ルーレット - 一般的な質問

ルーレットでは、どんな賭け方、あるいは賭けの組み合わせにも高いハウスエッジが存在します。勝つ確率が高ければ高いほど、得られる利益に対してリスクを負うことになります。これを10回繰り返すと、利益が出る確率は46.42%です。100回繰り返すと、その確率は24.6%に低下します。

イーブンマネーベットで説明したのと同じ方法で始めましょう。各ベットは左と右の数字の合計になります。ただし、2列戦略に従うと、負けた場合は右に2倍の金額を追加する必要があります。

練習モードでプレイしてみましたが、ちゃんとしたゼロなしルーレットのようです。長期的に見て、このゲームに勝ったり負けたりするシステムはありません。プレイすればするほど、賭け金総額に対する純利益の比率はゼロに近づいていきます。

更新：このカジノはその後閉鎖されました。

マイクロゲーミングカジノで11でダブルダウンし、ディーラーがブラックジャックを出した場合、賭けた金額全額を失います。ユニファイドゲーミングでは、アップカードが10の場合、ブラックジャックは即座に裏返されるため、このような状況でダブルダウンしてもブラックジャックに負けるリスクはありません。

ルーレットでは、恐ろしい5つの数字の組み合わせを避ければ、すべての賭けの組み合わせで同じ期待収益が得られます。3列目には赤が8つ、黒が4つあるのはご指摘の通りです。3ユニット獲得の確率は8/38、1ユニット獲得の確率は4/38、損益分岐点は10/38、2ユニット失う確率は16/38です。1ユニットあたりの期待収益は合計で(1/2)*(3*8 + 1*4 + 0*10 + 2*16)/38 = -2/38です。黒と3列目に賭けた場合、3ユニット獲得の確率は4/38、1ユニット獲得の確率は8/38、損益分岐点は14/38、2ユニット失う確率は12/38です。期待収益は(1/2)*(3*4 + 1*8 + 0*14 + 2*12)/38 = -2/38です。どちらの組み合わせでも、さまざまな結果に異なる重みが付けられますが、平均すると同じ数値になります。

n個の数字を当てた後、次のスピンで新しい数字が出る確率は(38-n)/38です。ある事象の確率がpの場合、それが起こるまでの期待試行回数は1/pです。したがって、既にn個の数字が出ている場合、新しい数字が出るまでの期待スピン回数は38/(38-n)です。例えば、20個の数字を当てた後、21番目の数字が出るまでの期待スピン回数は38/18=2.11です。したがって、答えは各ステップにおける期待スピン回数の合計、つまり(38/38)+(38/37)+(38/36)+...+(38/1)=160.66となります。

(18/38) ¹⁸ =~ 693745 分の 1。

白衣の主役を助けられて嬉しいです。私のルーレットのアドバイスは地球上のゲームに限られますが、あなたの惑星では賄賂が推奨されています。

指定した数字がちょうどx回当たる確率は、combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-xです。次の表は、0から6までのすべての当たりの確率と合計を示しています。

つまり答えは 0.00000177564555、つまり 563175 分の 1 です。インターネット カジノでこのようなことが起こらなかったことを祈ります。

先ほどのコイン投げ問題で使った正規近似をなぜ使わなかったのかと疑問に思うかもしれません。それは、確率が非常に高い場合や非常に低い場合には、正規近似がうまく機能しないからです。

私の戦略をうまく捉えていただきました。ハウスエッジに苦しめられないよう、1時間を通して最低ベット額に抑えるつもりでした。プロデューサーはそんな退屈な戦略に不満だったので、普段より興奮しているように見せかけました。均等額ではなく単一の数字を選んだのは、ボラティリティを重視したかったからです。最初の1万ドルに近い金額で終わってしまうと、おそらく負けてしまうだろうと思っていました。だから、もっと大きな利益を狙ったのです。ずっと23を賭け続けましたが、終盤には5も追加しました。番組を気に入っていただけて嬉しいです。

