完璧なブラケットの確率

概要

3月によく聞かれる質問の一つに、「マーチ・マッドネスのブラケットを完全に埋める確率はどれくらいですか？」というものがあります。メディアでよく引用される統計は、9,223,372,036,854,780,000分の1です。これは、誰もやらないようなランダムな推測に基づいており、思わず背筋が凍ります。そこで今回は、バスケットボールについて何も知らなくても使える基本戦略と、その戦略で成功する可能性の概算をご紹介します。

ルール

トーナメントのルールは以下の通りです。既にルールをご存知の方は、この部分は飛ばしていただいて構いません。

トーナメントは実質的にシングルエリミネーション方式で、64チームからスタートします。完璧主義の読者の皆様のために、実際には68チームが参加し、そのうち8チームが4試合で対戦します。この4試合の勝者と残りの60チームを合わせた合計64チームとなり、通常はそこからトーナメント表の作成が始まります。

64チームは、北、南、西、東の4つのカンファレンスに分かれ、それぞれ16チームずつが所属します。各カンファレンスの各チームには1から16までの「シード」が与えられます。これはチームの実力を示すものですが、必ずしも完全なものではありません。次に、以下のことが起こります。

1 シードの 4 チームが 16 シードの 4 人と対戦します。
8 シードの 4 人が 9 シードの 4 人と対戦します。
5 シードの 4 チームが 12 シードの 4 人と対戦します。
4 位シードの 4 チームが 13 位シードの 4 人と対戦します。
6 シードの 4 チームが 11 シードの 4 人と対戦します。
3 シードの 4 チームが 14 シードの 4 人と対戦します。
2 シードの 4 チームが 15 シードの 4 人と対戦します。
7 シードの 4 チームが 10 シードの 4 人と対戦します。
ステップ1～8の試合終了後、64チームが32チームに絞り込まれます。
ルール 1 の勝者はルール 2 の勝者と対戦します。
ルール 3 の勝者は、ルール 4 の勝者と対戦します。
ルール 5 の勝者は、ルール 6 の勝者と対戦します。
ルール 7 の勝者は、ルール 8 の勝者と対戦します。
ステップ10～13の試合終了後、残りの32チームは16チームに絞り込まれます。
ルール 10 の勝者はルール 11 の勝者と対戦します。
ルール 12 の勝者はルール 13 の勝者と対戦します。
ステップ 15 と 16 の試合後、残りの 16 チームは 8 チームに絞り込まれます。
ルール 15 の勝者は、ルール 16 の勝者と対戦します。
ステップ 18 の試合後、残りの 8 チームが 4 チームに絞り込まれます。これにより、4 つの部門のそれぞれから 1 チームが優勝者となります。
トーナメントチームを選出する際に NCAA バスケットボール委員会によって決定された総合第 1 位のチームの地域大会の優勝者が、総合第 4 位のチームの地域大会の優勝者と対戦し、優勝者が進出します。
ルール 20 に記載されていない 2 つの地域の勝者同士が対戦し、勝者が進出します。
ステップ 20 と 21 の勝者が対戦し、勝者がトーナメントで優勝します。

64 チームになると、トーナメントの試合数は 32+16+8+4+2+1=63 になります。

基本戦略

常にシード順位が高い、またはシード番号が低いチームを選びましょう。例えば、シード1位のチームとシード16位のチームが4試合対戦する場合は、シード1位を選びましょう。シード1位のチームがシード16位のチームと対戦した136回のうち、シード1位のチームが135回勝利しています。2018年には、UMBC（優秀なチェスチームを擁する）がバージニア大学に勝利し、シード1位のチームがシード16位のチームに敗れた最初の試合となりました。

4 つの部門のそれぞれで第 1 シードのチームが優勝したら、残りの 3 つのゲームをランダムに選択します。

マッチアップ

以下の表は、不均衡な対戦の中で、少なくとも1回は行われたフェイスオフの数を示しています。これには、同順位のチーム同士が対戦した試合は含まれていません。右の列は、上位チームが勝利した確率を示しています。

