このページ
ブラックジャックの分散
概要
この別表ではブラックジャックの標準偏差に関連する情報を示しています。プレイヤーがカットカードゲームの基本戦略に従っていることを前提としたそれぞれの表は、約100億ハンドがプレイされた個別のシミュレーションの結果を示しています。
念のためにお伝えしますが、シングルハンドの分散がv、共分散がc、一度にプレイされるハンドの数がnの場合の分散の合計はn×v + n×（n-1）×cになります。
次の表は多くのシミュレーションと多くのプログラミング作業の結果であり、様々なルールセットの分散と共分散を示しています。
要約表
| デッキ | ソフト17 | スプリット後の ダブル |
降参許可 | 再スプリットの 許可 |
期待値 | 分散 | 共分散 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6 | スタンド | あり | あり | あり | -0.00281 | 1.303 | 0.479 |
| 6 | スタンド | なし | なし | なし | -0.00573 | 1.295 | 0.478 |
| 6 | ヒット | あり | あり | あり | -0.00473 | 1.312 | 0.487 |
| 6 | ヒット | なし | なし | なし | -0.00787 | 1.308 | 0.488 |
| 6 | ヒット | あり | なし | なし | -0.00628 | 1.346 | 0.499 |
| 6 | ヒット | なし | あり | なし | -0.00699 | 1.272 | 0.475 |
| 6 | ヒット | なし | なし | あり | -0.00717 | 1.311 | 0.488 |
| 8 | ヒット | なし | なし | なし | -0.00812 | 1.309 | 0.489 |
| 2 | ヒット | あり | なし | なし | -0.00398 | 1.341 | 0.495 |
比較として、Stanford Wonの著書であるProfessional Blackjack（203ページ）では分散は1.28でベンチマークルールの共分散は0.47であると述べています。エースをスプリットとサレンダーは含まれていません。表の2行目が同じルールでそれぞれ1.295と0.478を取得していることを示しており、これは私にとっては十分に近い値です。
ルール変更の分散への影響
次の表は、ウォンベンチマークルールと比較した様々なルール変更の期待値、分散、共分散への影響を示しています。
ルールバリエーションの影響
| ルール | 期待値 | 分散 | 共分散 |
|---|---|---|---|
| ソフト17でのスタンド | 0.00191 | -0.00838 | -0.00764 |
| スプリット後のダブルあり | 0.00159 | 0.03753 | 0.01091 |
| 降参あり | 0.00088 | -0.03629 | -0.01247 |
| 再スプリットあり | 0.00070 | 0.00207 | 0.00037 |
| 8デッキ | -0.00025 | 0.00071 | 0.00063 |
| 2デッキ | 0.00230 | -0.00530 | -0.00422 |
以下は、上記で定義されたリベラルストリップルールの下での1〜3ハンドのネットウィンの確率を示す表です。
リベラルストリップルール — 一度に１つのハンドでプレイする
最初の表は私が「リベラルストリップルール」と呼ぶ状況下での各ネットウィンが１つのハンドでプレイする確率を示しており、それは次のとおりです：
- 6デッキ
- ソフト17でのディーラースタンド (S17)
- 全ての最初の2枚のカードのダブル (DA2)
- スプリット後のダブルあり (DAS)
- レイトサレンダーあり (LS)
- エースの再スプリットあり (RSA)
- プレイヤーの最大3回までの再スプリット (P3X)
6デッキ S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 1つのハンド
| ネットウィン | 確率 | リターン |
|---|---|---|
| -8 | 0.00000019 | -0.00000154 |
| -7 | 0.00000235 | -0.00001643 |
| -6 | 0.00001785 | -0.00010709 |
| -5 | 0.00008947 | -0.00044736 |
| -4 | 0.00048248 | -0.00192993 |
| -3 | 0.00207909 | -0.00623728 |
| -2 | 0.04180923 | -0.08361847 |
| -1 | 0.40171191 | -0.40171191 |
| -0.5 | 0.04470705 | -0.02235353 |
| 0 | 0.08483290 | 0.00000000 |
| 1 | 0.31697909 | 0.31697909 |
| 1.5 | 0.04529632 | 0.06794448 |
| 2 | 0.05844299 | 0.11688598 |
| 3 | 0.00259645 | 0.00778935 |
| 4 | 0.00076323 | 0.00305292 |
| 5 | 0.00014491 | 0.00072453 |
| 6 | 0.00003774 | 0.00022646 |
| 7 | 0.00000609 | 0.00004263 |
| 8 | 0.00000066 | 0.00000526 |
| 合計 | 1.00000000 | -0.00277282 |
上記の表は以下を反映させています：
- ハウスエッジ = 0.28%
- 分散 = 1.303
- 標準偏差 = 1.142
ネットウィンの確率
私はよくブラックジャックでのネットウィンの確率についてよく聞かれますが、次の表はその質問に対しての答えを示しています。
ブラックジャックのネットウィンの要約
| イベント | 確率 |
|---|---|
| 勝ち | 42.43% |
| プッシュ | 8.48% |
| 負け | 49.09% |
次の3つの表は、最初の行動でヒット、スタンド、サレンダー、ダブル、スプリットのいずれかによって発生する可能性のあるイベントを分類しています。
最初の行動でヒット、スタンド、サレンダーを行った場合のネットウィン
| イベント | 合計 | 確率 | リターン |
|---|---|---|---|
| 1.5 | 77147473 | 0.05144768 | 0.07717152 |
| 1 | 537410636 | 0.35838544 | 0.35838544 |
| 0 | 127597398 | 0.08509145 | 0 |
| -0.5 | 76163623 | 0.05079158 | -0.02539579 |
