NFLの新データ
今週は、2022年シーズンまでのNFLの一般的な賭けに関する分析を更新します。このトピックに興味がない方は、今週の新しいパズルが掲載されている最後のページをご覧ください。
最近、2015年から2022年までのNFLのデータを入手しました。私のウェブサイトと書籍はこれまで2017年シーズンまでしか掲載していませんでした。1,889試合を分析した結果、以下の分析結果を発表します。期待値に関するコメントは、11勝10敗を賭けた場合に基づいています。
ホームチーム対ビジターチームのハンディキャップ
調査期間中、ホームチームがスプレッドを上回った試合は880試合、ビジターチームが上回った試合は953試合、スプレッドと完全に一致した試合は56試合でした。確定した賭けのうち、ホームチームが48.0%、ビジターチームが52.0%の勝率でした。フラットベッティングを行った場合、ホームチームでは8.3%、ビジターチームでは0.7%の損失となりました。
この差はかなり意外でした。そこで少し調べてみたところ、平均するとホームチームの得点差はわずか1.64点でした。よく耳にする「経験則」では、ホームアドバンテージは3点分の価値があるとされています。おそらく賭けをする人々はホームアドバンテージを過大評価し、逆方向に価値を生み出しているのでしょう。
アンダードッグ対フェイバリット（スプレッド込み）
非ゼロのポイントスプレッドが設定された8シーズンを分析した結果、アンダードッグがスプレッドを上回ったのは898回、フェイバリットがスプレッドをカバーしたのは879回、そして試合結果がスプレッドと完全に一致したのは56回でした。引き分けを除くと、アンダードッグの勝率は50.5%、フェイバリットの勝率は49.5%となります。これは、アンダードッグの損失が3.5%、フェイバリットの損失が5.6%に相当します。
私はこれまでずっと、弱者を応援する賭け方をしてきた。それは今も変わらないが、1％という差は予想よりも小さい。
合計得点に対するオーバー対アンダー。
8シーズン、963試合において、アンダーが963回、オーバーが909回勝ち、オッズが17回で完全に的中しました。アンダーは、解決された賭けの51.4%で勝利しました。予想損失は、アンダーで1.8%、オーバーで7.3%でした。
マネーライン
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">マネーラインベットについては、アンダードッグが少なくともイーブンマネーを支払う場合、両方のサイドを調べました。したがって、-115/-105 のようなマネーラインはカウントされませんでした。アンダードッグに賭けるかフェイバリットに賭けるかにかかわらず、すべてのベットは 1 ユニットでした。そうすると、全体的な損失はアンダードッグで 0.9%、フェイバリットで 5.6% でした。2024年9月19日 パズル問題
邪悪な刑務所長が100人の囚人を集め、それぞれに1から100までの固有の番号を割り当てた。
別の部屋には、番号の振られた100個の箱がある。看守は1から100までの番号が振られた紙片を取り出し、箱ごとに1枚ずつ、ランダムに箱の中に入れていく。
翌日、囚人たちは一人ずつ箱の部屋に入ることが許される。各囚人は50個の箱を開けることができる。囚人が自分の番号の箱を見つけた場合（例えば、囚人23番が番号23が入った箱を見つけた場合）、その囚人は「成功」となり、50個目の箱を開ける前に見つけた場合は早期に退室できる。退室は入口とは別のドアから行う。
囚人100人全員が成功すれば、全員が釈放される。しかし、1人でも失敗した場合は、全員が即座に処刑される。
囚人たちは戦略を練るために一日を共に過ごすことが許される。最初の囚人が箱の部屋に入った後は、一切の意思疎通は許されない。意思疎通の例としては、書類を動かしたり、蓋を開けたままにしたりすることなどが挙げられるが、これらに限定されない。意思疎通が発覚した場合、囚人全員は即座に苦痛を伴う死刑に処される。
彼らが釈放される確率を最大化する戦略は何であり、その確率はどれくらいか？
2024年9月19日 パズル解答
ウィザードコラム第369回でこのパズルを出したことは認めます。しかし、自分の答えに満足していません。ここでは、より分かりやすい説明を試みたいと思います。
まず、100個の箱はいくつもの閉じたループで構成されていることを認識してください。閉じたループとは何でしょうか？それは、元の箱に戻る一連の箱のことです。例えば、箱17が箱79につながり、箱79が箱5につながり、箱5が箱17につながる場合、これら3つの箱は閉じたループを形成します。
