ポーカー - よくある質問

この状況でフルハウスを作るには2つの方法があります。(1) スリーカードを引く、(2) ペアともう1枚のペアを引く。ここではシングルトンを3枚捨てると仮定します。

まず、(1) の組み合わせの数を計算してみましょう。3段で3スーツしか残っていない場合（シングルトンを3つ捨てたことを思い出してください）、9段で4スーツしか残っていない場合、組み合わせの数は3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39となります。

次に、(2)の組み合わせの数を計算してみましょう。既存のペアに加えるスーツは2つ残っています。残り3枚のカードで3列からペアを作る方法はcombin (3,2)通り、残り4枚のカードで3列からペアを作る方法はcombin(4,2)通りです。したがって、(2)の組み合わせの総数は2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) = 2*(3*3 + 9*6) = 126通りです。フルハウスを作る方法は、(1)と(2)の合計、つまり39+126=165通りです。2回目のドローで3枚のカードを並べる方法はcombin(47,3)=16,215通りあります。フルハウスが出る確率は、フルハウスが出る方法の数を合計の組み合わせ数で割った値で、165/16,215 = 0.0101758、つまり約 98 分の 1 となります。

combin() 関数の詳細については、ポーカーの確率に関するセクションを参照してください。

いいえ、特定の手札が配られる確率は、テーブルにいる他のプレイヤーの数に関係なく同じです。見えないカードは見えないカードであり、他のプレイヤーが持っているかデッキに残っているかは関係ありません。

各プレイヤーが別々のデッキからハンドを配られたと仮定して、おおよその答えを出します。これによってオッズに大きな変化はないでしょう。ポーカーの確率に関する私のセクションで示したように、いずれかのプレイヤーがストレートフラッシュを引く確率は36/2,598,960です。この確率をpとしましょう。2人のプレイヤーがストレートフラッシュを引く確率は、(6,2)*p ² *(1-p) ⁴ = .0000000028779です。言い換えれば、これが起こる確率は347,477,740対1です。

まず最初に言っておきますが、私はポーカーの専門家ではありません。テキサスホールデムが最も人気のある形式であることは周知の事実です。このゲームではコミュニティカードが5枚で、プレイヤー1人につきダウンカードは2枚しかないため、確率計算が得意な人であれば、より正確な計算が可能になります。しかし、たとえ数学の天才であっても、他のプレイヤーの展開を読めなかったり、他のプレイヤーに簡単に読み取られたりすれば、下手なポーカープレイヤーにはなり得ます（私の場合はどちらも当てはまると思います）。

ロイヤルフラッシュの確率は、ロイヤルフラッシュの可能性のある数（各スーツに1枚ずつ）を、52枚の中から5枚を選ぶ方法の数（ combin (52,5) = 2,598,960）で割ったものです。つまり、答えは4/2,598,960 = 0.00000153908、つまり649,740分の1です。

連続ロイヤルフラッシュの確率は、（スーツの数）*（方向の数）/（52枚中5枚のカードの組み合わせの総数）=4*2/ permut (52,5)=8/311,875,200=8/（ロイヤルの数、つまり4（スーツごとに1つ））×ロイヤルフラッシュの方向の数÷52枚中5枚のカードの組み合わせの数、つまりpermut (52,5)=311,875,200で表されます。したがって、答えは4/311,875,200 = 0.00000002565、つまり38,984,400分の1となります。

52枚のカードから7枚のカードを引く組み合わせ（combin(52,7)=133,784,560通り）を全てテストするプログラムをC++で書きました。それぞれの組み合わせについて、7枚から5枚のカードを引く組み合わせ（combin(7,5)=21通り）を全て作成しました。そして、これらのハンドをそれぞれスコアリングしました。21通りの中で最高スコアは、7枚のカードのハンドでした。つまり、合計で28億通り以上のハンドをスコアリングする必要があり、私の記憶が正しければ、コンピューターは一晩中これに取り組みました。

