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マルチカードキノの分散
概要
この記事では、マルチカードキノにおける分散について考察します。多くのビデオキノゲームでは、プレイヤーは同時に4枚のカードをプレイできますが、中には最大20枚のカードでプレイできるものもあります。プレイヤーは、自分のカードに共通する数字の数によってゲームの分散をコントロールできます。同じ数字のカードが多いほど、分散は大きくなります。
数学の復習
させて：
E(x) = ランダム変数Xの期待値。Cov(x) = 任意の 2 枚のカード間の共分散。
1枚のカードの分散は次のように表すことができます。
変数(x)=E(x^2)-(E(x)) 2
2枚のカードに同じ数字が複数ある場合、各ゲームの結果は相関関係にあります。通常、この相関関係は共分散によって測定されます。2つの確率変数xとyの間の共分散の一般的な式は次のとおりです。
相関係数(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)
任意の 2 枚のカード間で共通する数字が同じである場合、n 枚のカードの合計分散は次のようになります。
合計共分散 = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)
3つの共通番号を持つ6を選ぶ
まず、典型的な3、4、68、1500の配当表における1枚のカードの分散を調べてみましょう。以下の表は、あらゆる結果における期待勝利額と勝利額の2乗を示しています。
ピックシックスキノリターンテーブル
| キャッチ | 支払う | 確率 | 期待される 勝つ | 期待される 勝利^2 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.166602 | 0.000000 | 0.000000 |
| 1 | 0 | 0.363495 | 0.000000 | 0.000000 |
| 2 | 0 | 0.308321 | 0.000000 | 0.000000 |
| 3 | 3 | 0.129820 | 0.389459 | 1.168376 |
| 4 | 4 | 0.028538 | 0.114152 | 0.456607 |
| 5 | 68 | 0.003096 | 0.210503 | 14.314233 |
| 6 | 1500 | 0.000129 | 0.193477 | 290.216113 |
| 合計 | 1.000000 | 0.907591 | 306.155328 |
一番下の行は、期待収益が0.907591で、期待勝利額の二乗が306.155328であることを示しています。したがって、分散は306.155328 - 0.907591 2 = 305.331607となります。
次に、プレイヤーが6つの数字を選び、そのうち3つはすべてのカードで共通で、残りの3つは各カードで異なる数字である場合を詳しく見てみましょう。例えば、4枚のカードを使ったゲームでは、次のような数字を選ぶかもしれません。
- カードA: 1,2,3,5,10,15
- カードB: 1,2,3,20,25,30
- カードC: 1,2,3,35,40,45
- カードD: 1,2,3,50,55,60
次の表は、6つの数字のうち3つが共通する2枚のカードAとBの、キャッチ回数の49通りの組み合わせの確率を示しています。左の列はカードAのキャッチ回数、上段はカードBのキャッチ回数です。
複合確率表 - 共通する3つの数字を含む6を選ぶ
| キャッチ | キャッチ0 | キャッチ1 | キャッチ2 | キャッチ3 | キャッチ4 | キャッチ5 | キャッチ6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.063748 | 0.073555 | 0.026369 | 0.002930 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.166602 |
| 1 | 0.073555 | 0.152662 | 0.105475 | 0.029086 | 0.002717 | 0.000000 | 0.000000 | 0.363495 |
| 2 | 0.026369 | 0.105475 | 0.113626 | 0.051596 | 0.010479 | 0.000776 | 0.000000 | 0.308321 |
| 3 | 0.002930 | 0.029086 | 0.051596 | 0.034435 | 0.010316 | 0.001389 | 0.000068 | 0.129820 |
| 4 | 0.000000 | 0.002717 | 0.010479 | 0.010316 | 0.004216 | 0.000761 | 0.000049 | 0.028538 |
| 5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000776 | 0.001389 | 0.000761 | 0.000159 | 0.000011 | 0.003096 |
| 6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000068 | 0.000049 | 0.000011 | 0.000001 | 0.000129 |
| 合計 | 0.166602 | 0.363495 | 0.308321 | 0.129820 | 0.028538 | 0.003096 | 0.000129 | 1.000000 |
次の表は、両方のカード間の勝利の積を示しています。
勝利商品テーブル - 6つ選択
| キャッチ | キャッチ0 | キャッチ1 | キャッチ2 | キャッチ3 | キャッチ4 | キャッチ5 | キャッチ6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 9 | 12 | 204 | 4500 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 12 | 16 | 272 | 6000 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 204 | 272 | 4624 | 102000 |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 4500 | 6000 | 102000 | 2250000 |