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">各囚人の戦略は、自分の番号に対応する箱を開けることです。彼は箱の中の紙を読み、その紙の上にある箱を開けます。もし50回開けるという制限がなければ、囚人は最終的に自分の番号が入っている箱を開けるでしょう。これは、自分の番号が入っている箱を選ぶことで、少なくとも自分の番号が入っている閉じたループ上にいることになるからです。しかし、これは成功を保証するものではありません。51以上のサイズの閉ループが発生する可能性は十分にあります。そうなると、その閉ループ内の囚人は、自分の番号を見つけるのに十分な数の開口部を見つけることができません。
次に、サイズ 100 の閉じたループが存在する方法の数を調べてみましょう。最初の箱には、箱の番号と一致しない可能性のある数字が 99 個あり、閉じたループは 1 になります。2 番目の箱には、最初の箱または 2 番目の箱の番号と一致しない数字が 98 個あり、閉じたループは 2 になります。3 番目の箱には、最初の 3 つの箱の番号と一致しない数字が 97 個あり、閉じたループは 3 になります。このロジックを拡張すると、閉じたループが 100 になる方法は 99 * 98 * 97 * … * 1 = 99! 通りあります。100 枚の紙を並べる方法は 100! 通りあります。閉じたループが 100 になる確率は、成功する組み合わせの数をすべての組み合わせの数で割ったものです。これは 99!/100! = 1/100 です。
次に、99 の閉じたループを作る方法の数を調べてみましょう。もう 1 つのボックスがそれ自身につながり、1 の閉じたループを形成する可能性は 100 通りあります。では、残りの 99 個のボックスで 99 の閉じたループを形成する順序は何通りありますか? 上記の 100 個のボックスの論理により、99 の閉じたループの順列の数は 98! です。99 の閉じたループと 1 の閉じたループの組み合わせの数は 100*98! です。これを組み合わせの総数である 100! で割ると、1/99 になります。
次に、98 の閉じたループを作る方法の数を調べてみましょう。順序に関して、98 の閉じたループに含まれない 100 個の箱から 2 個の箱を選ぶ可能性は permut(100,2)=100!/98! = 9900 通りあります。次に、残りの 98 個の箱で 98 の閉じたループを作る順序は何通りありますか? 上記の 99 個と 100 個の箱の論理により、98 の閉じたループの順列の数は 97! です。98 の閉じたループと残りの 2 個のすべての順序付けの順列の数は 100*99*97! です。したがって、98 の閉じたループの確率は 100*99*97!/100! = 1/98 です。
この論理を51の閉ループまで拡張すると、51から99までの閉ループが存在する確率は1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 ≈ 68.82%となります。もう一方のケースは成功、つまり51以上の閉ループが存在しない、つまりすべての囚人が自分の番号を見つけるというケースです。その確率は31.18%です。
やや粗い近似値を得る簡単な方法は、オイラー定数（オイラー数と混同しないように）を使用することです。c = オイラー定数 ≈ 0.577216 とします。関連する式は次のとおりです。
1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c。
この問題の場合、51から100までの閉ループの確率は1/51 + 1/52 + … + 1/100でした。これは次のように表すことができます。
(1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100) – (1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50)
上記の近似式を用いると、これはおおよそ…
(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417。もう一方の選択肢は成功確率で、0.306853 = 30.69% です。実際の確率は 31.18% だったことを思い出してください。したがって、近似値は 0.50% ずれています。
2024年9月26日 パズル問題
懐中電灯と8個の電池があります。懐中電灯を点灯させるには、正常な電池が2個必要です。8個の電池のうち、4個は正常に動作し、4個は動作しません。いつものように、見た目では正常な電池と動作しない電池を区別することはできません。最大7回の試行で懐中電灯を点灯させるにはどうすればよいでしょうか？