5 枚と 7 枚のカードのポーカーの、最高から最低の順番のハンドは次のとおりです: ストレート フラッシュ、フォー オブ ア カインド、フル ハウス、フラッシュ、ストレート、スリー オブ ア カインド、ツー ペア、ペア。

リチャード・マーカス著『ダーティ・ポーカー』を読んだ人は、知らない人とプレイするたびに共謀の疑いが強くなるでしょう。しかし、ポーカーの専門家アシュリー・アダムスは、この疑問に次のように答えています。

ラスベガスのほぼすべてのパブリックカードルームと、全米100以上のパブリックカードルームでプレイしてきました。低額のベット額では、共謀に遭遇したことは一度もありません。一度、20/40スタッドのゲームで、2人のプレイヤーが共謀しているのではないかと疑ったことがあります。高額ベット額（20/40程度）のゲームでは共謀している可能性があると聞いたことがあります。しかし、1/2または2/5ブラインドのノーリミット、あるいは10/20以下のベット額のポーカーをプレイする典型的な観光客が、このような状況に遭遇する可能性は低いでしょう。

親切なお言葉ありがとうございます。セブンカードスタッドの数字の計算は難しいですね。だからこそ、私はコンピューターで計算しています。私のプログラムは、あらゆる組み合わせを網羅し、それぞれに点数をつけています。パイゴウポーカーのワイルドストレートの数は、11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332です。これにナチュラルストレートの10200個を加えると、合計は20532個になります。

いい質問ですね。何年も前からガッツに関するセクションを作ろうと考えていました。コンピュータープログラムも半分完成しています。ただ一つ問題なのは、ガッツの遊び方があまりにも多く、一つの分析ではごく一部のゲームしか当てはまらないことです。ダミーハンドも状況を非常に複雑にします。関連して、ガッツの良いバリエーションを提案しましょう。誰も残らなかったら、全員が全く同じカードでもう一度プレイします。他の全員が弱いハンドを持っていると分かれば、ギリギリのハンドを持っているプレイヤーも残ろうとするでしょう。友人と私がこのルールを初めて採用したときは、全員が2回戦からプレイしました。

いいえ、オンラインカジノでは見たことがありません。唯一見かけたのはアトランティックシティです。このゲームはドードー鳥と同じ運命を辿っているようです。

比較するのは難しいですが、ブラックジャックの方が優れていると思います。ブラックジャックは基本戦略を学べば簡単に上達できます。ポーカーは難しいです。カジノのポーカールームには、経験の浅いプレイヤーを騙そうと待ち構えているような、非常に優秀なプレイヤーが集まっていることがよくあります。しかし、生まれつきポーカーの才能に恵まれている人もいるので、私の答えは鵜呑みにしないでいただきたいです。

特定の2人のプレイヤーが両方ともフォーカードを持っている確率は、(13*COMBIN(12,3)*4 ³ *9*COMBIN(41,3)+13*12*11*4*6*10*COMBIN(41,3)+13*12*4*11*COMBIN(41,3))/(COMBIN(52,7)*COMBIN(45,7)) = 0.000003627723です。7人の中から2人を選ぶ方法は、combin(7,2)=21通りあります。フォーカードが3枚以上ある場合を除いて、確率は0.000076182184となります。

配られたカードが1枚の場合、または4枚のフラッシュカードを引く場合のフラッシュの確率を定義しましょう。説明を簡単にするために、プレイヤーが4枚のストレートカードでパットペアまたはストレートカードを引くと仮定します。配られたカードでフラッシュが完成する確率（ストレート/ロイヤルフラッシュを除く）は、4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654です。4枚のフラッシュカードが配られる確率は、4*3*combin(13,4)*13/combin(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172です。ドローでフラッシュが完成する確率は9/47です。したがって、4枚のフラッシュが完成する確率は0.0429172*(9/47) = 0.0082182です。つまり、フラッシュが完成する確率は0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836です。5人中2人がフラッシュを完成させる確率は、combin(5,2)* 0.0101836 ² *(1-0.0101836) ³ = 0.001006、つまり約994分の1です。

