NFLの新データ

今週は、2022年シーズンを通してのNFLの一般的な賭け方に関する分析を更新しました。このトピックに興味がない場合は、今週の新しいパズルをご覧ください。

最近、2015年から2022年シーズンのNFLデータを入手しました。私のウェブサイトと書籍では、以前は2017年シーズンまでしか扱っていませんでした。1,889試合を分析した上で、以下の分析結果を提示します。期待値に関するコメントは、11試合に10勝を賭けた場合に基づいています。

ホームチーム対ビジターチームのスプレッド対策

調査期間中、ホームチームがスプレッドを上回った試合は880試合、ビジターチームがスプレッドを上回った試合は953試合、スプレッドと全く同じ結果になった試合は56試合でした。成立したベットのうち、ホームチームの勝率は48.0%、ビジターチームの勝率は52.0%でした。フラットベットでは、ホームチームで8.3%、ビジターチームで0.7%の損失が発生していたでしょう。

この差は意外でした。そこで少し調べてみたところ、平均するとホームチームの得点はわずか1.64点しか多くないことがわかりました。よく耳にする「経験則」では、ホームフィールドアドバンテージは3点の価値があるとされています。しかし、ベッターはホームフィールドアドバンテージを過大評価し、逆に価値を生み出しているのではないかと推測します。

スプレッドに対するアンダードッグ対フェイバリット

調査対象となった8シーズンでは、ポイントスプレッドがゼロではない場合、アンダードッグがスプレッドを上回ったのは898回、フェイバリットがスプレッドをカバーしたのが879回、試合がスプレッドと完全に一致したのは56回でした。プッシュを除くと、アンダードッグの勝率は50.5%、フェイバリットの勝率は49.5%でした。つまり、アンダードッグで3.5%、フェイバリットで5.6%の損失となります。

私は常に、勝ち目のないチームに賭けるのを信条としてきました。これは今でも変わりませんが、1%という差は予想していたよりも小さいです。

合計に対するオーバー対アンダー。

8シーズン、963試合のうち、アンダーが963勝、オーバーが909勝、ラインが的中したのは17回でした。アンダーの勝率は51.4%でした。予想損失率は、アンダーで1.8%、オーバーで7.3%でした。

マネーライン

6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">マネーラインベットでは、アンダードッグが少なくとも同額の配当を支払った場合、両方の側を調べました。そのため、-115/-105 のようなマネーラインはカウントされませんでした。アンダードッグに賭けるかフェイバリットに賭けるかに関係なく、すべてのベットは 1 ユニットでした。つまり、全体的な損失はアンダードッグで 0.9%、フェイバリットで 5.6% でした。

2024年9月19日 パズル問題

邪悪な看守が 100 人の囚人を集め、それぞれに 1 から 100 までの固有の番号を付けます。

別の部屋には、番号の付いた箱が100個あります。看守は1から100までの番号が付けられた紙片を取り出し、箱ごとに1枚ずつ、ランダムに箱の中に入れます。

翌日、囚人は一人ずつ箱室に入ることが許可されます。各囚人は50個の箱を開けることができます。もし囚人が自分の番号の箱を見つけた場合（例えば、23番の囚人が23の数字が書かれた箱を見つけた場合）、彼は「成功」となり、50個目の箱を開ける前に見つければ、早く退出できます。退出は入口とは別のドアから行います。

100人の囚人全員が成功すれば、全員が釈放されます。しかし、1人でも失敗した場合は、全員が直ちに死刑に処されます。

囚人たちは1日を共に過ごし、戦略を練ることが許されます。最初の囚人が箱の部屋に入った後は、それ以上の意思疎通は禁止されます。意思疎通の例としては、書類を移動させたり、蓋を開けたままにしたりすることなどが挙げられますが、これらに限定されるものではありません。もし意思疎通が発覚した場合、すべての囚人は即座に、そして苦痛を伴う死刑に処されます。

彼らが解放される可能性を最大化する戦略は何でしょうか、そしてその確率はどれくらいでしょうか?

