653 11.273229
21 1.510924 4.532773 4.689076 1.979832 0.287395 11.489076
22 1.315966 4.289076 4.825210 2.218487 0.351261 11.684034
23 1.140504 4.035630 4.932437 2.466218 0.425210 11.859496
24 0.983193 3.775462 5.009748 2.721345 0.510252 12.016807
25 0.842737 3.511405 5.056423 2.981993 0.607443 12.157263
26 0.717887 3.246098 5.072029 3.246098 0.717887 12.282113
27 0.607443 2.981993 5.056423 3.511405 0.842737 12.392557
28 0.510252 2.721345 5.009748 3.775462 0.983193 12.489748
29 0.425210 2.466218 4.932437 4.035630 1.140504 12.574790
30 0.351261 2.218487 4.825210 4.289076 1.315966 12.648739
31 0.287395 1.979832 4.689076 4.532773 1.510924 12.712605
32 0.232653 1.751741 4.525330 4.763505 1.726771 12.767347
33 0.186122 1.535510 4.335558 4.977863 1.964946 12.813878
34 0.146939 1.332245 4.121633 5.172245 2.226939 12.853061
35 0.114286 1.142857 3.885714 5.342857 2.514286 12.885714
36 0.087395 0.968067 3.630252 5.485714 2.828571 12.912605
37 0.065546 0.808403 3.357983 5.596639 3.171429 12.934454
38 0.048067 0.664202 3.071933 5.671261 3.544538 12.951933
39 0.034334 0.535606 2.775414 5.705018 3.949628 12.965666
40 0.023770 0.422569 2.472029 5.693157 4.388475 12.976230
41 0.015846 0.324850 2.165666 5.630732 4.862905 12.984154
42 0.010084 0.242017 1.860504 5.512605 5.374790 12.989916
43 0.006050 0.173445 1.561008 5.333445 5.926050 12.993950
44 0.003361 0.118319 1.271933 5.087731 6.518655 12.996639
45 0.001681 0.075630 0.998319 4.769748 7.154622 12.998319
46 0.000720 0.044178 0.745498 4.373589 7.836014 12.999280
47 0.000240 0.022569 0.519088 3.893157 8.564946 12.999760
48 0.000048 0.009220 0.324994 3.322161 9.343577 12.999952
49 0.000000 0.002353 0.169412 2.654118 10.174118 13.000000
50 0.000000 0.000000 0.058824 1.882353 11.058824 13.000000
51 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 12.000000 13.000000
52 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 13.000000 13.000000
[/ネタバレ]

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

ビデオ ポーカーのプログラミングのヒントでは、ビデオ ポーカーでは 52 枚のカードのデッキで 2,598,960 通りのスターティング ハンドが存在するにもかかわらず、分析に必要なハンドのクラスは 134,459 種類だけであると説明しています。

私の質問は、2 〜 6 組のカードを持つクラスがいくつあるかということです。

匿名

この問題について、私はビデオポーカーの数学の専門家である尊敬する同僚のゲイリー・ケーラーに尋ねました。デッキの数に応じて、彼の答えは次のとおりです。

ビデオポーカーのハンドクラス

デッキ組み合わせクラス
1 2,598,960 134,459
2 91,962,520 202,735
3 7億2165万6936 208,143
4 3,091,033,296 208,468
5 9,525,431,552 208,481
6 23,856,384,552 208,481

赤いサイコロ5個と青いサイコロ5個を振ります。順番に関係なく、両方のサイコロの出目が同じになる確率はどれくらいですか。例えば、両方のサイコロの出目が1-2-3-3-6の場合です。

匿名

3,557 / 559,872 = 0.006353238、つまり約1 / 157です。

[spoiler=解決策]

次の表は、あらゆるタイプのロールについて示しています。

  • このロールで出せるカードの組み合わせの数。例えば、フルハウスの場合、スリーカードの組み合わせは6通り、ペアの組み合わせは5通りあり、合計30通りのフルハウスが存在します。
  • 順番の数。例えばフルハウスの場合、5個のサイコロのうち3個を選んでスリーカードにする方法はcombin(5,3)=10通りあります。残りの2個は必ずペアです。
  • 与えられた手札の出目が何通りあるか。これは最初の2列の積です。例えば、フルハウスが出る可能性は30 * 10 = 300通りあります。
  • ハンドの確率。例えば、フルハウスの確率は300/6 5 = 0.038580です。
  • 両方の目が同じで、かつ与えられた役である確率。これは、4列目の確率の2乗を2列目で割ったものです。例えば、2回投げて両方ともフルハウスになる確率は0.038580 2です。しかし、同じハウスになる確率は1/30です。つまり、2回投げて両方とも同じフルハウスになる確率は0.038580 2 /30 = 0.00004961となります。

右下のセルには、両方のロールが同じになる合計確率が 0.00635324 であることがわかります。

マッチングロール

タイプ
ロールの		違う
種類		注文合計
組み合わせ		確率
ワンロール		確率
2つのロール
5枚の同じもの6 1 6 0.00077160 0.00000010
フォー・オブ・ア・カインド30 5 150 0.01929012 0.00001240
フルハウス30 10 300 0.03858025 0.00004961
スリーオブアカインド60 20 1,200 0.15432099 0.00039692
2組60 30 1,800 0.23148148 0.00089306
ペア60 60 3,600 0.46296296 0.00357225
5人のシングルトン6 120 720 0.09259259 0.00142890
合計7,776 1.00000000 0.00635324
[/ネタバレ]