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Wizardに尋ねる #214

ランダムなカードデッキに、例えばクイーンとキングなど、任意の2つのランクが連続して現れる確率はどれくらいでしょうか？誰かが、それが起こるかどうかに賭け金を等しくして私に賭けようとしました。

Rob から Saratoga, CA

ランダムシミュレーションによると、確率は48.64%です。だから、私はその賭けに出たでしょう。
素晴らしいサイトですね。過去のベッティングスプレッドに関する情報が充実しているのが分かります。ある仮説を検証するために、過去のNBAスプレッドを分析したいのですが、データの入手先について何かアドバイスをいただけますか？

Brian から Rye Brook, NY

ありがとうございます。多くのデータはDavler Sportsから入手しています。大学フットボールに関しては、 The Gold Sheetの無料データを使っています。
サイコロを振ったとき、2つの数字が連続して出る確率を計算できますか？つまり、4が2つ、6が2つ、7が2つ連続して出る確率はどれくらいですか？過去が未来を予測することはできないことは承知していますが、7/36 × 7/36 が連続して出る確率を計算する方法はあるでしょうか？意味が通じるといいのですが。

James から Birmingham

はい。Pr(2) 2 + Pr(3) 2 + ... + Pr(12) 2 = (1/36) 2 + (2/36) 2 + (3/36) 2 + (4/36) 2 + (5/36) 2 + (6/36) 2 + (5/36) 2 + (4/36) 2 + (3/36) 2 + (2/36) 2 + (1/36) 2 = 11.27%となります。
2デッキのブラックジャックにおけるカードカウンティングについて質問です。ノックアウトカウントを使用する場合、ディーラーがバーンして見せなかったカードをどのように計算しますか？通常はマイナスと見なしますが、この保守的なアプローチよりも良い方法があるはずです。

TCD から Long Island City

バーンカードは、シューに残っている他のカードと同じです。何も考えずに、何かのカードだと決めつける必要はありません。ノックアウトカウントでは、トゥルーカウントへの変換がないため、バーンカードは完全に無視できます。ハイロー、またはトゥルーカウントへの変換があるカウントでは、完璧主義者はバーンカードの枚数をデッキの残り枚数に加えるでしょう。しかし、バーンカードは通常1枚だけなので、どのようなカードカウンティング戦略においても安全に無視できます。
最近、カジノでは「オートマチック・ウィン」というオプションがプレイヤー向けに導入されました。これは、プレイヤーが20を持っていてディーラーが10を出した場合、ディーラーが20を出したり、何らかの理由で21を出したりするリスクを負うことなく、賭け金の半額を即座に獲得できるというものです。この仕組みを考案した人によると、プレイヤーの20がプッシュになるかハズレになる確率は半分以上だそうです。彼の計算に同意できるかどうかは分かりませんが、ご意見をお聞かせください。ありがとうございます！追伸：これからも頑張ってください！

Jason Z. から Las Vegas

プッシュしたり負けたりする確率が半分以上というのは正しくありません。私のブラックジャックの付録2を見ると、ディーラーが20を持っている場合、ディーラーがブラックジャックを覗いた後、6デッキの場合、以下の結果が考えられます。

ディーラーが17～19を取るかバストする：59.4%
ディーラーが20を獲得: 36.8%
ディーラーが21を獲得: 3.8%

つまり、プレイヤーがプッシュするか負ける確率はわずか40.6%です。ディーラーが10を持っている場合、20を持っている場合の価値は、勝ち確率-負け確率 = 59.4% - 3.8% = 55.6%です。これは、自動ハーフウィンを適用した場合に得られる50%よりも高いため、この選択肢を拒否すべきです。この選択肢については、ブラックジャックの付録8で「カジノサレンダー」というタイトルで取り上げています。

同じ理由で、ディーラーがエースに対してブラックジャックを持っている場合も、「イーブンマネー」は拒否すべきです。どちらの場合も、藪の中の二羽の鳥は手札の一羽の鳥よりも価値があります。

