確率 - カード

まずはあなたが同点を数えていないと仮定します。言い換えれば、75ベットが解決されたことを意味します。引き分けなしで75手になる可能性は非常に低いでしょう。解決された75ベットのうち、バンカーが勝つと予想される数は38.00913745です。標準偏差は75の積の平方根、バンカーが勝つ確率、およびプレイヤーが勝つ確率です。同点がなかった場合、バンカーが勝つ確率は0.506788499であり、プレイヤーが勝つ確率は0.493211501です。したがって、標準偏差は4.329727904になります。次に、二項分布の半点補正を行って 標準正規分布表 でZ統計を検索する必要があります（この手順は読者に任されています）。最終的な答えとしては、バンカーが52勝以上を獲得する確率は.0009であるということです。あなたの質問はまた.0004の確率を持つバンカーが23回以下（また29回以上の差）勝つ可能性を考慮に入れると29以上の差の確率は最終的に.0013で769分の1になります。

褒めていただきありがとうございます。5倍ほど違っています。ディーラーの手札では順序が関係するためです。ディーラーの最初のカードは表向きで配られるからです。正しい組み合わせの計算式は、combin(52,5)*47*combin(46,4) = 19,933,230,517,200となります。

この状況でフルハウスを作るには2つの方法があります。(1) スリーカードを引く、(2) ペアともう1枚のペアを引く。ここではシングルトンを3枚捨てると仮定します。

まず、(1) の組み合わせの数を計算してみましょう。3段で3スーツしか残っていない場合（シングルトンを3つ捨てたことを思い出してください）、9段で4スーツしか残っていない場合、組み合わせの数は3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39となります。

次に、(2)の組み合わせの数を計算してみましょう。既存のペアに加えるスーツは2つ残っています。残り3枚のカードで3列からペアを作る方法はcombin (3,2)通り、残り4枚のカードで3列からペアを作る方法はcombin(4,2)通りです。したがって、(2)の組み合わせの総数は2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) = 2*(3*3 + 9*6) = 126通りです。フルハウスを作る方法は、(1)と(2)の合計、つまり39+126=165通りです。2回目のドローで3枚のカードを並べる方法はcombin(47,3)=16,215通りあります。フルハウスが出る確率は、フルハウスが出る方法の数を合計の組み合わせ数で割った値で、165/16,215 = 0.0101758、つまり約 98 分の 1 となります。

combin() 関数の詳細については、ポーカーの確率に関するセクションを参照してください。

いいえ、特定の手札が配られる確率は、テーブルにいる他のプレイヤーの数に関係なく同じです。見えないカードは見えないカードであり、他のプレイヤーが持っているかデッキに残っているかは関係ありません。

各プレイヤーが別々のデッキからハンドを配られたと仮定して、おおよその答えを出します。これによってオッズに大きな変化はないでしょう。ポーカーの確率に関する私のセクションで示したように、いずれかのプレイヤーがストレートフラッシュを引く確率は36/2,598,960です。この確率をpとしましょう。2人のプレイヤーがストレートフラッシュを引く確率は、(6,2)*p ² *(1-p) ⁴ = .0000000028779です。言い換えれば、これが起こる確率は347,477,740対1です。

まずキングハイを計算し、他の 2 つの計算式を簡単に示します。確率は、キングハイのハンドの数をハンドの総数で割ったものになります。キングより小さいランクの数は 11 です。キングハイのハンドには、これらのランクのうち 2 つの異なるランクが必要です。11 個のうち 2 個を配置する方法の数は、 combin (11,2) = 55 です。ただし、これらの組み合わせの 1 つはキング、クイーン、ジャックで、ストレートになるため、その組み合わせを引くと、ストレートを形成しない組み合わせが 54 個残ります。次に、各ランクに 4 つのスーツがあるため、スーツの組み合わせは 4 ³ =64 通りあります。ただし、この 64 通りのうち 4 通りはフラッシュになるため、スーツの組み合わせは 64-4=60 通り残ります。したがって、キングハイの組み合わせの総数は 54*60=3240 です。 52枚のカードから3枚を並べる組み合わせは合計で22,100通りあります。したがって、キングハイの確率は3,240/22,100 = 0.1466063です。エースハイの確率は、(combin(12,2)-2)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.1737557です。a-2-3とqkaのストレートの両方があるため、-1ではなく-2であることに注意してください。

クイーンハイの確率は、(combin(10,2)-1)*(4 ³ -4)/combin(52,3)=0.119457です。

ロイヤルフラッシュの確率は、ロイヤルフラッシュの可能性のある数（各スーツに1枚ずつ）を、52枚の中から5枚を選ぶ方法の数（ combin (52,5) = 2,598,960）で割ったものです。つまり、答えは4/2,598,960 = 0.00000153908、つまり649,740分の1です。

