Wizardに尋ねる #120

異なるデッキから5枚のカードが2つ配られたとします。Aの手札には少なくとも1枚のエースが含まれています。Bの手札にはスペードのエースが含まれています。どちらの手札に、さらに1枚以上のエースが含まれている可能性が高いでしょうか？

匿名

次の表は、完全にランダムなハンドで 0 から 4 枚のエースが出る確率を示しています。

エースの確率 — ランダムハンド

エース	式	組み合わせ	確率
0	コンビン(48,5)	1712304	0.658842
1	コンビン(4,1)×コンビン(48,4)	778320	0.299474
2	コンビン(4,2)×コンビン(48,3)	103776	0.03993
3	コンビン(4,3)×コンビン(48,2)	4512	0.001736
4	組み合わせ(4,4)×組み合わせ(48,1)	48	0.000018
合計		2598960	1

1枚から4枚のエースの合計を取ると、少なくとも1枚のエースが出る確率は0.341158です。2枚以上のエースが出る確率は0.041684です。

少なくとも 1 枚のエースがある場合に、少なくとも 1 枚のエースがある確率は、ベイズの定理に従って、確率 (少なくとも 1 枚のエースがある場合に、さらに 2 枚のエースがある) = 確率 (2 枚以上のエース)/確率 (少なくとも 1 枚のエース) = 0.041684/ 0.341158 = 0.122185 と言い換えることができます。

ベイズの定理がまだ錆び付いている人のために説明すると、これは、B が与えられた場合の A の確率は、A と B の確率を B の確率で割った値に等しい、つまり Pr(A が与えられた場合の B) = Pr(A と B)/Pr(B) であることを意味します。

次の表は、スペードのエースをデッキから除いた場合に、他のエースの各数の組み合わせと確率を示しています。

エースの確率 — エースが取り除かれた手

エース	式	組み合わせ	確率
0	組み合わせ(3,0)×組み合わせ(48,4)	194580	0.778631
1	コンビン(3,1)×コンビン(48,3)	51888	0.207635
2	組み合わせ(3,2)×組み合わせ(48,2)	3384	0.013541
3	組み合わせ(3,3)×組み合わせ(48,1)	48	0.000192
合計		249900	1

これは、少なくとももう 1 枚のエースが出る確率が 0.221369 であることを示しています。

面白半分に、ベイズの定理を使って同じ問題を解いてみましょう。スペードのエースが見つかるまでランダムに手札が配られると仮定します。手札にスペードのエースが含まれている場合、少なくとも1枚のエースがさらに出ている確率は、確率（スペードのエースが含まれている場合、少なくとも2枚のエースが手札にある）と書き直すことができます。ベイズの定理によれば、これは確率（手札にスペードのエースと少なくとももう1枚のエースが含まれている）/確率（手札にスペードのエースが含まれている）に等しくなります。分子を確率（スペードのエースを含む2枚のエース）+確率（スペードのエースを含む3枚のエース）+確率（4枚のエース）に分解できます。最初の表を使うと、0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285となります。スペードのエースが出る確率は 5/52 = 0.096154 です。つまり、スペードのエースが2枚以上出た場合、少なくとも2枚のエースが出る確率は 0.021285/0.096154 = 0.221369 です。

したがって、少なくとも 1 つのエースがある場合に 2 つ以上のエースが出る確率は 12.22% であり、スペードのエースがある場合に 22.14% となります。

分かりました。あなたの数字は信じますが、それでもまだ納得できません。確率は等しくなるはずです。1枚のエースが配られるのに、スートの違いで何か違いがあるのでしょうか？

匿名

もっと単純な状況を考えてみましょう。女性Aが「私には子供が2人いて、少なくとも1人は男の子です」と言い、女性Bが「私には子供が2人いて、上の子はジョンという名前です」と言うとします。ジョンという名前の子供は女の子ではなく、同じ名前を複数の子供に付ける女性もいないと仮定します。条件付き確率を用いると、女性Aの子供が2人とも男の子である確率は、pr(2人とも男の子)/pr(少なくとも1人の男の子) = pr(2人とも男の子)/(1-pr(2人とも女の子)) = (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3となります。しかし、女性Bの下の子供が男の子である確率、あるいは2人とも男の子である確率は？です。なぜなら、上の子供の名前がジョンであると言っても、下の子供については何も分からないからです。

別の例として、Jiffy Lube に行って、同じ価格で 2 つのプランを提示されたとします。プラン A は、4 つの部品を検査し、最初に不良品が見つかったものだけを交換するというものです。プラン B は、1 つの問題だけを検査し、見つかった場合は修理するというものです。プラン A を選びませんか? 車に持ち込まれた不良部品の数は予想と同じですが、プラン A の方が問題が見つかる確率が高くなるため、そのプランでは不良品の数は少なくなります。同様に、エースを検査するとおそらくエースだけが出てきますが、スペードのエースを検査すると他の 3 つのスーツは検査されないため、エースである可能性が高くなります。

ダブルデッキのブラックジャックを配る際、ハウスにとって最も安全な方法は何でしょうか？表向きですか、それとも手持ちですか？

匿名

裏向き。ハンド終了まで他のプレイヤーのカードを見ることができないため、プレイヤーが得る情報が少なくなり、カードカウンターにとって不利になります。

テーブルゲームのスプレッドはどのように決まるのでしょうか？例えば、最低賭け金が5ドルのブラックジャックのテーブルでは、最高賭け金が200ドルになるのはなぜでしょうか？

匿名

カジノは、賭け金に応じてプレイヤーを囲い込む傾向があります。その理由の一つは、高額ベットのテーブルはプレイヤー数が少ないため、高額ベットをするプレイヤーは1時間あたりに多くのハンドをプレイできるからです。もう一つの理由は、プレイヤーは自分と同程度のベット額のプレイヤーと一緒にいることを好むと言われています。例えば、あるプレイヤーが5ドルのテーブルで1000ドルを賭けようとした場合、同じテーブルにいる他の5ドルのプレイヤーは不安になったり、居心地が悪くなったりする可能性があります。三つ目の理由は、不正行為を防ぐための対策です。

正確な答えはないことは承知していますが、ハンディキャップ法に何か効果があるかどうかを判断するのに適切なサンプルサイズは、一般的にどれくらいでしょうか？例えば、1303対1088で54.5%というテストサンプルがあった場合、その方法に偶然以外の何かがあると考える根拠はあるでしょうか？

匿名

何度も言ってきたように、「長期戦」に入るタイミングに魔法の数字はありません。しかし、結果が印象的であればあるほど、それが単なる偶然ではないことを証明するために必要なハンド数は少なくなります。あなたの場合、2391ゲーム中54.5%以上の勝率を出す確率は、約20万分の1です。ですから、この記録は非常に真剣に受け止める価値があると言えるでしょう。私がこの数字に至った経緯は以下の通りです。

予想勝利数 = 2391/2 = 1195.5
予想を上回る実際の勝利数 = 107.5
標準偏差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
期待値からの標準偏差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
標準偏差が4.4174以上の確率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000分の1

すべてのテーブルゲームで戦略カードを使用できますか?

匿名

はい。使用を拒否されたという話は聞いたことがありません。

ホールデムのフロップで、ホールカードがすべて同じ場合、4 枚のフラッシュ以上が出る確率をどうやって計算しますか。

匿名

同じスートのカードがあと2枚出る確率は、39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439です。同じスートのカードがあと3枚出る確率は、combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418です。つまり、同じスートのカードが少なくともあと2枚出る確率は0.117857です。