52枚のカードから7枚のカードを選ぶ方法は、combin(52,7)=133,784,560通りあります。フォー・オブ・ア・カインドを含む7枚のカードの組み合わせの数は、13*combin(48,3) = 224,848通りです。13はフォー・オブ・ア・カインドが何段あるか、combin(48,3)は残りの48枚から3枚のカードを選ぶ方法の数です。したがって、確率は224,848/133,784,560 = 0.0017、つまり595分の1となります。

ロイヤルには4つのスーツがあり、残りの2枚のカードの並び方は47×46/2 = 1081通りあります。4×1081 = 4324通りです。他の手札はもっと複雑になります。52枚から7枚を選ぶ1億3378万4560通りすべてをコンピューターでプレイする必要がありました。申し訳ありませんが、本もお勧めできません。

ルールを知らない方のために説明すると、表向きのカードは5枚あります。つまり、1組のデッキから5枚のカードを交換せずに配った場合、少なくとも3枚が同じスートのカードになる確率はどれくらいか、という問題です。52枚中5枚を配る方法はcombin(52,5)=2598960通りあります。同じスートのカードを4枚配る方法は4*combin(13,5)=1144通りです。同じスートのカードを4枚配る方法は4*combin(13,4)*39=111540通りです。同じスートのカードを3枚配る方法は4*combin(13,3)*combin(39,2)=847704通りです。つまり、合計の組み合わせは960388通り、確率は36.95%です。

1 人のプレイヤーが 7 枚のフラッシュを獲得する確率は、4 * combin(13,7)/combin(52,7) = 1949 分の 1 です。7 人のプレイヤーのうち少なくとも 1 人が 7 枚のフラッシュを獲得する確率は、約 2785 分の 1 です。

ロイヤルのスーツは4種類あります。5種類のカードが欠けている可能性があります。5枚目のカードは、他の47枚のカードのいずれかです。つまり、ロイヤルに4枚揃う方法は4×5×47=940通りあります。合計の組み合わせは、(52,5)=2,598,960通りです。つまり、確率は940/2,598,960=2,765分の1です。

いや！絶対にダメ！

確率は同じです。

はい、確率は同じです。52枚のカードのうちランダムに選ばれた7枚のカードは、デッキからどのように取り出されたか、誰と共有したかに関係なく、同じ確率になります。

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474、つまり約3282分の1です。

ストレートフラッシュとロイヤルフラッシュを除くと、ストレートの確率は1.02%、フラッシュの確率は1.04%です。つまり、フラッシュの方がわずかに確率が高いということです。

一部のカジノではA2345（通称「ホイール」）を最低のストレートとして扱っていますが、ほとんどのカジノでは2番目に高いストレートとして扱っています。ただし、このルールは一般的なものであり、常に当てはまるわけではないことをご承知おきください。

カジノが不正行為をするとは思えません。なぜそんなことをするのでしょうか？もっと心配なのは、他のプレイヤーです。プレイヤー同士が電話やインスタントメッセンジャーで共謀するのは非常に簡単です。実際に共謀するかどうかは分かりませんが、ハイリミットテーブルでは共謀のリスクがさらに高まるでしょう。

クラス2マシンとは何か、ご参考までにご説明しましょう。これは、ビンゴボールの抽選によって結果が決まるスロットマシンです。うまくいけば（うまくいかないことはよくあるのですが）、通常のスロットマシンと同じようにプレイできます。タルサのカジノを2つ訪れたことがありますが、ビデオポーカーに最も近いのはクラス2スロットではなく、「プルタブ」でした。プルタブでは、プレイヤーは賭け金を賭け、ボタンを押すと画面に5枚のカードが表示され、当選した場合はバウチャーがもらえます。このバウチャーはキャッシャーに渡してください。5カードスタッドの配当表はありますが、カードがランダムに配られるとは考えていません。これは、当選金額を視覚的に示すための補助的な機能です。

普段はこうは言いませんが、何時間も試してみたものの、この問題の計算はどうしても理解できませんでした。そこで、友人であり数学教授でもあるガボール・メジェシに頼りました。彼が教えてくれた「干ばつ」問題用の公式がこちらです。