連続ロイヤルフラッシュの確率は、（スーツの数）*（方向の数）/（52枚中5枚のカードの組み合わせの総数）=4*2/ permut (52,5)=8/311,875,200=8/（ロイヤルの数、つまり4（スーツごとに1つ））×ロイヤルフラッシュの方向の数÷52枚中5枚のカードの組み合わせの数、つまりpermut (52,5)=311,875,200で表されます。したがって、答えは4/311,875,200 = 0.00000002565、つまり38,984,400分の1となります。

まず、特定の数字がランダムな紙幣にn回出現する確率について、まだ聞かれていない質問に答えましょう。紙幣には8桁の数字が印刷されているので、特定の数字がn回出現する確率は、combin(8,n)*0.1 ⁿ *0.9 ^8-n /10 ⁸となります。0から8までの特定の数字の出現確率を示す表を以下に示します。

詳細については、私のLiars Pokerのページを参照してください。

カードを 5 枚引き、すべてのハンドにジャックが 2 枚ずつ含まれると仮定すると、確率は combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99% になります。

スリーペアとツーペアを除いた、スリーペアを得る方法と組み合わせの数は次のとおりです。

ワイルドカードなし: combin(13,3)*10*6 ³ *4 =2471040
エースのペアに対抗するためにワイルドカードを使用する: combin(12,2)*10*6 ² *4 ² = 380,160
ワイルドカードをシングルトンエースとして使用する: combin(12,3)*6 ³ = 47,520

組み合わせの総数は2,898,720通りです。これは、スリーカードの組み合わせ747,0676通りの半分以下です。

平均してロイヤルフラッシュは649,740ハンドに1回出現し、1,299,480ハンドではロイヤルフラッシュの期待値は2回であることはご指摘の通りです。しかし、これはあくまで平均です。ハンドを重ねるごとにロイヤルフラッシュに近づくわけではありません。独立した試行のゲームには必ずこの記憶のない性質があるため、ロイヤルフラッシュが出現する時期が遅れることはありません。

1,299,480 ハンド中、ロイヤルがゼロになる確率は 13.53% です。

9ハイハンドを形成するためのランクの並び方は2通りあります。あなたがおっしゃった方法と、2-3-4-6-7-8-9です。フラッシュを形成しないスーツの組み合わせの数は、4 ⁷ -4*(combin(7,5)*3^2+6*3+1) = 15,552です。したがって、9ハイハンドの確率は2*15,552/combin(53,7) = 31,104/154,143,080、つまり9,911分の1です。もし5回プレイしたとしたら、9ハイハンドが2回出る確率は9,826,685分の1になります。これは偶然の一致であり、乱数生成器やプログラムのコーディングの不具合によるものではないと考えています。

デッキの数をdとします。第1ラウンドで引き分けになる確率は(4*d-1)/(52*d-1)= 0.073955です。第2ラウンドで引き分けになる確率は、12*4*d/(52*d-2)*(4*d-1)/(52*d-3)+(4*d-2)/(52*d-2)*(4*d-3)/(52*d-3) = 0.073974です。第1ラウンドで引き分けになる確率をp ₁ 、第2ラウンドで引き分けになる確率をp ₂とします。すると、プレイヤーのリターンはp ₁ *(2*p ₂ +(1-p ₂ )/2*(1-2))= -0.023301となります。-1を掛けると、ハウスエッジは2.33%となります。あまり急いで説明しなかったことを願います。

プレイヤーの組み合わせの数は、 combin (52,5)=2,598,960と正しく計算されています。ディーラーのハンドは、combin(47,5)=1,533,939通りあります。ディーラーのカードは5枚のうち1枚が表向きになる可能性があり、2,598,960*1,533,959*5=19,933,230,517,200通りになります。

親切なお言葉ありがとうございます。セブンカードスタッドの数字の計算は難しいですね。だからこそ、私はコンピューターで計算しています。私のプログラムは、あらゆる組み合わせを網羅し、それぞれに点数をつけています。パイゴウポーカーのワイルドストレートの数は、11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332です。これにナチュラルストレートの10200個を加えると、合計は20532個になります。

あなたの方法は良い近似値です。しかし、その論理に従うと、コインを投げた場合、3人中少なくとも1人が表が出る確率は3*50%=150%になります。独立した事象を仮定すると、n回の試行で少なくとも1回成功する確率（各成功確率をpとした場合）は1-(1-p) ⁿです。コイン投げの例の場合、これは1-.5 ³ =0.875になります。カリビアンスタッドポーカーを4人でプレイする場合、少なくとも1回ロイヤルフラッシュが出る確率は1-(1-4/2598960) ⁴ = 0.00000615629になります。しかし、すべてのカードは同じデッキから配られるため、これらの事象は独立ではありません。正確な正解を求めるには数学的に非常に複雑な計算が必要であり、近似値は正解に非常に近いものになるはずです。

ナチュラルストレートフラッシュは32通りあります（4ランク×7枚のカードの8通り）。53枚の中から7枚のカードが出てくる可能性は、combin(53,7) = 154143080通りあります。つまり、答えは32/154143080、つまり4816971分の1です。

