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Wizardに尋ねる #15

あなたのサイトはとても気に入りました。とても参考になります。ご意見をお寄せいただきありがとうございます。Crappers Delightで「クラシック回帰」と呼ばれるクラップスの賭け戦略が提案されているのを目にしました。その中で彼は、ポイントが確定した後に6と8を賭け、どちらかがヒットしたら賭け金を下げることを提案しています。彼によると、6と8の組み合わせは10通りありますが、7の組み合わせは6通りしかないそうです。論理的に思えますが、表面的には論理的に見えるものも、分析してみるとそれほど明確ではないことをあなたは示しています。この戦略についてどうお考えですか？また、1度ヒットした後に賭け金を下げる場合、実際のオッズはどれくらいになるでしょうか？

Michael

これは先週受けた質問と似ています。確かに、6 または 8 を出す方法は 10 通り、7 を出す方法は 6 通りあります。しかし、確率だけを見るのではなく、配当と比較して考慮する必要があります。6 と 8 のプレースベットは、公平なオッズでは 6 対 5 の配当が、7 対 6 のオッズで支払われます。6 と 8 に 6 ユニットのプレースベットを行い、片方が勝ったらもう片方を失うと、7 ユニットを獲得する確率は 62.5%、12 ユニットを失う確率は 37.5% です。プレイヤーが 6 と 8 の両方をカバーする必要がある場合、プレースベットが最適です。この収益率は悪くありませんが、さらに改善できる可能性があります。全体的なハウスエッジを最小限に抑えることを優先するプレイヤーにとって、最善の戦略は、パス、ドントパス、カム、ドントカムのベットを組み合わせて、常に最大許容オッズを取ることです。
ブラックジャックのようなマイナスのゲームで、フラットベット（カウントなし、プログレッションなしなど）で、カウントなしで45,000ハンドほどプレイした後、0.5%の不利な状況でリードするオッズをどうやって判断すればいいのでしょうか？そもそもそんなことは可能なのでしょうか？

Kevin

これは統計学の入門クラスでよく出題される典型的な問題です。多数の確率変数の和は常にベル曲線に近づくため、中心極限定理を用いて答えを導き出すことができます。

ハウスエッジに関する私のセクションでは、ブラックジャックの標準偏差は1.17であることがわかりました。統計学を学んだことがない方には理解できないかもしれませんが、あなたの例で損失が出る確率はZ統計量で45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91となります。

基本的な統計学の書籍には、Z統計量0.8186を示す標準正規分布表が掲載されているはずです。つまり、あなたの例で先行する確率は約18%です。
興味があったんです。ハウスオッズよりいいオッズを得ることはできないのは確かですが、控えめなギャンブルのアプローチ、つまり「勝っているうちに辞める」というシナリオを試してみたかったんです。例えば、1000ドルの均等な資金でスタートするとします。どちらかが当たったらすぐに辞めなければならないと仮定すると、0ドルで終わるよりも1200ドルを手にする確率はどれくらいでしょうか？バカラでプレイヤーに賭けて100%負けるより、20%の利益を得る方が得策でしょうか？

Brian から Denver, Colorado

あなたが見落としている重要な情報が2つあります。それは、賭け金の額とどのゲームに賭けるかです。バカラのプレイヤーベットに1ドルずつフラットベットしていると仮定します。引き分けがない場合、プレイヤーが勝つ確率は49.3212%です。

プレイヤーが$iを持っている場合、すべてを失う前に$1,200に達する確率をa iとします。任意の賭けに勝つ確率をp = 49.3212%とします。

0 = 0

a 1 = p*a 2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2

。

a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
1200 = 1

左側を 2 つの部分に分けます。

p*a 1 + (1-p)*a 1 = p*a 2
p*a 2 + (1-p)*a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
p*a 3 + (1-p)*a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
。
。
。
p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198

左側に(1-p)項、右側にp項を配置して並べ替えます。

(1-p)*(a 1 ) = p*(a 2 - a 1 )
(1-p)*(a 2 - a 1 ) = p*(a 3 - a 2 )
(1-p)*(a 3 - a 2 ) = p*(a 4 - a 3 )
。
。
。
(1-p)*(a 1197 - a 1196 ) = p*(a 1198 - a 1197 )
(1-p)*(a 1198 - a 1197 ) = p*(a 1199 - a 1198 )

次に両辺に1/pを掛けます。

(1-p)/p*(a 1 ) = (a 2 - a 1 )
(1-p)/p*(a 2 - a 1 ) = (a 3 - a 2 )
(1-p)/p*(a 3 - a 2 ) = (a 4 - a 3 )
。
。
。
(1-p)/p*(a 1197 - a 1196 ) = (a 1198 - a 1197 )
(1-p)/p*(a 1198 - a 1197 ) = (a 1199 - a 1198 )

次の望遠鏡の合計:

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
。
。
。
(a 1199 - a 1198 ) = ((1-p)/p) 1198 *(a 1 )
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )

次に上記の式を追加します。

(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

1 = a 1 * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1)

1がわかったので、 1000を見つけることができます。

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
。
。
。
(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
(a 1000 - a 19 ) = ((1-p)/p) 9999 *(a 1 )

上記の式を合計します。

(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
1000 = 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
a 1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) =~ 0.004378132。

運のゲームでは、十分な時間があればオッズはプレイヤーに追いつき、資金は徐々に減っていくでしょう。しかし、より大きな金額を賭ければ、オッズははるかに良くなります。以下は、様々な賭け金で、100%負ける前に20%勝てるオッズです。

5ドル: 0.336507
10ドル: 0.564184
25ドル: 0.731927
50ドル: 0.785049
100ドル: 0。809914

この種の問題の数学の詳細については、私のMathProblems.infoサイトの問題 116 を参照してください。

ベーシックストラテジーのブラックジャックのチャートは、なぜディーラーが「10」のカードを持っているという理論に基づいているのでしょうか？実際には、「10」のカードがどこにでも出てしまう確率は9対4だと考えています。何か見落としているのでしょうか？あなたのウェブサイトはとても興味深いです。どうもありがとうございます。

Eddie から New Orleans, Louisiana

ディーラーが10を持っていると仮定するのは単なる記憶法であり、基本戦略の構築方法とは全く関係ありません。あるプレイヤーが別のプレイヤーに「ディーラーはいつも10を持っていると仮定する」と言っているのを耳にすると、私は同調できません。もしこれが本当なら、プレイヤーは10に対して19をヒットするべきであり、それは明らかに無理なプレイです。