次の表は、上記の2つの表を積算して、両カード間の勝利の期待積を算出したものです。右下のセルには、期待積が7.390131であることがわかります。
予想当選商品表 - 共通番号3つで6を選ぶ
| キャッチ | キャッチ0 | キャッチ1 | キャッチ2 | キャッチ3 | キャッチ4 | キャッチ5 | キャッチ6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
| 1 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
| 2 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 |
| 3 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.309916 | 0.123788 | 0.283363 | 0.306405 | 1.023472 |
| 4 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.123788 | 0.067463 | 0.206918 | 0.295839 | 0.694008 |
| 5 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.283363 | 0.206918 | 0.734216 | 1.108143 | 2.332641 |
| 6 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.306405 | 0.295839 | 1.108143 | 1.629623 | 3.340010 |
| 合計 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 1.023472 | 0.694008 | 2.332641 | 3.340010 | 7.390131 |
したがって、2 枚のカード間の共分散は 7.390131 - 0.907591 2 = 6.566409 となります。
次の表は、1 ～ 20 枚のカードをプレイした場合の分散と標準偏差を、すべてのカードの合計とカード 1 枚あたりの両方で示しています。
3つの共通番号を持つ6つを選ぶ -- 分散の概要
| カード | 合計 分散 | 分散 カード1枚あたり | 合計 標準偏差 | 標準偏差 カード1枚あたり |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 305.33 | 305.33 | 17.47 | 17.47 |
| 2 | 623.80 | 311.90 | 24.98 | 17.66 |
| 3 | 955.39 | 318.46 | 30.91 | 17.85 |
| 4 | 1300.12 | 325.03 | 36.06 | 18.03 |
| 5 | 1657.99 | 331.60 | 40.72 | 18.21 |
| 6 | 2028.98 | 338.16 | 45.04 | 18.39 |
| 7 | 2413.11 | 344.73 | 49.12 | 18.57 |
| 8 | 2810.37 | 351.30 | 53.01 | 18.74 |
| 9 | 3220.77 | 357.86 | 56.75 | 18.92 |
| 10 | 3644.29 | 364.43 | 60.37 | 19.09 |
| 11 | 4080.95 | 371.00 | 63.88 | 19.26 |
| 12 | 4530.75 | 377.56 | 67.31 | 19.43 |
| 13 | 4993.67 | 384.13 | 70.67 | 19.60 |
| 14 | 5469.73 | 390.69 | 73.96 | 19.77 |
| 15 | 5958.92 | 397.26 | 77.19 | 19.93 |
| 16 | 6461.24 | 403.83 | 80.38 | 20.10 |
| 17 | 6976.70 | 410.39 | 83.53 | 20.26 |
| 18 | 7505.29 | 416.96 | 86.63 | 20.42 |
| 19 | 8047.01 | 423.53 | 89.71 | 20.58 |
| 20 | 8601.87 | 430.09 | 92.75 | 20.74 |
5つの共通番号で10を選ぶ
次の表は、3-4-68-1500 ペイテーブルに基づくピック 10 キーノの予想勝利額と予想勝利額の二乗を示しています。
ピックテンキノリターンテーブル
| キャッチ | 支払う | 確率 | 期待される 勝つ | 期待される 勝利^2 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.045791 | 0.000000 | 0.000000 |
| 1 | 0 | 0.179571 | 0.000000 | 0.000000 |
| 2 | 0 | 0.295257 | 0.000000 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0.267402 | 0.000000 | 0.000000 |
| 4 | 0 | 0.147319 | 0.000000 | 0.000000 |
| 5 | 5 | 0.051428 | 0.257138 | 1.285692 |
| 6 | 23 | 0.011479 | 0.264026 | 6.072600 |
| 7 | 132 | 0.001611 | 0.212671 | 28.072557 |
| 8 | 1000 | 0.000135 | 0.135419 | 135.419355 |
| 9 | 4500 | 0.000006 | 0.027543 | 123.943139 |