最初のハンドでストレートフラッシュが出る確率は、4*12/combin(52,3) = 48/22100 = 約0.0022です。次のハンドで全く同じ結果になる確率は1/22100です。したがって、答えは(48/22100)*(1/22100) = 48/488410000となり、10,175,208分の1の確率となります。これは、6/49の宝くじに当たる確率（13983816分の1）よりも1.37倍高い確率です。

(82/combin(416,2))* (72/combin(414,2)) = 0.00000043, or 1 in 2308093

配られたカードが1枚の場合、または4枚のフラッシュカードを引く場合のフラッシュの確率を定義しましょう。説明を簡単にするために、プレイヤーが4枚のストレートカードでパットペアまたはストレートカードを引くと仮定します。配られたカードでフラッシュが完成する確率（ストレート/ロイヤルフラッシュを除く）は、4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654です。4枚のフラッシュカードが配られる確率は、4*3*combin(13,4)*13/combin(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172です。ドローでフラッシュが完成する確率は9/47です。したがって、4枚のフラッシュが完成する確率は0.0429172*(9/47) = 0.0082182です。つまり、フラッシュが完成する確率は0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836です。5人中2人がフラッシュを完成させる確率は、combin(5,2)* 0.0101836 ² *(1-0.0101836) ³ = 0.001006、つまり約994分の1です。

52枚のカードから7枚のカードを選ぶ方法は、combin(52,7)=133,784,560通りあります。フォー・オブ・ア・カインドを含む7枚のカードの組み合わせの数は、13*combin(48,3) = 224,848通りです。13はフォー・オブ・ア・カインドが何段あるか、combin(48,3)は残りの48枚から3枚のカードを選ぶ方法の数です。したがって、確率は224,848/133,784,560 = 0.0017、つまり595分の1となります。

52 分の 1 の階乗、または 80,658,175,170,943,900,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 分の 1 です。

まず、10人中2人のプレイヤーを選ぶ方法は10*9/2=45通りあります。特定の2人がエースを4枚揃える確率は1/combin(52,4)=1/270725です。つまり、任意の2人がエースのペアを揃える確率は45/270725=0.0001662です。

1 人のプレイヤーが 7 枚のフラッシュを獲得する確率は、4 * combin(13,7)/combin(52,7) = 1949 分の 1 です。7 人のプレイヤーのうち少なくとも 1 人が 7 枚のフラッシュを獲得する確率は、約 2785 分の 1 です。

単純化のため、各ハンドは新しいデッキから配られると仮定しましょう。フォー・オブ・ア・カインドが揃う確率は13*48/combin(52,5) = 624/2598960です。40枚のフォー・オブ・ア・カインドのうち3枚だけ揃う確率は、combin(40,3)*p ³ *(1-p) ³⁷ = 7378135分の1（p = 624/2598960）です。つまり、700万分の1の確率に近いと言えます。

どういたしまして。褒めていただきありがとうございます。6デッキのシュー（プラス3枚のジョーカー）からジョーカーが3枚連続で配られる確率は、1/combin(315,3) = 5,159,805分の1です。別の解は(3/315)*(2/314)*(1/313)です。

答えは、(4 ¹³ /COMBIN(52,13))* (3 ¹³ /COMBIN(39,13))* (2 ¹³ /COMBIN(26,13)) = 61,204,166,001分の1です。

ロイヤルのスーツは4種類あります。5種類のカードが欠けている可能性があります。5枚目のカードは、他の47枚のカードのいずれかです。つまり、ロイヤルに4枚揃う方法は4×5×47=940通りあります。合計の組み合わせは、(52,5)=2,598,960通りです。つまり、確率は940/2,598,960=2,765分の1です。

この問題を簡単に解く方法は、最初の山札にエースが3枚ある確率は(4/52)*(3/51)*(2/50) = 1/5525であるということです。しかし、各山札にエースが3枚ある確率は等しいので、6を掛けて6/5525 = 0.001086となります。

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474、つまり約3282分の1です。

どのハンドでもフォー・オブ・ア・カインドが揃う確率は、13*48/combin(52,5) = 0.0002401です。2時間で120ハンドプレイできると仮定しましょう。フォー・オブ・ア・カインドがちょうど2つ揃う確率は、combin(120,2) × 0.0002401 ² × (1-0.0002401) ¹¹⁸ = 0.000400095 = 2499.41分の1となります。

ストレートフラッシュとロイヤルフラッシュを除くと、ストレートの確率は1.02%、フラッシュの確率は1.04%です。つまり、フラッシュの方がわずかに確率が高いということです。

普段はこうは言いませんが、何時間も試してみたものの、この問題の計算はどうしても理解できませんでした。そこで、友人であり数学教授でもあるガボール・メジェシに頼りました。彼が教えてくれた「干ばつ」問題用の公式がこちらです。