いいえ。ディーラーは基本的なことしか教えられておらず、そこまで高度な技術は教えられていません。実際、もしディーラーがそこまでのコントロール力を持っていたら、ボールが落ちる場所を予想して共犯者に賭けさせるだけで、簡単に何百万ドルも儲けることができるでしょう。

1回のスピンで負ける確率は1-(8/37) = 78.38%です。つまり、15回のスピンで負ける確率は0.7838 ¹⁵ = 2.59%です。

まず、どんなゲームでもテストしてはいけないということをお伝えします。プレイをすべて記録し、記録が終わったら何らかの異常値を探して、カジノが不正行為をしていると私に苦情を申し立てるべきではありません。正しい方法は、まずカジノがどのように不正行為をしているのかという仮説を立て、次にデータを収集し、最後にデータがその仮説に合致するかどうかを確認することです。どのような仮説を立てれば良いか分からない場合は、勝ち負けの数をテストし、毎回同じ金額を賭けることをお勧めします。最初の2つのステップを適切に実行できていて、3つ目のステップでサポートが必要な場合は、お気軽にご連絡ください。

あなたの例では、カジノのホールドは75%です。これは、プレイヤーが持ち帰るチップの価値とディーラーがボックスに入れる金額の比率です。過去の平均値はありますが、ハウスエッジからホールドを導き出す方法はありません。ホールドはプレイヤーがチップをどれだけ長く使い続けるかに一部依存しますが、それを知る方法はありません。

お褒めいただきありがとうございます。このような問題には公式があり、私のサイトwww.mathproblems.infoで解説しています。問題116をご覧ください。

資金がbユニット、勝利目標がgユニット、勝利確率がp、敗北確率がqの場合、成功確率は((q/p) ^b -1)/((q/p) ^b+g -1)となります。この場合、b=20、p=18/37、q=19/37、g=20、50、100となります。つまり、資金が200ドルの場合、成功確率は((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁴⁰ -1) = 0.253252となります。

勝利目標が 500 ドルの場合、確率は ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ⁷⁰ -1) = 0.045293 です。

優勝目標額が 1,000 ドルの場合、確率は ((19/18) ²⁰ -1)/((19/18) ¹²⁰ -1) = 0.002969 となります。

過去のスピンがどうだったかは関係ありません。赤23が3回連続で出る確率は(1/38) ³ = 54,872分の1です。

12回のスピンで3組のペアと6組のシングルトンが出る確率は、 combin (38,3) × combin(35,6) × combin(12,2) × combin(10,2) × combin(8,2) × fact(6)/38 ¹² = 9.04%です。合計20回のスピンで12回のスピン期間にこれが起こる確率を問うとなると、計算はかなり複雑になります。9%を大きく上回り、確率は低いと言えるでしょう。ですから、これは私にとってごく普通の結果のように思えます。

指定された数字のハウスエッジはちょうど 0% になります。

勝率は(18/38) ³ = 10.63%です。ハウスエッジは8×0.1063 - 1×0.8937 = 4.34%で、これは他のすべてのベットの5.26%よりも低い値です（ただし、恐ろしい0、00、1、2、3の組み合わせは7.89%です）。

他の読者のために補足すると、ヨーロッパの多くのカジノでは、ルーレットでイーブンマネーベットをし、ボールがゼロに落ちた場合、賭け金は没収されます。次のロールで賭け金が勝ちになった場合、賞金は支払われず、賭け金は返還されます。ボールが逆方向に落ちた場合は、賭け金は負けとなります。

ボールがゼロに落ちた場合、シングル・インプリズメント・ベットはどうなるでしょうか？カジノがシングル・インプリズメントしか認めていない場合、負けとなります。しかし、一部のカジノではダブル・インプリズメントを認めており、その場合どうなるでしょうか。ダブル・インプリズメント・ベットが勝った場合、シングル・インプリズメントに戻ります。カジノがダブル・インプリズメントまでしか認めていない場合、ダブル・インプリズメント・ベットはゼロがまた出たところで負けとなります。同じ論理で、カジノがトリプル・インプリズメントを認めている場合、ダブル・インプリズメント・ベットはゼロがまた出たところでトリプル・インプリズメントになります。