1. 与えられたハンドで勝つ確率を p とします。
2. 干ばつの長さを d とします。
3. プレイしたハンドの数を n とします。
4. k=dp、x=np と設定します。
5. k=1 の場合は a=-1 とし、それ以外の場合は k=-ln(-a)/(1+a) となる a を求めます。(a は負の数で、k>1 の場合は -1 < a < 0、k < 1 の場合は a < -1 となり、a は高精度で計算する必要があります。) [ウィザードの注記: この種のソリューションは、Excel のツール メニューのゴール シーク機能を使用して簡単に見つけることができます。]
6. k=1の場合はA=2とし、それ以外の場合はA=(1+a)/(1+ak)とする。
7. nハンドで長さdの干ばつが発生しない確率は、およそAe ^{a x}です。

この問題では、p=1/40391、d=200000、n=1000000、k=4.9516、x=24.758、a=-0.0073337、A=1.03007です。したがって、干ばつが発生しない確率は1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042です。したがって、少なくとも1回の干ばつが発生する確率は1-0.859042 = 0.140958です。

Gabor Megyesi氏による5ページにわたる完全な解答（PDF）はこちらです。ご協力ありがとうございました、Gáborさん。

100万回の手札を32,095セットランダムにシミュレーションしました。少なくとも1回は干ばつに見舞われたのは4558セットで、確率は14.20%でした。

次の表は、完全にランダムなハンドで 0 から 4 枚のエースが出る確率を示しています。

1枚から4枚のエースの合計を取ると、少なくとも1枚のエースが出る確率は0.341158です。2枚以上のエースが出る確率は0.041684です。

少なくとも 1 枚のエースがある場合に、少なくとも 1 枚のエースがある確率は、ベイズの定理に従って、確率 (少なくとも 1 枚のエースがある場合に、さらに 2 枚のエースがある) = 確率 (2 枚以上のエース)/確率 (少なくとも 1 枚のエース) = 0.041684/ 0.341158 = 0.122185 と言い換えることができます。

ベイズの定理がまだ錆び付いている人のために説明すると、これは、B が与えられた場合の A の確率は、A と B の確率を B の確率で割った値に等しい、つまり Pr(A が与えられた場合の B) = Pr(A と B)/Pr(B) であることを意味します。

次の表は、スペードのエースをデッキから除いた場合に、他のエースの各数の組み合わせと確率を示しています。

これは、少なくとももう 1 枚のエースが出る確率が 0.221369 であることを示しています。

面白半分に、ベイズの定理を使って同じ問題を解いてみましょう。スペードのエースが見つかるまでランダムに手札が配られると仮定します。手札にスペードのエースが含まれている場合、少なくとも1枚のエースがさらに出ている確率は、確率（スペードのエースが含まれている場合、少なくとも2枚のエースが手札にある）と書き直すことができます。ベイズの定理によれば、これは確率（手札にスペードのエースと少なくとももう1枚のエースが含まれている）/確率（手札にスペードのエースが含まれている）に等しくなります。分子を確率（スペードのエースを含む2枚のエース）+確率（スペードのエースを含む3枚のエース）+確率（4枚のエース）に分解できます。最初の表を使うと、0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285となります。スペードのエースが出る確率は 5/52 = 0.096154 です。つまり、スペードのエースが2枚以上出た場合、少なくとも2枚のエースが出る確率は 0.021285/0.096154 = 0.221369 です。

したがって、少なくとも 1 つのエースがある場合に 2 つ以上のエースが出る確率は 12.22% であり、スペードのエースがある場合に 22.14% となります。