不均衡な対戦結果

ハイアーシード	下位シード	プレイしたゲーム	上位シードが勝利	確率
1	2	67	36	0.537313
1	3	36	22	0.611111
1	4	64	47	0。734375
1	5	48	40	0.833333
1	6	13	10	0.769231
1	7	7	6	0.857143
1	8	75	60	0.800000
1	9	71	65	0.915493
1	10	6	5	0.833333
1	11	8	4	0.500000
1	12	20	20	1.000000
1	13	4	4	1.000000
1	16	144	143	0.993056
2	3	56	34	0.607143
2	4	7	3	0.428571
2	5	5	0	0.000000
2	6	30	23	0.766667
2	7	82	57	0.695122
2	8	7	2	0.285714
2	9	1	0	0.000000
2	10	52	34	0.653846
2	11	18	15	0.833333
2	12	2	2	1.000000
2	15	144	134	0.930556
3	4	7	4	0.571429
3	5	4	2	0.500000
3	6	75	45	0.600000
3	7	15	9	0.600000
3	8	2	2	1.000000
3	9	2	2	1.000000
3	10	12	8	0.666667
3	11	49	32	0.653061
3	14	144	122	0.847222
3	15	2	2	1.000000
4	5	75	42	0.560000
4	6	4	2	0.500000
4	7	5	2	0.400000
4	8	9	4	0.444444
4	9	3	2	0.666667
4	10	2	2	1.000000
4	12	39	26	0.666667
4	13	144	113	0.784722
5	6	1	1	1.000000
5	8	3	1	0.333333
5	9	3	1	0.333333
5	10	1	1	1.000000
5	12	144	93	0.645833
5	13	19	16	0.842105
6	7	9	6	0.666667
6	8	1	0	0.000000
6	10	7	4	0。571429
6	11	144	90	0.625000
6	14	15	13	0.866667
7	8	2	1	0.500000
7	10	144	87	0.604167
7	11	3	0	0.000000
7	14	1	1	1.000000
7	15	5	3	0.600000
8	9	144	74	0.513889
8	11	1	1	1.000000
8	12	2	0	0.000000
8	13	1	1	1.000000
8	16	1	0	0.000000
9	11	1	0	0.000000
9	13	1	1	1.000000
10	11	3	1	0.333333
10	14	1	1	1.000000
10	15	5	5	1.000000
11	14	7	6	0.857143
12	13	12	9	0.750000

分析

完璧なブラケットになる確率を分析するために私が使用した方法は、あるシードが別のシードに勝利した過去の経験を見ることでした。たとえば、第4シードが第5シードに勝つ確率です。この記事の執筆時点では、1985年から2021年までの36年間のデータがあり、そのような対戦は75回発生し、そのうち第4シードが42回勝利しているため、確率は56%です。これはまともな方法ですが、サンプルサイズが小さいという問題があります。2つのシード番号に従って、特定のゲームでより高いシードのチームが勝つ確率を取得するより良い方法は、1985年から2021年までの36年間に行われた2,268のトーナメントゲームすべてを見ることだと私は考えています。そうすることで、データの浮き沈みを平滑化し、より正確な推定を行うことができました。私がどのようにそれをしたかについては、 March Madnessのページでさらに詳しく説明しています。

以下の表は、プレイヤーが毎試合上位シードのチームを選んだ場合、上位シードのチームが勝利に必要なあらゆる対戦で勝利する確率を示しています。第1シードのチームが第1シードのチームと対戦する場合、どの試合でも勝利する確率は50%と仮定しています。「旧手法」の確率は、過去の経験に基づいた正確な確率です。「新手法」は、データを平滑化することで、特定のシードの強さをより正確に把握する独自の手法に基づいています。

優勝候補の確率

ラウンド	イベント	プレイしたゲーム	確率古い方法	確率新しい方法
1	1は16に勝つ	4	0.993056	0.993049
1	2拍15	4	0.930556	0.933458
1	3ビート14	4	0.847222	0.887485
1	4ビート13	4	0.784722	0.832170
1	5は12を打つ	4	0.645833	0.768372
1	6ビート11	4	0.625000	0.697340
1	7は10を打つ	4	0.604167	0.620749
1	8ビート9	4	0.513889	0.540650
2	1は8に勝つ	4	0.800000	0.792047
2	4ビート5	4	0.560000	0.540873
2	3ビート6	4	0.600000	0.622246
2	2ビート7	4	0.695122	0.702952
3	1は4に勝つ	4	0.734375	0.668944
3	2ビート3	4	0.607143	0.551538
4	1が2に勝つ	4	0.537313	0.578959
5	1が1に勝つ	2	0.500000	0.500000
6	1が1に勝つ	1	0.500000	0.500000