1. 与えられたハンドで勝つ確率を p とします。
2. 干ばつの長さを d とします。
3. プレイしたハンドの数を n とします。
4. k=dp、x=np と設定します。
5. k=1 の場合は a=-1 とし、それ以外の場合は k=-ln(-a)/(1+a) となる a を求めます。(a は負の数で、k>1 の場合は -1 < a < 0、k < 1 の場合は a < -1 となり、a は高精度で計算する必要があります。) [ウィザードの注記: この種のソリューションは、Excel のツール メニューのゴール シーク機能を使用して簡単に見つけることができます。]
6. k=1の場合はA=2とし、それ以外の場合はA=(1+a)/(1+ak)とする。
7. nハンドで長さdの干ばつが発生しない確率は、およそAe ^{a x}です。

この問題では、p=1/40391、d=200000、n=1000000、k=4.9516、x=24.758、a=-0.0073337、A=1.03007です。したがって、干ばつが発生しない確率は1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042です。したがって、少なくとも1回の干ばつが発生する確率は1-0.859042 = 0.140958です。

Gabor Megyesi氏による5ページにわたる完全な解答（PDF）はこちらです。ご協力ありがとうございました、Gáborさん。

100万回の手札を32,095セットランダムにシミュレーションしました。少なくとも1回は干ばつに見舞われたのは4558セットで、確率は14.20%でした。

次の表は、完全にランダムなハンドで 0 から 4 枚のエースが出る確率を示しています。

1枚から4枚のエースの合計を取ると、少なくとも1枚のエースが出る確率は0.341158です。2枚以上のエースが出る確率は0.041684です。

少なくとも 1 枚のエースがある場合に、少なくとも 1 枚のエースがある確率は、ベイズの定理に従って、確率 (少なくとも 1 枚のエースがある場合に、さらに 2 枚のエースがある) = 確率 (2 枚以上のエース)/確率 (少なくとも 1 枚のエース) = 0.041684/ 0.341158 = 0.122185 と言い換えることができます。

ベイズの定理がまだ錆び付いている人のために説明すると、これは、B が与えられた場合の A の確率は、A と B の確率を B の確率で割った値に等しい、つまり Pr(A が与えられた場合の B) = Pr(A と B)/Pr(B) であることを意味します。

次の表は、スペードのエースをデッキから除いた場合に、他のエースの各数の組み合わせと確率を示しています。

これは、少なくとももう 1 枚のエースが出る確率が 0.221369 であることを示しています。

面白半分に、ベイズの定理を使って同じ問題を解いてみましょう。スペードのエースが見つかるまでランダムに手札が配られると仮定します。手札にスペードのエースが含まれている場合、少なくとも1枚のエースがさらに出ている確率は、確率（スペードのエースが含まれている場合、少なくとも2枚のエースが手札にある）と書き直すことができます。ベイズの定理によれば、これは確率（手札にスペードのエースと少なくとももう1枚のエースが含まれている）/確率（手札にスペードのエースが含まれている）に等しくなります。分子を確率（スペードのエースを含む2枚のエース）+確率（スペードのエースを含む3枚のエース）+確率（4枚のエース）に分解できます。最初の表を使うと、0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285となります。スペードのエースが出る確率は 5/52 = 0.096154 です。つまり、スペードのエースが2枚以上出た場合、少なくとも2枚のエースが出る確率は 0.021285/0.096154 = 0.221369 です。

したがって、少なくとも 1 つのエースがある場合に 2 つ以上のエースが出る確率は 12.22% であり、スペードのエースがある場合に 22.14% となります。

もっと単純な状況を考えてみましょう。女性Aが「私には子供が2人いて、少なくとも1人は男の子です」と言い、女性Bが「私には子供が2人いて、上の子はジョンという名前です」と言うとします。ジョンという名前の子供は女の子ではなく、同じ名前を複数の子供に付ける女性もいないと仮定します。条件付き確率を用いると、女性Aの子供が2人とも男の子である確率は、pr(2人とも男の子)/pr(少なくとも1人の男の子) = pr(2人とも男の子)/(1-pr(2人とも女の子)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3となります。しかし、女性Bの下の子供が男の子である確率、あるいは2人とも男の子である確率は？です。なぜなら、上の子供の名前がジョンであると言っても、下の子供については何も分からないからです。

別の例として、Jiffy Lube に行って、同じ価格で 2 つのプランを提示されたとします。プラン A は、4 つの部品を検査し、最初に不良品が見つかったものだけを交換するというものです。プラン B は、1 つの問題だけを検査し、見つかった場合は修理するというものです。プラン A を選びませんか? 車に持ち込まれた不良部品の数は予想と同じですが、プラン A の方が問題が見つかる確率が高くなるため、そのプランでは不良品の数は少なくなります。同様に、エースを検査するとおそらくエースだけが出てきますが、スペードのエースを検査すると他の 3 つのスーツは検査されないため、エースである可能性が高くなります。