| -1 | 681213441 | 0.45428386 | -0.45428386 |
| 合計 | 1499532571 | 1 | -0.04412269 |
最初の行動でダブルをした場合のネットウィン
| イベント | 合計 | 確率 | リターン |
|---|---|---|---|
| 2 | 89463603 | 0.54980265 | 1.09960529 |
| 0 | 11301274 | 0.06945249 | 0 |
| -2 | 61954607 | 0.38074486 | -0.76148972 |
| 合計 | 162719484 | 1 | 0.33811558 |
最初の行動でスプリットした場合のネットウィン
| イベント | 合計 | 確率 | リターン |
|---|---|---|---|
| 8 | 1079 | 0.00002554 | 0.00020428 |
| 7 | 10440 | 0.00024707 | 0.00172948 |
| 6 | 64099 | 0.00151694 | 0.00910166 |
| 5 | 247638 | 0.00586051 | 0.02930255 |
| 4 | 1307719 | 0.030948 | 0.123792 |
| 3 | 4437365 | 0.10501306 | 0.31503917 |
| 2 | 10222578 | 0.24192379 | 0.48384758 |
| 1 | 2822458 | 0.06679526 | 0.06679526 |
| 0 | 5621675 | 0.1330405 | 0 |
| -1 | 3520209 | 0.08330798 | -0.08330798 |
| -2 | 9425393 | 0.2230579 | -0.4461158 |
| -3 | 3559202 | 0.08423077 | -0.25269231 |
| -4 | 828010 | 0.01959538 | -0.07838153 |
| -5 | 152687 | 0.00361343 | -0.01806717 |
| -6 | 30536 | 0.00072265 | -0.00433592 |
| -7 | 3972 | 0.000094 | -0.000658 |
| -8 | 305 | 0.00000722 | -0.00005774 |
| 合計 | 42255365 | 1 | 0.14619552 |
リベラルストリップルール — 一度に2つのハンドをプレイ
次の表は、上で説明したリベラルストリップルール下で一度に2つのハンドでプレイした最終結果を示しています。リターン列は両手の間のネットウィンを示しています。
6デッキ S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 2つのハンド
| ネットウィン | 確率 | リターン |
|---|---|---|
| -14 | 0.00000000 | 0.00000000 |
| -13 | 0.00000000 | -0.00000001 |
| -12 | 0.00000001 | -0.00000006 |
| -11 | 0.00000003 | -0.00000035 |
| -10 | 0.00000023 | -0.00000228 |
| -9 | 0.00000163 | -0.00001464 |
| -8 | 0.00001040 | -0.00008324 |
| -7.5 | 0.00000000 | -0.00000003 |
| -7 | 0.00005327 | -0.00037288 |
| -6.5 | 0.00000009 | -0.00000061 |
| -6 | 0.00024527 | -0.00147159 |
| -5.5 | 0.00000114 | -0.00000629 |
| -5 | 0.00106847 | -0.00534234 |
| -4.5 | 0.00000967 | -0.00004352 |
| -4 | 0.00654661 | -0.02618644 |
| -3.5 | 0.00005733 | -0.00020065 |
| -3 | 0.04607814 | -0.13823442 |
| -2.5 | 0.00214887 | -0.00537218 |
| -2 | 0.23285866 | -0.46571732 |
| -1.5 | 0.03547663 | -0.05321495 |
| -1 | 0.09903321 | -0.09903321 |
| -0.5 | 0.01386072 | -0.00693036 |
| 0 | 0.14677504 | 0.00000000 |
| 0.5 | 0.05888290 | 0.02944145 |
| 1 | 0.06026238 | 0.06026238 |
| 1.5 | 0.01030563 | 0.01545845 |
| 2 | 0.17250085 | 0.34500170 |
| 2.5 | 0.03020186 | 0.07550465 |
| 3 | 0.06443204 | 0.19329612 |
| 3.5 | 0.00559850 | 0.01959474 |
| 4 | 0.01072401 | 0.04289604 |
| 4.5 | 0.00024927 | 0.00112171 |
| 5 | 0.00187139 | 0.00935695 |
| 5.5 | 0.00007341 | 0.00040373 |
| 6 | 0.00049405 | 0.00296428 |
| 6.5 | 0.00001414 | 0.00009193 |
| 7 | 0.00012404 | 0.00086825 |
| 7.5 | 0.00000369 | 0.00002767 |
| 8 | 0.00002933 | 0.00023466 |
| 8.5 | 0.00000060 | 0.00000508 |
| 9 | 0.00000543 | 0.00004888 |
| 9.5 | 0.00000007 | 0.00000063 |
| 10 | 0.00000083 | 0.00000834 |
| 11 | 0.00000013 | 0.00000141 |
| 12 | 0.00000002 | 0.00000028 |
| 13 | 0.00000000 | 0.00000005 |
| 14 | 0.00000000 | 0.00000001 |
| リターン | 1.00000000 | -0.00563798 |
この表は以下を反映させています：
- ハウスエッジ = 0.28%
- 各ラウンドあたりの分散 = 3.565
- 各ハンドあたりの分散 = 1.782