| 10 | 10000 | 0.000000 | 0.001122 | 11.221190 |
| 合計 | 1.000000 | 0.897920 | 306.014533 |
一番下の行は、期待収益が0.897920、期待勝利額の二乗が306.014533であることを示しています。したがって、分散は306.014533 - 0.897920^2 = 305.208273となります。
かなり長い計算（ここでは省略）の後、共分散は 9.998613 になります。
次の表は、1 ～ 9 枚のカードをプレイした場合の分散と標準偏差を、すべてのカードの合計とカード 1 枚あたりの両方で示しています。
総分散と標準偏差 - 5つの共通する数字を10個選ぶ
| カード | 合計 分散 | 分散 カード1枚あたり | 合計 標準偏差 | 標準偏差 カード1枚あたり |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 305.21 | 305.21 | 17.47 | 17.47 |
| 2 | 630.41 | 315.21 | 25.11 | 17.75 |
| 3 | 975.62 | 325.21 | 31.23 | 18.03 |
| 4 | 1340.82 | 335.20 | 36.62 | 18.31 |
| 5 | 1726.01 | 345.20 | 41.55 | 18.58 |
| 6 | 2131.21 | 355.20 | 46.17 | 18.85 |
| 7 | 2556.40 | 365.20 | 50.56 | 19.11 |
| 8 | 3001.59 | 375.20 | 54.79 | 19.37 |
| 9 | 3466.77 | 385.20 | 58.88 | 19.63 |
| 10 | 3951.96 | 395.20 | 62.86 | 19.88 |
| 11 | 4457.14 | 405.19 | 66.76 | 20.13 |
| 12 | 4982.32 | 415.19 | 70.59 | 20.38 |
| 13 | 5527.49 | 425.19 | 74.35 | 20.62 |
| 14 | 6092.66 | 435.19 | 78.06 | 20.86 |
| 15 | 6677.83 | 445.19 | 81.72 | 21.10 |
3つの共通番号を持つ9を選ぶ
次の表は、1-6-44-300-4700-10000 のペイテーブルにおけるピック 9 キーノの予想勝利額と予想勝利額の二乗を示しています。
ピックテンキノリターンテーブル
| キャッチ | 支払う | 確率 | 期待される 勝つ | 期待される 勝利^2 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.063748 | 0.000000 | 0.000000 |
| 1 | 0 | 0.220666 | 0.000000 | 0.000000 |
| 2 | 0 | 0.316426 | 0.000000 | 0.000000 |
| 3 | 0 | 0.246109 | 0.000000 | 0.000000 |
| 4 | 1 | 0.114105 | 0.114105 | 0.114105 |
| 5 | 6 | 0.032601 | 0.195609 | 1.173653 |
| 6 | 44 | 0.005720 | 0.251661 | 11.073064 |
| 7 | 300 | 0.000592 | 0.177504 | 53.251057 |
| 8 | 4700 | 0.000033 | 0.153185 | 719.967331 |
| 9 | 10000 | 0.000001 | 0.007243 | 72.427678 |
| 合計 | 1.000000 | 0.899305 | 858.006889 |
一番下の行は、期待収益が0.899305、期待勝利額の二乗が858.006889であることを示しています。したがって、分散は858.006889 - 0.899305 2 = 857.198138となります。
かなり長い計算（ここでは省略）の後、共分散は 3.401478 になります。
次の表は、1 ～ 12 枚のカードをプレイした場合の分散と標準偏差を、すべてのカードの合計とカード 1 枚あたりの両方で示しています。
総分散と標準偏差 - 共通する3つの数字を持つ9を選ぶ
| カード | 合計 分散 | 分散 カード1枚あたり | 合計 標準偏差 | 標準偏差 カード1枚あたり |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 857.20 | 857.20 | 29.28 | 29.28 |
| 2 | 1721.20 | 860.60 | 41.49 | 29.34 |
| 3 | 2592.00 | 864.00 | 50.91 | 29.39 |
| 4 | 3469.61 | 867.40 | 58.90 | 29.45 |
| 5 | 4354.02 | 870.80 | 65.99 | 29.51 |
| 6 | 5245.23 | 874.21 | 72.42 | 29.57 |
| 7 | 6143.25 | 877.61 | 78.38 | 29.62 |
| 8 | 7048.07 | 881.01 | 83.95 | 29.68 |
| 9 | 7959.69 | 884.41 | 89.22 | 29.74 |
| 10 | 8878.11 | 887.81 | 94.22 | 29.80 |
| 11 | 9803.34 | 891.21 | 99.01 | 29.85 |
| 12 | 10735.37 | 894.61 | 103.61 | 29.91 |
6つの共通番号で9を選ぶ
共通番号が3つあるピック9の場合の、1枚のカードの期待リターン表は上記に示されています。ちなみに、分散は857.198138です。
かなり長い計算（ここでは省略）の後、6 つの共通番号を持つ 2 枚のピック 9 カードの共分散は 57.283444 になります。
次の表は、1 ～ 20 枚のカードをプレイした場合の分散と標準偏差を、すべてのカードの合計とカード 1 枚あたりの両方で示しています。