話を進める前に、pr(x) = 事象xが起こる確率という表記法を使いましょう。例えば、pr(サイコロを2つ振って合計が7になる確率) = 1/6 です。

トーナメントには 4 つの部門があるため、最初の 4 ラウンドでは、プレイヤーは特定の対戦で 4 回勝利する必要があることに注意してください。

第 1 ラウンドの 32 ゲームすべてに勝利して第 2 ラウンドに進む確率は次のとおりです: [pr(1 シードが 16 シードに勝つ)*pr(2 シードが 15 シードに勝つ)*pr(3 シードが 14 シードに勝つ)*pr(4 シードが 13 シードに勝つ)*pr(5 シードが 12 シードに勝つ)*pr(6 シードが 11 シードに勝つ)*pr(7 シードが 10 シードに勝つ)*pr(8 シードが 9 シードに勝つ)]^4。

新しい方法では、第 2 ラウンドまで生き残る確率は 4,354 分の 1 になります。

第2ラウンドでは、プレイヤーは16ゲームを勝ち抜く必要があります。第1ラウンドを勝ち抜いたと仮定すると、第2ラウンドを勝ち抜く確率は[pr(第1シードが第8シードに勝つ)*pr(第2シードが第7シードに勝つ)*pr(第3シードが第6シードに勝つ)*pr(第4シードが第5シードに勝つ)]^4となります。この確率は、新しい方法を用いると811分の1となります。第1ラウンドと第2ラウンドの両方を勝ち抜く確率は3,531,138分の1です。

第3ラウンドでは、プレイヤーは8ゲーム勝ち抜く必要があります。第1ラウンドと第2ラウンドを勝ち抜いたと仮定すると、第3ラウンドを勝ち抜く確率は[pr(第1シードが第4シードに勝つ)*pr(第2シードが第3シードに勝つ)]^4となります。この確率は、新しい方法を用いると54分の1になります。開始からこの時点で勝ち抜く確率は、約1億9000万分の1です。

第4ラウンドでは、プレイヤーは4試合に勝利しなければなりません。これらはすべて、1シード対1シードの試合です。各試合の勝率を50%と仮定しましょう。4試合すべてに勝つ確率は(1/2)^4 = 16分の1です。最初からこの時点まで生き残る確率は約17億分の1です。

第5ラウンドでは、プレイヤーは2試合に勝利しなければなりません。これらはすべて、1シード対1シードの試合です。ここでも、各試合の勝率は50%と仮定しましょう。両方の試合に勝つ確率は(1/2)^2 = 4分の1です。この時点で、最初から生き残る確率は約68億分の1です。

選手はまだあと1試合、決勝戦に勝たなければなりません。ここまで勝ち進めば、再び1シード対1シードの対戦となります。ここでも勝率を50%と仮定しましょう。すると、完璧な組み合わせの場合、決勝戦を勝ち抜く確率は約136億分の1になります。

ちなみに、古い方法を使用すると、完璧なブラケットの確率は 567 億分の 1 になります。

ウォーレン・バフェット賞

ウォーレン・バフェット氏は、従業員のうち、条件を完璧に満たした者には、生涯にわたって年間100万ドルを支払うと発表しました。ウォーレン氏の従業員数は約37万7000人です（出典）。従業員全員が上記の戦略に従い、60歳まで生きたと仮定すると、従業員1人あたりの期待価値は0.4セント、従業員全体にかかるバフェット氏の期待コストは1667ドルとなります。

私の戦略に従って、パーフェクトブラケットの栄光を他の人と共有したくないのであれば、8シードに勝つために9シードの選手を1～2人選ぶことをお勧めします。9シードが8シードに勝つ確率は47.8%なので、パーフェクトブラケットの栄光を独り占めするチャンスを高めるための小さな犠牲と言えるでしょう。