まずストレート フラッシュを、同じスーツのカードが 4 枚連続するものと、5 枚連続するものの 2 種類に分けました。5 枚のストレート フラッシュの数は、スーツの数 * スパンの数 (エースから 10 までの最下位カード) = 4 * 10 = 40 です。4 枚のストレート フラッシュには、11 種類のスパン (エースからジャックまでの最下位カード) があります。A234 および JQKA のストレート フラッシュの場合、5 枚目のカードは 47 種類 (52 から、すでに取り除かれた 4 枚と、すでに計算されている 5 枚のストレート フラッシュを形成する 5 枚目のカードを引いたもの) のいずれかになります。したがって、スパン A234 または JQKA のストレート フラッシュは、4 * 2 * 47 = 376 種類あります。他の 9 種類のうち、5 枚目のカードになり得るカードは 46 種類 (52 から、すでに取り除かれた 4 枚と、5 枚のストレート フラッシュを形成する 2 枚を引いたもの) です。したがって、スパン2345からTJQKまでのストレートフラッシュの数は4*9*46=1656です。つまり、4枚のストレートフラッシュの合計数は40+376+1656=2072です。

親切なお言葉をありがとうございます。このゲームには詳しいです。最初の手札がJJQQKで、2枚のジャックをキープしたとしましょう。ドローでジャック1枚と他の2枚のカードが出る可能性は2*combin(45,2) = 1980通りです。ドローでジャック2枚が出る可能性は45通りです。ドローでスリーカードが出る可能性は10*4+1 = 41通りです。つまり、スリーカード以上に改善できる可能性は1980+45+41 = 2066通りです。残りの47枚から3枚のカードを選ぶ可能性は合計でcombin(47,3) = 16215通りです。つまり、スリーカード以上に改善できる可能性は2066/16215 = 12.74%です。ツーペアをキープした場合、フルハウスに発展する確率は4/47 = 8.51%です。つまり、スリーカードが勝つ可能性が高いと仮定すると、ワンペア（高い方のペア）だけキープする方がより良い戦略であることに同意します。

1/combin(52,4) = 270725分の1。

こんなに優しく誘ってくれて、どうやって断ればいいの？まず、52枚のカードから順番に関係なく7枚を選ぶ方法は、 combin (52,7) = 133,784,560通りあります。7枚のストレートは8通りのスパン（最下位カードはAから8まで）があります。もし7つの異なるランクがあるとしたら、スートの並び方は4 ⁷ = 16384通りあります。これには同じスートのカードも含まれ、ストレートフラッシュになります。つまり、確率は8*16,384/133,784,560 = 1020.6952分の1です。

バッドビートジャックポットについて、月に一度くらい聞かれます。時間があれば、サイトにそれに関するセクションを追加しようと思っています。世界中のポーカールームのバッドビートジャックポットについて、全部聞かれるのではないかと不安です。

同意します。カードがきちんとシャッフルされていれば問題ありません。しかし、シャッフルが不十分な場合は、ディーラーはカードを1枚ずつ配り、固まったカードを各プレイヤーに分散させるべきだと思います。

温かいお言葉ありがとうございます。ストレートのボーナスを10から8に下げると、ハウスエッジは3.32%から3.48%に増加します。

確率101から、Pr(AまたはB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AとB) であることがわかります。つまり、Pr(AとB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AまたはB) です。Aがエース、Bがデュースを出した場合を考えてみましょう。Pr(A) = Pr(少なくとも1枚のエース) = 1 - Pr(エースなし) = 1 - combin(48,4) / combin (52,4) = 1 - 0.7187 = 0.2813 です。デュースが出ない確率も当然同じです。同じ論理で、pr(AまたはB) = Pr(少なくとも1枚のエースまたは2) = 1-Pr(エースも2枚もない) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565となります。したがって、少なくとも1枚のエースと2枚が出る確率は0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962となります。

各ペアの4つのスーツのうち2つを組み合わせると、6通りの並べ方があります。シングルトンカードは44枚あります。したがって、成立する組み合わせの数は6×6×44 = 1584通りです。合計で2,598,960通りの組み合わせがあるので、確率は0.0609%です。

ハイ テキーラをプレイする場合の期待値は 115.904 ですが、テキーラ ポーカーの場合はわずか 16 です。したがって、ハイ テキーラをプレイするのは間違いありません。

5 枚のロイヤルと他の 2 枚のカードを意味する場合、確率は 4 * combin (47,2)/combin(52,7) = 4,324/ 133,784,560 = 30,940 分の 1 になります。