まずストレート フラッシュを、同じスーツのカードが 4 枚連続するものと、5 枚連続するものの 2 種類に分けました。5 枚のストレート フラッシュの数は、スーツの数 * スパンの数 (エースから 10 までの最下位カード) = 4 * 10 = 40 です。4 枚のストレート フラッシュには、11 種類のスパン (エースからジャックまでの最下位カード) があります。A234 および JQKA のストレート フラッシュの場合、5 枚目のカードは 47 種類 (52 から、すでに取り除かれた 4 枚と、すでに計算されている 5 枚のストレート フラッシュを形成する 5 枚目のカードを引いたもの) のいずれかになります。したがって、スパン A234 または JQKA のストレート フラッシュは、4 * 2 * 47 = 376 種類あります。他の 9 種類のうち、5 枚目のカードになり得るカードは 46 種類 (52 から、すでに取り除かれた 4 枚と、5 枚のストレート フラッシュを形成する 2 枚を引いたもの) です。したがって、スパン2345からTJQKまでのストレートフラッシュの数は4*9*46=1656です。つまり、4枚のストレートフラッシュの合計数は40+376+1656=2072です。

ストレートは45枚のカードでのみ成立します。例えば、A、2、3、4、6、7、8、9、J、Q、Kをすべて合計44枚配っても、ストレートは成立しません。

こんなに優しく誘ってくれて、どうやって断ればいいの？まず、52枚のカードから順番に関係なく7枚を選ぶ方法は、 combin (52,7) = 133,784,560通りあります。7枚のストレートは8通りのスパン（最下位カードはAから8まで）があります。もし7つの異なるランクがあるとしたら、スートの並び方は4 ⁷ = 16384通りあります。これには同じスートのカードも含まれ、ストレートフラッシュになります。つまり、確率は8*16,384/133,784,560 = 1020.6952分の1です。

スペードが0枚の確率は(39/52)*(38/51)*(37/50)*(36/49) = 0.303818です。したがって、少なくとも1枚のスペードが出る確率は1-0.303818 = 0.696182です。

確率101から、Pr(AまたはB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AとB) であることがわかります。つまり、Pr(AとB) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(AまたはB) です。Aがエース、Bがデュースを出した場合を考えてみましょう。Pr(A) = Pr(少なくとも1枚のエース) = 1 - Pr(エースなし) = 1 - combin(48,4) / combin (52,4) = 1 - 0.7187 = 0.2813 です。デュースが出ない確率も当然同じです。同じ論理で、pr(AまたはB) = Pr(少なくとも1枚のエースまたは2) = 1-Pr(エースも2枚もない) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565となります。したがって、少なくとも1枚のエースと2枚が出る確率は0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962となります。

1回のハンドでこの数字が出る確率は6/52です。27回連続でこの数字が出る確率は(6/52) ²⁷ = 20,989,713,842,161,800,000,000,000分の1です。

各ペアの4つのスーツのうち2つを組み合わせると、6通りの並べ方があります。シングルトンカードは44枚あります。したがって、成立する組み合わせの数は6×6×44 = 1584通りです。合計で2,598,960通りの組み合わせがあるので、確率は0.0609%です。

まさにその手札を得る方法は一つしかありません。つまり、その確率はcombin(52,5)で1、つまり2,598,960分の1となります。

この概念はよく知っています。5枚のカードで構成されたハンドは134,459種類あります。私がこれを知っているのは、私が初めて作ったビデオポーカープログラムで、2,598,960種類ものハンドをすべて分析し、ペイテーブルを一通り確認するのに何日もかかったからです。しかし、134,459種類ものハンドクラスをそれぞれ1つずつ実行し、そのクラスに含まれるハンドの数で重み付けすることで、実行時間を95%も短縮できます。最近私が分析したブラックジャック・ボーナスポーカーのように、スーツが特定のゲームの場合は、古いプログラムを引っ張り出して、ゆっくりとした方法で分析しなければならないこともあります。

フルハウスとフラッシュの順序を逆にしたことに注意してください。

2つのスーツは4と1、または3と2に分割できます。まずは4/1の分割を見てみましょう。4枚のカードを持つカードには4つのスーツから選ぶことができ、1枚のカードを持つカードには3つのスーツから選ぶことができます。13のランクから4つのランクを選ぶ方法はcombin(13,4)=715通りあります。1つのランクを選ぶ方法は13通りあります。つまり、2つのスーツの間で4/1の分割が発生する方法は4×3×715×13=111,540通りあります。同様の論理で、3/2の分割が発生する方法は4×3×combin(13,3)×combin(13,2)=267,696通りあります。したがって、全体の確率は(111540+267696)/combin(52,5) = 14.59%となります。

ありがとう。(4 ⁵ -4)/combin(52,5) = 1020/2598960 = 2,548分の1。

勝つ確率を推定する簡単な方法は、すべてのカードが12/13の確率で記載されたランクと一致しないと仮定することです。この賭けに勝つには、被害者はこれを52回成功させる必要があります。52回勝つ確率は(12/13) ⁵² = 1.56%です。妥当な賭け金は63.2対1です。20対1では、ヴィンスは67.3%の優位性があります（痛い！）。

私よりも数学に詳しいGMによると、実際の確率は1.6232727%です。この差が生じる理由は、各ピックの結果が過去のピックと正の相関関係にあるためです。

カードが全て公開される前、フロップに3つのランクのカードが出現しない確率は、 combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44.71%です。つまり、このプレイヤーは10.59%のアドバンテージを持っていました。