総分散と標準偏差 - 共通する6つの数字から9を選ぶ
| カード | 合計 分散 | 分散 カード1枚あたり | 合計 標準偏差 | 標準偏差 カード1枚あたり |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 857.20 | 857.20 | 29.28 | 29.28 |
| 2 | 1828.96 | 914.48 | 42.77 | 30.24 |
| 3 | 2915.30 | 971.77 | 53.99 | 31.17 |
| 4 | 4116.19 | 1029.05 | 64.16 | 32.08 |
| 5 | 5431.66 | 1086.33 | 73.70 | 32.96 |
| 6 | 6861.69 | 1143.62 | 82.84 | 33.82 |
| 7 | 8406.29 | 1200.90 | 91.69 | 34.65 |
| 8 | 10065.46 | 1258.18 | 100.33 | 35.47 |
| 9 | 11839.19 | 1315.47 | 108.81 | 36.27 |
| 10 | 13727.49 | 1372.75 | 117.16 | 37.05 |
| 11 | 15730.36 | 1430.03 | 125.42 | 37.82 |
| 12 | 17847.79 | 1487.32 | 133.60 | 38.57 |
| 13 | 20079.79 | 1544.60 | 141.70 | 39.30 |
| 14 | 22426.36 | 1601.88 | 149.75 | 40.02 |
| 15 | 24887.50 | 1659.17 | 157.76 | 40.73 |
| 16 | 27463.20 | 1716.45 | 165.72 | 41.43 |
| 17 | 30153.47 | 1773.73 | 173.65 | 42.12 |
| 18 | 32958.30 | 1831.02 | 181.54 | 42.79 |
| 19 | 35877.70 | 1888.30 | 189.41 | 43.45 |
| 20 | 38911.67 | 1945.58 | 197.26 | 44.11 |
まとめ
次の表は、上記のすべてのケースと、重複する数字のない 2 から 10 までのすべての選択回数に関する関連統計を示しています。
まとめ
| おすすめ | ペイテーブル | 重複 数字 | 分散 | 共分散 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 14 | 0 | 0.841772 | 11.076230 | -0.108155 |
| 3 | 2,45 | 0 | 0.901899 | 27.839208 | -0.205128 |
| 4 | 2,5,85 | 0 | 0.901899 | 23.251327 | -0.183044 |
| 5 | 3,11,804 | 0 | 0.901899 | 418.292207 | -0.441581 |
| 6 | 3,4,68,1500 | 0 | 0.903340 | 305.331607 | -0.376538 |
| 7 | 1,2,20,390,7000 | 0 | 0.908473 | 1310.087945 | -0.518283 |
| 8 | 2,12,98,1550,10000 | 0 | 0.906738 | 844.928926 | -0.603251 |
| 9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 0 | 0.899305 | 857.198138 | -0.609176 |
| 10 | 5,23,132,1000,4500,10000 | 0 | 0.897920 | 305.208273 | -0.631869 |
| 6 | 3,4,68,1500 | 3 | 0.903340 | 305.331607 | 6.566409 |
| 9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 3 | 0.899305 | 857.198138 | 3.401478 |
| 9 | 1,6,44,300,4700,10000 | 6 | 0.899305 | 857.198138 | 57.283444 |
| 10 | 5,23,132,1000,4500,10000 | 5 | 0.897920 | 305.208273 | 9.998613 |
例
これらはどのように役立つのでしょうか? 上記の情報が役立つ数学の問題の例を以下に示します。
ジョーは4カードキノを10,000回プレイします。毎回、4枚のカードの中から3つの数字を選び、残りの3つの数字はそれぞれ異なる数字です。ジョーは1枚につき1ドルを賭けます。配当表は3-4-68-1500です。ジョーの予想配当の95%信頼区間はいくらですか？
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[spoiler=解決策]
予想される勝利額は、10,000 × 4 × $1 × (0.907591-1) = -3,696.35 です。
上記の適切な表は、カード1枚あたりの分散が325.0308343であることを示しています。カードの総数が40,000枚の場合、総分散は40,000 × 325.0308343 = 13,001,233ドルとなります。
分散の平方根は標準偏差であり、sqrt($13,001,233) = $3,605.72 となります。
95%信頼区間は、両方向に1.959964標準偏差の範囲です。つまり、実際の勝利金は95%の確率で、期待値から1.959964 × $3,605.72 = $7,067.09の範囲内に収まることになります。
したがって、95% 信頼区間の下限は -$3,696.35 - $7,067.09 = -$10,763.44 となります。
95% 信頼区間の上限は -$3,696.35 + $7,067.09 = $3,370.73 です。
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