通常のビデオポーカーでも同じことが言えます。一度捨てられたカードは、ドローで再び使うことはできません。そのため、スピンポーカーの期待リターンは、ペイテーブルが同じ従来のビデオポーカーと同じです。

4枚のカードでストレートフラッシュを作る方法は、4*(9*46 + 2*47) = 2032通りあります。フルハウスを作る方法は3744通り、フォー・オブ・ア・カインドを作る方法は624通りあります。つまり、4枚のカードでストレートフラッシュを作る方法は、フルハウスとフォー・オブ・ア・カインドの間にあるはずです。

ローペアのみを持っている場合、ツーペア以上にハンドが強化される確率は28.714%です。ローペアとキッカーを持っている場合、ツーペア以上にハンドが強化される確率は25.902%です。つまり、ローペアのみを持っている方がツーペア以上にハンドが強化される確率は高くなります。しかし、勝つためにハイペア以上が必要だと仮定した場合、キッカーを持っている方がハイペア以上のハンドが強化される確率が高くなる可能性が高くなります。これは、具体的なカードと「ハイ」の定義によって異なります。

まさにその手札を得る方法は一つしかありません。つまり、その確率はcombin(52,5)で1、つまり2,598,960分の1となります。

スーパーバイザーが大勝した後にデッキを交換する理由は3つ考えられます。1つ目は、デッキが摩耗していて、いずれ交換される予定だった場合です。2つ目は、デッキに何らかの欠陥があるのではないかと懸念している場合です。3つ目は、スーパーバイザーが「お金に汗を流す」ため、デッキ交換で運が変わると誤解している場合です。おそらく3つ目の説明が最も可能性が高いでしょう。

読者の中にはご存知ない方もいるかもしれませんが、オマハのハンドは9枚のカードで構成されています。プレイヤーが任意の9枚のカードを使うことができる場合、その確率は(13* combin (48,5)-combin(13,2)*44)/combin(52,9) = 0.00605となります。しかし、プレイヤーが4枚のホールカードのうち2枚だけを使うことを強いられる場合、その確率は次のようになります。

 (13*combin(4,2)*combin(48,2)*combin(2,2)*combin(46,3)-combin(13,2)*combin(4,2)*combin(4,2)*combin(2,2)*combin(2,2)*44)/(combin(52,4)*combin(48,5)) = 0.00288

何度も言ってきたように、ギャンブルの中でポーカーは私にとって最も苦手なゲームの一つです。今回は、2007年1月に出版予定の『Killer Poker by the Numbers 』の著者、トニー・ゲレラ氏にお願いしました。

ファイブ・オブ・ア・カインドは確率が低いです。ポーカーの確率のセクションに、ワイルドカードのランクごとに各ハンドの確率を詳細に示した表を追加しました。

質問すること自体はルール違反ではないと思いますが、質問に答えることは間違いなくルール違反になります。あなたのケースを非難しているわけではありませんが、一般的に、カップルがホームゲームで一緒にポーカーをプレイする場合、共謀に関するルールが破られることが多く、皆の間で不快な思いをさせてしまいます。よくある違反行為としては、男性が既にフォールドした女性にアドバイスをするというものです。カリフォルニアに住んでいた頃、あるカップルの件で状況がひどく悪化したので、私がゲームを主催する際には、2人が同時にゲームルームにいられないというルールを作りました。ですから、主催者は以前からカップルのポーカープレイで問題を抱えていて、過剰反応してしまったのかもしれません。

ストラドル（「ライブストラドル」とも呼ばれる）とは、ビッグブラインドの次のプレイヤーが自分のカードを見る前にレイズすることです。例えば、$3/$6ゲームでは、ラージブラインドは$3なので、ストラドルは$6になります。友人のジェイソンにその理由を尋ねたところ、「一部の人がこれをするのは、『タイト』なゲームでアクションを刺激するためです。ストラドルをする人は、ビッグブラインドがアクションした後にレイズすることもできます。カードルームはこれを好み、許可しています。なぜなら、ストラドルをすることでポットが大きくなり、結果としてレーキも大きくなることがほぼ確実だからです」と説明しました。