確率の問題に答える際に私が好んで使うのは、組み合わせ関数を使うことです。この方法では、デッキ内の48枚のキング以外のカードからキング以外の4枚を選ぶ方法は、 combin (48,4) = 194,580通りあります。デッキの残りの51枚のカードから任意の4枚を選ぶ方法は、combin(51,4) = 249,900通りあります。つまり、次の4枚のカードにキングが1枚も含まれない確率は、194,580/249,900 = 77.86%です。したがって、少なくとも1種類のカードが含まれない確率は、100% - 77.86% = 22.14%です。

何人かの方から、このような単純な確率の質問をするタイプの人には、組み合わせ関数は難しすぎるのではないかというご意見をいただきました。私もその意見には同意しますが、このサイトの主目的は読者の皆様に数学について少しでも理解を深めていただくことです。組み合わせ関数は確率論において非常に有用であり、多くの時間を節約してくれます。しかし、今回の問題は組み合わせ関数がなくても簡単に答えられます。

2枚目のカードがキングでない確率は48/51です。これは、デッキにキング以外のカードが48枚残っており、カードの合計が51枚だからです。2枚目のカードがキングでない場合、3枚目のカードもキングでない確率は47/50（キング以外のカード47枚を残り50枚で割る）です。これを最後まで繰り返すと、残りの4枚のカードがすべてキングでない確率は(48/51)×(47/50)×(46/49)×(45/48) = 77.86%となります。そうでない確率、つまり少なくとも1枚のキングである確率は、100% - 77.86% = 22.14%です。

驚くべきことに、52枚のカードのうち30枚が偶数であるにもかかわらず、奇数の合計が出る確率は50.03%と、より高くなります。以下の表は、それぞれの偶数/奇数への分割の確率を示しています。

最初のカードがスペードで、次の2枚がスペードではない確率は、(13/52)×(39/51)×(38/50) = 14.53%です。スペードは3枚のカードのうちどれか1枚である可能性があるため、この値を3倍します。つまり、答えは3×14.53% = 43.59%です。組み合わせ関数を使いたい方は、13×combin(39,2)/ combin (52,3) = 9,633/22,100 = 43.59%となります。

数が2つの場合、答えは1/3、n個の場合、答えは1/(n+1)です。数学の問題のページに、問194と問195の解答を掲載しました。

皆さんが喜んでくれることを願っています。後半部分には一日中取り組みましたが、それでも答えは間違っていました。読者の皆さんの喜びを奪ってしまう恐れがあるので、ここで答えをそのまま公開することはしません。この問題は2つの問題に分け、解答と解法をmathproblems.info （問題196と197）に投稿しました。

2枚のカードが入ったスーツが1つと、1枚ずつ入ったスーツが3つあります。2回表されるスーツには4つのスーツの可能性があります。2回表されるスーツの場合、13のランクから2つのランクを選ぶ組み合わせは(13,2)=78通りあります。他の3つのスーツの場合、それぞれ13通りのランクが考えられます。したがって、組み合わせの総数は4 × 78 × 13 × 13 × 13 = 685,464通りです。52枚のカードから5つのカードを選ぶ組み合わせは(52,5)=2,598,960通りあります。したがって、確率は685,464/2,598,960 = 26.37%です。

ランダムシミュレーションによると、確率は48.64%です。だから、私はその賭けに出たでしょう。

はい。まず、各カードに0から51までの値を割り当てます。カードをc1からc5と呼び、c1を最低、c5を最高として並べます。次に、次の関数を呼び出します。

int GetIndex(int c1, int c2, int c3, int c4, int c5)
{
return combin(c5,5) + combin(c4,4)+ combin(c3,3) + combin(c2,2) + combin(c1,1);
}

combin は従来の値を返しますが、最初の値が 2 番目の値より小さい場合を除き、次のように 0 を返します。

int 結合(int x, int y)
{
もし (y>x)
0を返します。
それ以外
{
整数 i,n;
1 の場合
(i=x-y+1; i<=x; i++) の場合
n*=i;
(i=2; i<=y; i++) の場合
n/=i;
n を返します。
}
}

配列要素にアクセスするためにこれを行う場合は、次のように配列をロードします。

カウント=0;
(c5 = 4; c5 < 52; c5++) の場合
{
(c4 = 3; c4 < c5; c4++) の場合
{
(c3 = 2; c3 < c4; c3++) の場合
{
(c2 = 1; c2 < c3; c2++) の場合
{
(c1 = 0; c1 < c2; c1++) の場合
{
index_array[count]=WhateverYouWish;
カウント++;
}
}
}
}
}

これは二項分布のような問題です。一般的な公式は、ある事象の確率がpで、それぞれの結果が独立している場合、t回の試行のうち正確にw回発生する確率は、(t,w)×p ^w ×(1-p) ^{tw と}なります。