これは最近初めて見た「ディール・オア・ノー・ディール」の続編です。あなたの分析では、銀行側はスーツケースの中のお金の価値を知らないと仮定しています。しかし、私が見た番組では、終盤で両方の出場者が価値の高いケースを選択し、期待値（EV）を上回る取引が提示されました（または、片方は既に棄権していたため、提示されたはずでした）。最も極端なケースでは、残された金額が50万ドルと75万ドルだったにもかかわらず、あるプレイヤーは68万7千ドルを提示されたはずでした。この状況に対する唯一の合理的な説明は、銀行側がプレイヤーのスーツケースの価値を知っており、提示された取引はそれに基づいているということです。

あくまでも私の意見ですので、返信は必要ありません。

J.N.S. から Bellevue, WA

返事を期待していないことに感謝します。でも、私は通常、ゲーム番組の質問には返事をします。番組では毎回、ケースの中の金額はランダムに配置され、ハウイーもバンカーも結果を知ることはないと主張しています。これは「Let's Make a Deal」では決して主張されていませんでした。モンティ・ホールが明らかに知っていたからです。私も、特に大きな金額が絡んでいる場合、バンカーが最後のオファーとして予想以上の金額を提示するのを見たことがあります。私の強い意見では、これはバンカーがプレイヤーのケースの中身を知っているからではありません。1950年代には、 「21」などの番組で八百長が行われたことが発覚し、大スキャンダルとなりました。銀行のオファーで賞金を着服するために、成功している番組、そしてすべてのゲーム番組の誠実さを台無しにする説得力のある理由はありません。

銀行家が残りのケースの平均よりも高い金額を提示することがある理由について、3 つの理論を挙げることができます。

  1. この番組では、銀行員がオフィスで金銭に汗水垂らして働いている様子を描いています。ハウィー・マンデルは、銀行員の気分や口調について頻繁にコメントしています。銀行員をリスク回避型の会計士、つまり大きな利益を得るリスクを冒すよりも損失を抑えることを好む人物として描くことで、この番組はよりドラマチックになっているのかもしれません。

  2. 真のバンカーはまさにリスク回避型です。これは私の専門分野から外れますが、私の理解では、ゲーム番組やリアリティ番組は通常、テレビ局とは独立した会社によって制作されています。これらの小規模な制作会社は、出場者が高額賞金を獲得するリスクを軽減するために保険会社を探します。そのような場合、保険会社こそが真のバンカーとなり、番組におけるバンカーの行動に影響を与えている可能性があります。このような奇妙な番組に保険をかける保険会社は巨大企業ではなく、多額の賞金が絡む場合は安全策を講じる傾向があるのかもしれません。

    あなたの例では、バンカーのオファーは期待値を9.92%上回っていました。もしバンカーがケリー基準に従っていたなら、このようなオファーは総額わずか782,008ドルで行われていたはずです。これは最高賞金を下回っています。自尊心のある保険会社なら、そこまで保守的になるはずがありません。明らかに、この理由だけでは、あなたの例のオファーを正当化することはできません。

  3. この番組は、出場者を愚かで強欲に見せようとしている。「5年生より賢い？！」やトゥナイトショーの「Jaywalking」のような番組は、雑学クイズに苦手意識を持つ人たちを笑わせることに満足感を得られなければ成功しなかっただろう。 「Friend or Foe」や「The Weakest Link」は、人間の本性にある強欲さを露呈させる点で傑出していた。出場者が予想以上の金額のオファーを断り、彼の場合は低い金額で帰るのを見ると、正直言って、他人の不幸を喜ぶような気持ちになった。

理由はこれら 3 つの理由の組み合わせであると考えがちですが、主に 3 番目の理由です。

ここで答えを終わらせたら、きっとコメントが寄せられ、架空の銀行員のオファーが本当に行われたのか疑問視されるでしょう。つまり、ドラマチックな効果を狙って誇張されているのではないかという疑念です。私は13のゲームの詳細を記録しました。そのうちの1つでは、残り3つのケース（1,000ドル、5,000ドル、50,000ドル）で、平均は18,667ドル、オファーは21,000ドルでした。これは予想値を12.5%上回っています。別の番組では、残り2つのケース（400ドルと750,000ドル）で、平均は375,200ドル、オファーは400,000ドルでした。これは予想値を6.6%上回っています。ですから、架空のオファーの信憑性に疑問を抱く理由はないと思います。

リンク:

ディール・オア・ノー・ディールの計算式: このページでは、ディール・オア・ノー・ディール Web サイトの無料ゲームに基づいて、バンカーのオファーを計算するための古い計算式と新しい計算式を示します。