ポーカーにおける「プロップス」という言葉には2つの用法があります。まず、プロッププレイヤーとは、ポーカールームから時給を支払われ、プレイするプレイヤーのことです。これは、各テーブルに一定数のプレイヤーを最低限維持するためです。この質問に関する詳しい情報は、poker-babes.com でご覧いただけます。次に、プロップベットとは、プレイヤー間で行われるサイドベットのことで、多くの場合フロップで行われます。

フルハウスとフラッシュの順序を逆にしたことに注意してください。

ありがとう。(4 ⁵ -4)/combin(52,5) = 1020/2598960 = 2,548分の1。

ご満足いただけたでしょうか？私のコンピューターは5日間かけて、オマハの4640億通りのハンドをすべて処理しました。ハイハンドとローハンドの表を以下に示します。他の読者のために、オマハではプレイヤーは4枚のカードと5枚のコミュニティカードを受け取ります。最高のハイハンドとローハンドを作るには、自分のカード2枚と3枚のコミュニティカードを正確に組み合わせる必要があります。ローハンドでは、ストレートとフラッシュはプレイヤーにとって不利に働きません。また、エースは常にローハンドとなります。

結局のところ、カードがすべてを物語る。君はそのハンドに勝つべきだった。

オマハでは各プレイヤーが4枚のホールカードを受け取ることを他の読者の皆様に改めてお伝えしておきます。ここでは、プレイヤーがエース1枚、デュース1枚、そして他のランクのカード2枚を持っていると仮定します。他のプレイヤーが少なくとも1枚のエースとデュースを手に入れることができる組み合わせとその数は以下のとおりです。

エース1枚とデュース1枚: 3×3×combin(44,2)=8,514
2 エース & 1 デュース: combin(3,2)×3×44=396
エース1枚とデュース2枚：3×combin(3,2)×44=396
2枚のエースと2枚のデュース：combin(3,2)×combin(3,2)=9
3枚のエースと1枚のデュース：3×3=9
1デュースと3デュース：3×3=9
合計 = 9,321

残りの48枚から4枚のカードを選ぶ方法は、合計でcombin(48,4)=194,580通りあります。つまり、相手がエースとデュースを持っている確率は9,321/194,580 = 4.79%です。5人の相手のうち少なくとも1人がエースとデュースを持っている確率は、1-(1-.0479) ⁵ = 17.83%と推定できます。ただし、確率はプレイヤー間で独立していないため、これは正確ではありません。

これは二項分布のような問題です。一般的な公式は、ある事象の確率がpで、それぞれの結果が独立している場合、t回の試行のうち正確にw回発生する確率は、(t,w)×p ^w ×(1-p) ^{tw と}なります。

この場合、ストレートフラッシュを作る方法は2通りあります。ダイヤの8と、ダイヤの6またはJのいずれかのカードがもう1枚必要です。デッキに残っている47枚のカードから2枚を引く方法は、combin(47,2)=1,081通りあります。したがって、1回のハンドでストレートフラッシュが完成する確率は、2/1,081 = 0.0018501です。10回中3回ストレートフラッシュが完成する確率は、combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.000000750178、つまり1,333,017分の1です。

新聞には、プロのオンラインポーカープレイヤーが生計を立てる手段がないと嘆く記事が数多く掲載されています。確かに、プレイヤーも運営者も、オンラインポーカーで誰もが儲かっていると思うかもしれません。しかし、その損失を補填するには敗者がいるはずですが、いまだに負けを認める人の話は聞いたことがありません。

ということで、まずは私が最初に言わせていただきます。私はオンラインポーカーをたくさんプレイしてきました。大抵は$1-$2から$4-$8のストラクチャードゲームで、負けているかどうかは記録をとらなくても分かります。レーキに勝てるほど強いかどうかさえ分かりません。私の意見では、多くのオンラインポーカーサイトはボットやプロプレイヤーで溢れかえり、プレイヤー追跡ソフトウェアも導入されているため、私のようなレクリエーショナルプレイヤーが勝つチャンスを得るのは難しくなっています。