トリプル・インプリズンメントのハウスエッジは1.370120%です。この算出方法を説明する前に、まずシングル・インプリズンメントとダブル・インプリズンメントを見てみましょう。最初の賭けは赤だと仮定します。

Z = ゼロの確率 = 1/37 とします。
R = 赤い数字の確率 = 18/37 とします。

単身拘禁

pr(プッシュ) = ZR = 0.0131482834。
pr(勝利) = R = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5003652301。
期待値 = pr(勝ち) - pr(負け) = -0.0138787436。

二重の懲役

最初のスピンがゼロの場合、プレイヤーはプッシュします。その後、プレイヤーはZRを0から無限回繰り返し、最後に赤が出ます。つまり、プッシュする方法は以下のとおりです。

ZR、Z(ZR)R、Z(ZR)(ZR)R、Z(ZR)(ZR)(ZR)R、...

pr(プッシュ) = 0.013323464
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001900494。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137035629。

三重の懲役

まず、シングル・インプリゾンド・ベットがゼロを2つ追加してトリプル・インプリゾンドになり、最終的に再びシングル・インプリゾンドに戻る確率 p ₁を求めましょう。これは以下のように起こります。

ZZRR、ZZ(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)RR、ZZ(RZ)(RZ)(RZ)RR、...

言い換えれば、賭けは三重懲役と二重懲役の間を無限に繰り返すことができるということです。

次に、p ₂を、単一の投獄された賭けが第 1 レベルまたは第 2 レベルの投獄に到達し、その後単一の投獄に戻る確率とします。

p ₂ = ZR + p ₁ = 0.013323464とします。

プレイヤーは最初のレベルに戻ることをゼロから無限回繰り返すことができます。したがって、プッシュの確率は次のようになります。

ZR + Z p ₂ R + Z p ₂ p ₂ R + Z p ₂ p ₂ p ₂ R + ... =

Z × (1/(1- p ₂ )) × R = 0.013325830 です。

pr(プッシュ) = 0.013325830。
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001876839。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137011974。

無限の投獄

マフ、君が尋ねたわけではないが、スペインでは無限の投獄が認められていると聞いた。pを押される確率としよう。これは、投獄レベルxから始まり、さらに下がっていき、最終的にxまで戻る確率でもある。

p = ZR + ZpR + ZppR + ZpppR + ...

p ² - p + ZR = 0

二次方程式の公式により、p = (1-(1-4*RZ) ^1/2 )/2 = 0.0133258620 となります。

pr(プッシュ) = 0.0133258620。
pr(win) = 18/37 = 0.4864864865。
pr(損失) = 1-pr(プッシュ)-pr(勝ち) = 0.5001876515。
期待値 = pr(勝ち)-pr(負け) = -0.0137011650。

ゼロは投獄を無視した

最後に、一部のカジノでは、最初のゼロの後に賭け金を確定させるゼロは無視されます。この場合、プッシュの確率は単純に(1/37)×(1/2) = 0.0135135135となります。

次の表は、 4 種類のルールすべてをまとめたものです。

数学的なご助力をいただいたChesterDog氏とweaselman氏に感謝申し上げます。また、上記の合計式のHTMLを提供してくださったG. Artico教授とpolarprof.it氏にも感謝申し上げます。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

ホイールはバランスが取れているべきだという考えです。言い換えれば、ホイール上の連続した数字のセクションの平均を取ると、平均数である18.5に近くなるということです。ダブルゼロホイールにおける数字の分布を説明する方法を、私は次のように考えました。