この場合、ストレートフラッシュを作る方法は2通りあります。ダイヤの8と、ダイヤの6またはJのいずれかのカードがもう1枚必要です。デッキに残っている47枚のカードから2枚を引く方法は、combin(47,2)=1,081通りあります。したがって、1回のハンドでストレートフラッシュが完成する確率は、2/1,081 = 0.0018501です。10回中3回ストレートフラッシュが完成する確率は、combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.000000750178、つまり1,333,017分の1です。

赤い3が4枚と、それ以外のカードが104枚あります。赤い3を4枚全て揃える方法は1つだけです。残りの104枚のうち50枚を揃える方法は、 combin (104,50)= 1.46691 × 10 ^{28 通り}あります。組み合わせの総数は、combin(108,54)= 2.48578 × 10 ^{30 です}。combin(104,50)/combin(108,54) = 0.059012です。

大きな数字を扱いたくない場合は、別の解決策があります。4枚の赤い3に1から4の番号を付けます。最初の赤い3がプレイヤーの山札にある確率は54/108です。次に、最初の3枚を取り除きます。プレイヤーが2枚目の赤い3を持っている確率は53/107です。これは、プレイヤーの残りカードが53枚で、残りのカードが107枚だからです。同様に、プレイヤーが3枚目の赤い3を持っている確率は52/106、4枚目の赤い3を持っている確率は51/105です。(54/108) × (53/107) × (52/106) × (51/105) = 0.059012。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

面白いですね。先ほども書いたように、あの手の動きはネバダ州のどこででも23.7年に一度くらい起こると推定しています。今回もそのうちの一つだったと言えるでしょう。

私の場合は48.6279%です。もし賭けようと思っているなら、「イエス」のオッズは1.0564対1になるでしょう。

2011 年にウォリックシャーで行われたホイストのゲームでそれが起こったという噂もあります。他の読者のために、これは 52 枚のカードのデッキを 13 枚ずつの 4 つのグループに分割し、各セットが 1 つのスートの 13 枚のカードだけで構成されている場合の確率がどれくらいかを尋ねています。

52枚のカードを13枚ずつ4組に分ける組み合わせは、combin(52,13)combin(39,13)*combin(26,13) = 53,644,737,765,488,800,000,000,000,000通りあります。4つのスーツを4人のプレイヤーに好きなように分配できるので、4! = 24が勝ちの組み合わせの数になります。したがって、確率は2,235,197,406,895,370,000,000,000,000分の1です。この数字をもう少し具体的に表すと、地球上の75億人全員が1秒に1枚のブリッジのハンドを配ったとすると、50億年後に太陽が爆発する前に誰かがいわゆるパーフェクトハンドを配る確率は16,558分の1になります。

しかし、「完璧な」手札とは、1人のプレイヤーが任意のスートの13枚のカードをすべて揃えることだと定義する人もいます。この確率は39,688,347,497ゲームに1回です。おそらく、地球上のどこかでたまに起こるのでしょう。

まず、このような状況が発生するプレイヤーカードとボードカードの組み合わせの数を調べてみましょう。スートは4種類あります。すると、与えられたスートから13枚のカードの中から4枚を選ぶ方法は、combin(13,4)=715通りあります。

第二に、これが起こる一つの方法は、プレイヤーが盤上に同じスートのカードを3枚置き、残りの2枚を残りの39枚のカードから選ぶことです。選択したスートの残り9枚のカードのうち3枚が盤上に現れる場合、combin(9,3)=84通りあります。そして、他の3つのスートの残り39枚のカードからさらに2枚を選ぶ場合、combin(39,2)=741通りあります。つまり、盤上に問題のスートのカードが3枚ある場合、84*741=62,244通りあります。

3 つ目は、同じスートのカードが 4 枚ボード上にあり、残りの 1 枚が他の 39 枚のカードの中にある場合です。選択したスートの残りの 9 枚のカードのうち 4 枚がボード上に存在する場合、combin(9,4) = 126 通りの可能性があります。次に、他の 3 つのスートの残りの 39 枚のカードからさらに 1 枚を選ぶ場合、39 通りの可能性があります。ただし、これらすべてが両方のプレイヤーが両方のホールカードを使用することになるわけではありません。その条件を満たすには、問題のスートの最も低いカードがボード上にある必要があります。そのスートの 8 枚のカードのうち、その確率は 4/8 = 1/2 です。したがって、問題のスートのカードが 4 枚ボード上にある場合、126*39*(1/2) = 2,457 通りの可能性があります。

4つ目に、これが起こり得る最後の方法は、プレイヤーがボード上に同じスートのカードを5枚持っている場合です。ボード上に、選択したスートの残り9枚のうち5枚が揃う可能性は、combin(9,5)=126通りあります。しかし、これらすべてが両プレイヤーが両方のホールカードを使う結果になるわけではありません。その条件を満たすには、該当するスートの最低ランクの2枚がボード上になければなりません。そのスートの9枚のカードのうち、その確率は、combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18です。つまり、該当するスートのカードが4枚ボード上に揃う可能性は、126*(5/18)=35通りあります。

したがって、これが発生する組み合わせの数は、715 * (62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240 です。