もし米国政府がオンラインポーカーを合法化するならば、そして私はそうすべきだと強く思うが、しっかりした規制機関がそれを監督し、公平な条件で人間だけがプレイできるようにしてほしいと思う。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

まず、チップスタックを確認しましょう。

ポケットペアの確率 = 13 * combin (4,2)/combin(52,2) = 5.88%。
AKの確率 = 4 ² /combin(52,2)= 1.21%。
どちらかの確率 = 5.88% + 1.21% = 7.09%。
どちらも取得できない確率 = 100% -7.09% = 92.91%。
161 回のハンドでどちらかが 1 回出現する確率 = 161*0.9291 ¹⁶⁰ *0.0709 ¹ = 11,268 分の 1。

この質問はWizard of Vegasの私のフォーラムで議論されています。

まず、4 人のプレイヤーによるゲームで、4 人全員がエース キングを持っている確率はどれくらいでしょうか。

その質問の答えは、(4*4/combin(52,2)) * (3*3/combin(50,2)) * (2*2/combin(48,2)) * (1/combin(46,2)) = 3,292,354,406分の1になります。

しかし、これらのエース/キングの手札の中には、スーツが揃っているものもあります。正確に言うと、どれもスーツが揃っていない確率は9/24です。つまり、確率を8,779,611,750分の1に下げましょう。

しかし、これは10人対戦のゲームであり、4人の組み合わせ（10,4）=210通りのうち、いずれかがノンスーテッドのエースとキングを持つ4人組である可能性があります。したがって、この確率を210倍すると、答えは41,807,675分の1となります。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

両方のハンドが最後まで続くと仮定すると、最も強いハンドは5-6のスーツであることがわかります。エースのペアにスーツが含まれていない場合、考えられる結果は以下のとおりです。

• 勝率: 22.87%
• 同率: 0.37%
• 負け: 76.76%

スーツがエースのペアで表されている場合（フラッシュの可能性が低くなります）、結果は次のようになります。

• 勝率: 21.71%
• 同率: 0.46%
• 負け: 77.83%

全体として、考えられる結果は次のとおりです。

• 勝率: 22.290%
• 同率: 0.415%
• 負け: 77.295%

テーブルにいるプレイヤーの人数によって異なります。人数が多いほど負ける可能性が高くなるため、人数が多いほど良いでしょう。以下の表は、4つのペアそれぞれが、あなたを含めたテーブルにいるプレイヤー全員で負ける確率を示しています。これは誰もフォールドしないと仮定しています。これは明らかに非現実的な仮定なので、これらの確率は上限として捉えてください。

平均勝利額は、$100 × (1/6) + $75 × (1/6) + $50 × (1/2) = $62.50と簡単に計算できます。ただし、次の表は、他のプレイヤーがフォールドしないと仮定した場合の、4つのポケットペアが出現するたびに得られる期待値を示しています。

次の表は、このプロモーションの1ハンドあたりのバリューを示しています。これは、上記の表と必要なホールドカードを引く確率を単純に掛け合わせたもので、6/1326 = 0.90%となります。

次の表は、1時間あたり30ハンドのレートを想定し、このプロモーションの1時間あたりの価値を示しています。繰り返しますが、誰もフォールドしないことを前提としているので、これを1時間あたりの価値の上限と見なします。

10人のプレイヤーがテキサスホールデムをプレイする場合、誰もフォールドしないと仮定すると、ハイハンドがストレートまたはロイヤルフラッシュになる確率は350.14分の1です。3回中3回、この確率でストレートまたはロイヤルフラッシュになる確率は42,926,491分の1です。

しかし、そのテーブルは何時間もプレイされていたかもしれません。より現実的な質問は、1日のうち少なくとも1回はそのようなことが起こる確率はどれくらいか、ということです。24時間プレイし、1時間あたり24ハンドプレイすると仮定すると、その答えは59,621分の1になります。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。