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Wizardに尋ねる #207

ウィンは私を次のような賞金構成のスロット トーナメントに招待しました。

1位：100万ドル
2位：15万ドル
3位～6位：25,000ドル
7位～8位：2万ドル
9位～50位：5,000ドル

参加費は25,000ドルで、トーナメントの参加者は50名に限定されています。予想賞金が30,000ドルであることは容易に想像できますが、これは非常に大きな賭けです。ケリー基準に照らして、健全な賭けとなるには、参加に必要なバンクロールはいくらでしょうか？

匿名

ケリー近似とは、アドバンテージを分散で割ったものです。起こり得る結果は、賭け金の39倍、5倍、0倍、-0.2倍、-0.8倍の勝利です。アドバンテージは、(1/50)×39 + (1/50)×5 + (4/50)×0 + (2/50)×-0.2 + (42/50)×-0.8 = 0.2となります。

分散は、期待値(勝利数2 ) - (期待値(勝利数)) 2 = (1/50)×39 2 + (1/50)×5 2 + (4/50)×0 2 + (2/50)× -0.2 2 + (42/50)×-0.8 2 − 0.2 2 = 31.4192

したがって、最適なケリーベットは、バンクロールの0.2/31.492 = 0.0063655倍となります。25,000ドルをフルエントリーする場合、必要なバンクロールは25,000/0.0063655 = 3,927,400ドルとなります。

しかし、このような大きな賭けの場合、最適なケリーベットを正確に見つけ出すことに時間をかける価値はあると思います。次に、トーナメント後のバンクロールの期待対数を最大化するベットサイズbを以下のように求めます。

トーナメント後のバンクロールの対数 = (1/50)*log(1+39×b) + (1/50)*log(1+5×b) + (4/50)*log(1) + (2/50)*log(1-0.2×b) + (42/50)*log(1-0.8×b)

bを求める簡単な方法はありません。個人的には、Excelの「ゴールシーク」機能をお勧めします。答えは0.0083418になります。つまり、ケリーベットの正確な値は、バンクロールの0.0083418倍になります。25,000ドルの参加費を正当化するには、バンクロールは25,000ドル/0.0083418 = 2,996,937ドルである必要があります。

あなたのサイトが大好きです。実際のギャンブルと同じくらい、いやそれ以上に、戦略や確率に関する議論を楽しんでいます。最近、セントルイスのカジノで6デッキのブラックジャックをプレイしていました。シューをプレイした後、カードがオートシャッフル機に戻され、カードが1枚足りないことが示されました。ディーラーは次のシューを配り始め、フロアスタッフが戻されたカードを確認しました。このシューを終えると、前のシューで足りなかったカード（キング）が、2枚目のシューの配られていない部分から見つかりました。

このキングがボトムカードでシャッフル機に残っていたと仮定すると、最初のシューでは使用されていたはずです（カットはデッキの後ろの部分でした）。このミスによって、ハウスは私に対してどれだけの追加アドバンテージを得たのでしょうか？

Justin から St. Louis, MO

温かいお言葉ありがとうございます。ディーラーがソフト17をヒットし、スプリット後のダブルが認められると仮定します。ドン・シュレシンジャー著『 Blackjack Attack』の表D17によると、デッキごとに10を1枚取り除くと、ハウスエッジは0.5512%増加します。これを6デッキゲームで6で割ると、ハウスエッジは0.09%増加することになります。
ブラックジャックのクーポンについてアドバイスをお願いします。ルールを理解している限り、このクーポンは勝利金を2倍にし、最大25ドルまで、いつでも提示できると理解しています。16.50ドルを賭けて、ブラックジャックが出るまでクーポンを使うと、ブラックジャックの勝利金24.75ドルが2倍になります。それとも、25ドルを賭けて、最初の勝利時に使った方が良いでしょうか？ どちらの場合も、予想損失はどれくらいでしょうか？ ハウスエッジは0.64%と仮定してください。

