確率 - よくある質問
二十人の人が一室に集まった場合、そのうち二人が同じ誕生日である確率は50%未満だと読んだ記憶があります。これは本当ですか?
20人全員が異なる誕生日を持つ確率(閏日を除く)は、(364/365)*(363/365)*(362/365)...(346/365) = 58.8562%である。したがって、少なくとも1組の誕生日が一致する確率は41.1438%となる。また、一致する確率が50%を超える最小の人数は23人である。
同じ365日に生まれた人が30人いるとします。そのうち2人が同じ誕生日である確率はどれくらいでしょうか? 回答の中で、その計算式を説明してください。
30人が一列に並んでいるとします。2人目の人が1人目の人と一致しない確率は364/365です。そして、一致しなかったと仮定すると、次の人が最初の2人とどちらとも一致しない確率は363/365です。これを1人ずつ続けてみます。2人とも一致しない確率は全体で(364/365)*(363/365)*...*(346/365) = 29.3684%です。「一致確率を50%以上にするには、何人必要か?」という質問がよくあります。答えは、23人いれば少なくとも1人は一致する確率は50.7297%です。
試験には75問の多肢選択問題があります。各問題には4つの選択肢があり、正解は1つだけです。合格点は50%です。各解答を推測して合格する確率はどれくらいでしょうか?
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まず、リンク先の期間生命表ではなく、コホート生命表を使用するのが適切でしょう。オンラインでコホート生命表を探してみましたが、見つかりませんでした。しかし、提供されている表は使用できます。この表では、将来の平均寿命の伸びが考慮されていないため、実際の寿命が若干短く見積もられる可能性があります。
ご質問にお答えするために、あなたと28歳の女性の死亡年の組み合わせごとの確率を示す大きな行列を作成しました。詳細を説明していない場合はご容赦ください。要するに、お二人のうちどちらかが41.8年後に死亡し、後者が57.3年後に死亡することを示しています。どちらの数字も切り捨てです。つまり、端数は考慮されません。
この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。
i^iとは何ですか?
自分で解決する機会を与えずにただ答えを教えるだけではだめなのです。
まず、ヒントを一つ。この方程式を知らないと、解くのは難しいでしょう。
そうでなければ、私は自分が悪いと認めます。解決策を教えてください。
ヒント内の方程式についての議論については、 Wizard of Vegasの私のフォーラムをご覧ください。
イギリスに、ジョージ王子とキャサリン妃と全く同じ日に第一子と第二子を出産した女性がいると聞きました。その確率はどれくらいでしょうか?
この質問に答えるには、いくつか大まかな仮定を立てなければなりません。
振り返ってみると、ジョージ王子は2013年7月22日、シャーロット王女は2015年5月2日に生まれました。つまり、649日の差があります。妊娠期間を9ヶ月とすると、ジョージ王子の誕生からシャーロット王女の妊娠までは379日となります。
個人的な観察ですが、兄弟姉妹間の平均日数を3年と仮定してみましょう。つまり、次の子の誕生から妊娠までの日数は825日となります。指数分布を用いると、ちょうど379日の差が生じる確率は0.0442%となります。
次に、20歳から39歳までの女性全員が潜在的な候補者であると仮定しましょう。Wikipediaによると、この年齢層のイギリスの人口は16,924,000人です。これを2で割ると、イギリスの出産可能年齢の女性は8,462,000人になります。
英国の出生率(出産可能年齢の女性1人あたりが産む子供の数の平均)は1.92です。ポアソン分布を用いると、2人以上の子供を持つ確率は69.83%となります。したがって、英国で2人以上の子供を持つ出産可能年齢の女性の数は、8,462,000 × 69.83% = 5,909,015人となります。
一般的に女性は40歳よりも20歳近くで子供を産むので、第一子が生まれた時の母親の年齢は、おおよそ20歳から37歳の間で均等に分布すると言えるでしょう。つまり、英国でジョージ王子の誕生日にちょうど第一子を出産する女性の数は、5,909,015/(17×365) = 952.32人です。
第一子と第二子の年齢差がちょうど379日になる確率は0.0442%であることは既に分かっています。したがって、シャーロット王女の誕生と全く同じ日に第二子を出産し、ジョージ王子の誕生と全く同じ日に第一子を出産した女性の期待数は、952.32 × 0.000442 = 0.421となります。
指数分布を使用すると、平均値が 0.421 の場合、少なくとも 1 人の女性がジョージ王子とシャーロット王女の誕生とまったく同じ日に第 1 子と第 2 子を出産する確率は 34.36% になります。
ちなみに、アメリカで同じことが起こる確率は 86.32% です。
合計が 1 になるには、0 から 1 までの一様分布から平均何回抽出する必要があるでしょうか。
0 から 1 までの一様分布から抽出された乱数の和が 1 を超えると予想される数はいくつですか。
サムとダンという2人のプレイヤーがそれぞれ5枚のコインを持っています。両者とも1枚から5枚のコインを手札に加える必要があります。同時に、それぞれが出したコインの枚数を公開しなければなりません。もし両者が同じ枚数を選択した場合、サムが勝ち、出したコインをすべて獲得します。もし両者が異なる枚数を選択した場合、ダンが出したコインをすべて獲得します。両プレイヤーが完璧な論理的思考力を持っていると仮定した場合、ダンにとって最適な戦略は何でしょうか?
ダンは次のように戦略をランダム化する必要があります。
- 1枚のコインを選ぶ確率 = 77/548。
- 1枚のコインを選ぶ確率 = 107/548。
- 1枚のコインを選ぶ確率 = 117/548。
- 1枚のコインを選ぶ確率 = 122/548。
- 1枚のコインを選ぶ確率 = 125/548。
この戦略では、サムが何枚のコインを選んだかに関係なく、ダンは毎ターン 3.640510949 枚のコインを獲得できると予想できます。
解答は私の数学問題サイト、問題 230 にあります。
この質問につながった関連する質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで見つかります。