プレイヤーのホールカードとして 52 枚の中から 4 枚のカードを選び、さらにボードに残っている 48 枚の中から 5 枚を選ぶ方法の組み合わせの総数は、combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400 です。

したがって、確率は 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 分の 1 となります。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されました。

この質問は、 この投稿から始まり、Wizard of Vegas の私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

まずは 100% から始めて、4 つ未満のスーツになる確率を差し引きます。

例えば、48枚のカードにハートが1枚も含まれていない確率はどれくらいでしょうか？ハートではないカードは36枚あります。36枚の中から15枚を選ぶ方法はcombin(36,15) = 5,567,902,560通りです。48枚の中から15枚を選ぶ方法は1,093,260,079,344通りです。つまり、ハートが15枚含まれていない確率は5,567,902,560 / 1,093,260,079,344 = 0.005093となります。

次に、これを 4 倍にして、ハートだけでなく、どのスーツも見逃す確率を求めます。4 × combin(36,15)/combin(48,15) = 0.02037174。

しかし、この方法では状況によっては二重カウントされてしまいます。例えば、黒いカードが15枚あるとします。この場合、ハートとダイヤの両方が除外され、二重カウントされてしまいます。そのため、この状況を修正する必要があります。4つのスーツから2つのスーツを選ぶ方法はcombin(4,2) = 6通りあります。15枚のカードすべてが特定の2つのスーツである確率は、combin(24,15)/combin(48,15) = 1307504/1,093,260,079,344 = 0.00000120です。前述のように、4つのスーツから2つのスーツを選ぶ方法は6通りあるため、すべてのカードが2つのスーツになる方法は、6 × combin(24,15)/combin(48,15) = 0.00000718通りです。

二重に数えたものを差し引くと、2 つまたは 3 つのスーツが表される確率は 0.02037174 - 0.00000718 = 0.02036456 になります。

12 枚の中から 15 枚のカードを選択することは不可能なので、1 つのスーツが表されることを心配する必要はないことに注意してください。

最後のステップとして、2 つまたは 3 つのスーツの確率を 100% から引いて、4 つのスーツすべてが表される確率を算出します: 1.00000000 - 0.02037174 = 0.97963544。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

勝つには、相手が3つの予想をすべて間違える必要があります。最初の予想が間違っている確率は10/13です。2番目の予想が間違っている確率は9/12です。これは、最初のランクを可能性として推測した可能性を除外できるためです。3番目の予想が間違っている確率は8/11です。これは、最初の2つのランクを可能性として推測した可能性を除外できるためです。

勝つには、これら3つの条件がすべて満たされる必要があります。したがって、勝つ確率は(10/13) * (9/12) * (8/11) = 720/1716 = 41.96%となります。

均等な金額の場合、この賭けのあなたの側のハウスエッジは 16.08% です (痛い!)。

この質問は、Owen E'Shea 著の The Book of Proposition Bets (番号 7) から抜粋されました。

12が出るまでの平均的な待ち時間は、12が出るまでの時間を含めて36回です。しかし、これは36回投げるたびに12が出るという意味ではありません。12が出ない確率は(35/36)です。27回投げて12が出ない確率は(35/36)の27乗です。つまり、少なくとも1回12が出る確率は1-(35/36)の27乗=53.26%です。

以下の表は、20回から36回ロールした際に、少なくとも12が出る確率を示しています。ただし、イーブンマネーで有利になるには25回必要であることに注意してください。

一度に 1 つのタイプの手を取り上げてみましょう。

• 同じカードが 5 枚: デッキには 52 種類のカードがあり、52 通りの組み合わせがあります。
• 同じカードが4枚：同じカードが4枚ある場合、その組み合わせは52通り、1枚しかない場合、51通りあります。つまり、フォー・オブ・ア・カインドの組み合わせは52×51＝2,652通りあります。
• 同じカードが3枚と、別のカードが2枚の場合：同じカードが3枚の場合は52通り、ペアの場合は51通りあります。つまり、フルハウスの組み合わせは52×51＝2,652通りあります。
• 同じカードが3枚と、異なるシングルトンが2枚の場合：同じカード3枚の組み合わせは52通り、シングルトン2枚の組み合わせはcombin(51,2)=1,275通りあります。つまり、スリーカードの組み合わせは52*1,275=66,300通りあります。
• 同じカードが2組ペアになり、シングルトンが1枚ある場合：ペアとなる2枚の異なるカードの組み合わせは、combin(52,2)=1,326通りあります。そして、シングルトンは50通り残ります。つまり、ツーペアとなる組み合わせは1,326*50=66,300通りあります。
• 同じカードが1組とシングルトンが3枚の場合：ペアのカードは52通りあります。残りのシングルトン51枚から3枚を選ぶ方法は、combin(51,3)=20,825通りあります。つまり、ペアの組み合わせは52*20,825=1,082,900通りです。
• 5 つのシングルトン: 52 枚の中から 5 枚のカードを選択する方法は combin(52,5)=2,598,960 通りあります。

これらの組み合わせの合計は 3,819,816 です。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。