Jim から Dallas, Texas

まず、16.50ドルを賭け、ブラックジャックが勝つまでクーポンを使った場合の期待損失を計算してみましょう。プレイヤーがブラックジャックになる確率は、「エースの枚数 × 10の枚数 / シューにある312枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせ」で表されます。つまり、24×96 / combin (312,2) = 0.0474895となります。もしプレイヤーとディーラーが両方ともブラックジャックを持っている場合、クーポンは役に立ちません。プレイヤーがブラックジャックを持っていると仮定すると、ディーラーがブラックジャックになる確率は23×95 / combin(310,2) = 0.045621となります。つまり、プレイヤーがブラックジャックで勝つ確率は0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323、つまり22.06ハンドに1回となります。したがって、1 回あたり 16.50 ドルで 22.06 ハンドをプレイすると、予想される損失は 22.06 × 16.50 × .0064 = 2.33 ドルになります。

次に、25ドルを賭け、最初の勝利までクーポンの使用を待った場合の期待損失を計算してみましょう。ブラックジャックの付録4に記載されているように、勝利の確率は42.42%です。スプリットの複雑さのため、この統計は今回の状況に完全には当てはまりませんが、ほぼ近い値です。つまり、勝ちハンドを出すために必要なハンドの期待値は、1/0.4242 = 2.36です。25ドルずつ2.36ハンド賭けた場合の期待損失は、2.36 × 25 × 0.0064 = 0.38ドルとなり、ブラックジャックを待つよりも84%もコストが少なくなります。

私は最近2度目となるバカラテーブルへの訪問を果たしましたが、その結果は間違いなくプレイヤーに偏っていました。以下の結果がバンカーとプレイヤーの期待される結果の2標準偏差以内で考慮されるかどうかを教えてください。引き分けの手は消しました。

セッションI
プレイヤーの勝利：282
バンカーの勝利：214

セッションII
プレイヤーの勝利：879
バンカーの勝利：831

Arthur から Wayne, New Jersey

私の バカラのページを参照して、通常の8デッキゲームの確率は次のとおりです：

バンカー：45.86%
プレイヤー：44.62%
引き分け：9.52%

引き分けをスキップすると、バンカーとプレイヤーの確率は次のようになります：

バンカー：45.68%/(45.68%+44.62%) = 50.68%.
プレイヤー：44.62%/(45.68%+44.62%) = 49.32%.

セッションIのハンドの総数は282+ 214 = 496でした。セッションIでの予想されるプレイヤーの勝利数は49.32％×496 = 244.62で、実際の合計282は予想である282-244.62 = 37.38を上回っています。

一連の勝ち負けイベントの分散はn×p×qです。ここでのnはサンプルサイズ、pは勝利確率、qは敗北確率です。この場合の分散は496×0.5068×0.4932 = 123.98になり、標準偏差はその平方根にて11.13です。したがって、プレイヤーの勝利の合計は37.38 / 11.13 = 3.36標準偏差だけ予想を上回りました。結果が歪む確率は0.000393、つまり2,544分の1です。

サンプルIIの数学法を使用した場合の確率は0.042234です。2つのサンプルを1つに組み合わせるとその確率は0.000932になりますが、約0.1％は「間違いなくプレイヤーに偏っている」場合には十分ではありません。それでもゲームが公平でないと思われる場合は、サンプルサイズを大きくしてより多くのデータを収集することです。

同僚が、自分の母親がビデオポーカーで25年連続勝ち続けていると断言しています。彼女は年に4回ラスベガスに行き、400ドルのバイインで必ず1000ドル以上勝ちます。彼曰く、彼女はいつも1万ドル勝っているそうです。彼は私が彼女の幸運を信じていないことに腹を立てています。彼は4時間のセッションで母親が勝つと賭けたいと言っています。この5倍の賭けは、賭けるべきでしょうか？

匿名

彼女が一定のレートでフラットベットしている限り、もちろん賭けるべきです。彼女は何らかの価値のないプログレッションを使っているか、あるいはこれは間接的な誇張表現でしょう。このことから、友人側にとって最適なハンド数はどれくらいだろうと考えました。ジャック・オア・ベターが9/6で、最適な戦略をとれば、リードする確率は136ハンドで最大となり、その確率は39.2782%です。