• 00 を 12:00 の位置に、0 を 6:00 の位置に配置します。
• ホイールの上部にある数字は 13、1、00、27、10*、25 です。これは覚えておく必要があります。
• すべての低い奇数 (1 から 17) は左側にあり、高い奇数 (19 から 35) は右側にあります。
• 1 と 13 から始めて、反時計回りに 4 つの位置を移動して次の奇数を取得しますが、ゼロを通過しないでください。
• ルール4の例外として、19は17から反時計回りに4つ離れた位置に置かないでください。19は高い奇数であり、右側に位置するためです。代わりに、ルール4で規定されていない唯一の低い奇数である11を置きます。
• すべての偶数はホイールの真向かいにあり、前の奇数から 180 度離れています。

シングルゼロホイールの順序を説明するのは難しいのですが、とりあえず言えるのは、ゼロを12時の位置に置いた場合、次のようになります。

• 左側には、すべて赤い低い数字と黒い高い数字が表示されます。
• 右側には、すべて赤い高い数字と黒い低い数字が表示されます。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

ボールが 1 から 12 の間に着地する回数は、3000*(12/38) = 947.37 になると予想されます。

結果と期待値の差は 947.37 - 742 = 205.37 です。

分散は3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20です。

標準偏差は分散の平方根 = sqrt(648.20) = 25.46 です。

結果は、予想より 205.37/25.46 = 11.75 標準偏差分南になります。

p 値、つまり 11.75 標準偏差以上ずれる確率は、28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 分の 1 です。

車輪がどこにあるか知りたいです。

このシステムの目的は、ほとんどの数字をカバーすることなので、ルーレットをプレイする上でかなり低リスクな方法であることは容易に理解できます。各スピンに賭ける金額は次のとおりです。

• 3、16、24、28、33 はそれぞれ 5 ドル。
• 次の数字セットのそれぞれにコーナーベットをします: 2/3/5/6、7/8/10/11、14/15/17/18、19/20/22/23、26/27/29/30、31/32/34/35。

ただし、0、00、4、9、12、13、21、25、36 の 9 つの数字は対象外となることに注意してください。

次のリターン テーブルは、すべての可能な結果の確率とリターンへの寄与を示しています。

右下のセルは、1スピンあたりの予想損失額が$9.21であることを示しています。1スピンあたりの賭け金の合計は$175です。したがって、ハウスエッジは$9.21/$175 = 5.26%となり、これはダブルゼロルーレットのハウスエッジと同じです。

この戦略、あるいは他のルーレット戦略では、おそらくコンプで返ってくる金額よりも損失の方が大きくなるでしょう。経験則として、カジノは予想損失の約3分の1をコンプとして返還します。予想損失を実際よりも大きく見せかけてカジノを騙す方法はありますが、この戦略を使うのはそのような方法ではありません。

3列目の賭けの条件付きアドバンテージは、ボールが赤に落ち、両方のゼロを無視した場合、33.3%であることには同意します。しかし、同じ論理で、ボールが黒に落ちた場合、3列目の賭けが勝つ確率は4/18 = 2/9です。勝率2/9で配当が2倍の賭けの場合、ハウスアドバンテージは33.33%になります。つまり、あなたの考え方では、3列目の賭けは、プレイヤーアドバンテージが半分の確率で33.33%、ハウスエッジが残りの半分の確率で33.33%になります。これらを相殺すると、この賭けのハウスエッジは0%になります。最後に、2つのゼロを加えると、プレイヤーエッジは全体で(2/38)*-100% + (36/38)*0% = -5.26%となります。

別の見方をすると、以下の表は、起こり得るすべての結果の起こり方の数、確率、獲得ユニット数、そしてリターンへの寄与を示しています。右下のセルは、期待損失が-0.105263ユニットであることを示しています。これを賭け金2ユニットで割ると、ハウスエッジは5.26%になります。

これが私の解決策です（PDF）。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

はい、そのようなホイールはTCS John Huxley社から販売されています。今のところ、在庫状況は把握していません。

標準的なルーレットにおけるハウスエッジの計算式はz/(36+z)です。ここで、zはゼロの数です。この場合、ハウスエッジは4/(36+4) = 4/40 = 1/10 = 10%となります。