2024年9月19日 パズルの答え

ウィザードコラム#369でこのパズルを出したことは認めます。しかし、自分の答えに満足していません。そこで、もっと簡単な説明を試してみたいと思います。

まず、100個の箱はいくつかの閉ループで構成されていることを認識しましょう。閉ループとは何でしょうか？それは、元の箱に戻る一連の箱のことです。例えば、箱17が箱79に、箱79が箱5に、箱5が箱17に繋がっている場合、これら3つの箱は閉ループを形成します。

各囚人の戦略は、自分の番号に対応する箱を開けることです。箱の中の紙を読み、その紙の上にある箱を開けます。もし50回開けるという制限がなければ、囚人は最終的に自分の番号が書かれた箱を開けるでしょう。なぜなら、自分の番号が書かれた箱を選ぶことで、少なくとも自分の番号を含む閉ループ上にいるからです。

しかし、これは成功を保証するものではありません。51以上のサイズの閉ループが存在する可能性は十分にあります。その場合、その閉ループ内の囚人は誰も自分の番号を見つけるのに十分な空きスペースを持っていません。

次に、サイズ 100 の閉ループが存在する場合の数を見つけましょう。最初のボックスの場合、ボックスの番号と一致しない数字が 99 個あり、閉ループは 1 になります。2 番目のボックスの場合、1 番目または 2 番目のボックスの番号と一致しない数字が 98 個あり、閉ループは 2 になります。3 番目のボックスの場合、最初の 3 つのボックスの番号と一致しない数字が 97 個あり、閉ループは 3 になります。このロジックを拡張すると、100 の閉ループが存在する方法は 99*98*97 * … * 1 = 99! 通りあります。100 枚の紙を並べる順序は 100! 通りあります。100 の閉ループの確率は、成功する組み合わせの数をすべての組み合わせの数で割ったものです。これは、99!/100! = 1/100 です。

次に、99の閉ループを形成する方法の数を求めましょう。1の閉ループを形成する、もう1つの箱がそれ自身につながる場合、その組み合わせは100通りあります。では、残りの99個の箱が99の閉ループを形成する場合、その組み合わせの順序は何通りあるでしょうか？上記の100個の箱の論理に従うと、99の閉ループを形成する順列の数は98!です。99の閉ループと1の閉ループの組み合わせの数は100*98!です。これを合計の組み合わせ数100!で割ると、1/99となります。

次に、98の閉ループを構成する組み合わせの数を求めましょう。98の閉ループに含まれない100個の箱から2個を選ぶ場合、順序に関してpermut(100,2)=100!/98! = 9900通りの可能性があります。では、残りの98個の箱で98の閉ループを構成する組み合わせの順序は何通りあるでしょうか？上記の99個と100個の箱の論理を用いると、98の閉ループを構成する組み合わせの数は97!通りです。98の閉ループと、残りの2個の箱を並べるすべての組み合わせの順列の数は100*99*97!通りです。したがって、98の閉ループを構成する確率は100*99*97!/100! = 1/98となります。

この論理を51の閉ループに拡張すると、51から99の閉ループの確率は1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 =約68.82%となります。もう1つの可能性は成功、つまり51以上の閉ループが存在しない、つまりすべての囚人が自分の番号を見つけるというものです。その確率は31.18%です。

やや大まかな近似値を得る簡単な方法は、オイラー定数（オイラー数と混同しないように注意）を使うことです。c = オイラー定数 =~ 0.577216 とします。関連する式は以下のようになります。

6; フォント ファミリ: 'Open Sans'、サンセリフ; 色: #313131 !重要; ">1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c.

この問題の場合、51から100までの閉ループの確率は1/51 + 1/52 + … + 1/100でした。これは次のように表すことができます。

(1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100) – (1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50)

上記の近似式を使用すると、これはおおよそ…

(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417。この代替確率は成功確率で、0.306853 = 30.69%となります。実際の確率は31.18%でした。したがって、近似値は0.50%の誤差があります。

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2024年9月26日 パズル問題

懐中電灯と電池が8個あります。この電池を使うには、2個の正常な電池が必要です。8個のうち4個は正常に動作し、4個は正常に動作しません。見た目では良品と不良品を見分けることはできません。どうすれば、最大7回試行して懐中電灯を点灯させることができるでしょうか？