Wizardに尋ねる #346
Final Jeopardyの賭け金には3分の2ルールがあるって聞いたんだけど、知ってる？
はい。2位プレイヤーのスコアが1位プレイヤーの2/3以上になった場合、2位プレイヤーの戦略変更を指します。
次のように、状況を 2 人用ゲームに単純化してみましょう。
- 状況 A: 2 位の人数が 1 位の人数の半分未満である。
- 状況 B: 2 番目のプレイヤーが 1 位の 1/2 から 2/3 の権利を持っています。
- 状況C: 2位の順位が1位の順位の2/3以上である。
話を進める前に、読者の皆様に「ファイナル・ジェパディ」後の同点に関するジェパディのルール変更について改めてお伝えしておきます。両プレイヤーが進出することはなくなり、サドンデス方式のタイブレーカー問題が導入されました。例えば、以下のような状況です。
状況A
A=10,000ドル、B=4,000ドルとします
プレイヤーAは、A-2B-1以上の賭け金を賭けて負けるリスクを負うべきではありません。もしこのカテゴリーに自信がない場合は、$0を賭けることもできます。いずれにしても、Aは確実に勝利します。この場合、Aは$0から$1,999の間で賭けるべきです。
プレイヤーBは、Aが賭けすぎて外れない限り、望みはありません。ここでBは3位のスコアを考慮し、できれば3位のスコアを上回るように努めるべきです。3位で1,000ドルではなく、2位で2,000ドルを獲得するのです。
状況B
A=10,000ドル、B=6,000ドルとします
Aの戦略は、Bが全額を賭けると予想し、正解の場合は2Bをカバーするのに十分な額を賭けることです。しかし、安全のために、不正解の場合にBを下回るほどの額を賭けるべきではありません。この場合、少なくとも2B-A+1とAB-1を賭けるべきです。この場合、賭ける金額の範囲は$2,001から$3,999です。
Bの戦略は、正解すれば少なくともAを抜くだけの得点を獲得し、全体の得点を上げることです。この場合、4,001ドルと6,000ドルです。
両プレイヤーが予想通りにこの戦略に従った場合、プレイヤーBが勝てる唯一の方法は、Aが間違っていてBが正しい場合です。その確率は約19%です。
状況C
ここでは状況がより複雑になり、より多くのゲーム理論とランダム化が関与することになります。
A=10,000ドル、B=7,000ドルとします。
先に進む前に、Final Jeopardyのヒントが正解する確率を推定することが重要です。シーズン30から34までのデータに基づくと、1位のプレイヤーは52%、2位のプレイヤーは46%の確率で正解しました。しかし、これらの確率は正の相関関係にあります。4つの可能性の内訳は以下のとおりです。
- 両方正解: 27%
- 1位正解、2位不正解：25%
- 1位は不正解、2位は正解: 19%
- 両方とも29%間違っています。
最初の 2 人のプレイヤーの Jeopardy 平均は 49% ですが、両方が正解、または両方が間違っている確率は 56% です。
もちろん、これらはカテゴリに応じて変わる可能性がありますが、ここでは単純に上記の確率を使用しましょう。
この状況では、プレイヤーBはAが間違っていてBが正しいという前提に頼る必要はありません。例えば0ドルといった低額を賭けることで、Aが間違っていたとしても確実に勝ちを確保できます。つまり、AがBをカバーできる額を賭けた場合、もしAが間違っていたとしてもBを下回るリスクを負い、Bが0ドルを賭けたとします。
しかし、AがBが例えば$0という低い賭け金をすると予測した場合、Aも$0を賭けることで勝利を確定できます。基本的に、どちらのプレイヤーも低い賭け金を賭けるか高い賭け金を賭けるかの選択を迫られます。AはBと同じ賭け方を望み、BはBとは逆の賭け方を望むはずです。もし両プレイヤーが完璧な論理的思考力を持つなら、彼らはランダムに決定を下すでしょう。
この場合、Aのハイベットは状況Bと同様に、2B-A+1からAB-1になります。この場合、2,999ドルと4,001ドルになります。Aのローベットは0ドルになります。
Bのハイベットは状況Bの場合と同じで、Aが正解した場合にはパスするのに十分な額を賭けます。この場合、$3,001と$7,000です。Bのローベットは$0です。
数学を省略して、両プレイヤーのランダム化戦略に直接進むことをお許しください。
プレイヤー A は、62.3% の確率でハイを選択し、37.7% の確率でローを選択するはずです。
プレイヤー B は、確率 61.2% で高くなり、確率 38.8% で低くなるはずです。
両方のプレイヤーがこのランダム化戦略に従い、上記の確率の組み合わせが正しいと仮定すると、プレイヤー A が勝つ確率は 65.2% になります。
プレイヤー A のスコアがプレイヤー B の 2/3 以上だった場合、プレイヤー A の勝利確率は 81.0% に上がります。
ダブル ジェパディに賭ける場合、両方のプレイヤーは 2/3 ルールの重要性を念頭に置く必要があります。
ビデオポーカーのプログラミングのヒントでは、ビデオポーカーでは52枚のカードデッキで2,598,960通りのスターティングハンドが存在するにもかかわらず、分析に必要なハンドの種類は134,459種類しかないと説明されています。質問なのですが、エースボーナスポーカーやシーケンシャルロイヤルでジャックポットを獲得できるゲームなど、カードの順番が重要なゲームをプレイする場合、分析に必要なハンドの種類はいくつになるのでしょうか？
この問題について、私はビデオポーカーの数学の専門家である尊敬する同僚、ゲイリー・ケーラーに尋ねました。彼の答えは15,019,680です。
次のいずれかのイベントが発生するまで、6 面サイコロを振ります。
A) どちらの側も 6 回登場しました。
B) どの側面も少なくとも 1 回は登場しています。
イベント A が最初に発生する確率はどれくらいでしょうか?
この質問に私が答えたように微積分を使用して答えるには、 integral-calculator.com / にあるような積分計算機をお勧めします。
これが私の解決策です（PDF）。
この問題は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで (少し異なる言葉で) 質問され、議論されています。