フィボナッチ数列パート1
今週は、数学と自然界のあらゆる場所に現れるフィボナッチ数列をテーマとした3つのパークシリーズを始めます。その前に、いつもの論理パズルをご紹介します。
ロジックパズル
あなたはユニコーンとペガサスと一緒にいます。ユニコーンは月曜、火曜、水曜は嘘をつき、それ以外は真実を語ります。ペガサスは木曜、金曜、土曜は嘘をつき、それ以外は真実を語ります。
何曜日か分からないまま、次のような発言を聞きます。
ユニコーン「昨日は私にとって嘘をついた日だった。」
ペガサス「昨日も嘘をついた日だったよ。」
今日は何曜日ですか？
フィボナッチ数列パート1
数学の問題から議論を始めたいと思います。
公平なコインを 20 回投げた場合、2 回続けて表が出ない確率はどれくらいでしょうか。
1回目 – 成功する組み合わせは2つあり、合計の組み合わせも2つあります。確率は2/2 = 100%で、2回連続で表が出ることはありません。つまり、1回の投げで2回表が出ることは不可能です。
2 回目のフリップ – 成功する組み合わせは 3 つ (HT、TH、TT) あり、合計組み合わせは 2 2 = 4 で、確率は¾ = 75% なので、2 回のフリップで 2 回連続して表が出ることは決してありません。
3 回目のフリップ – 成功する組み合わせは 5 つ (HTT、HTH、THT、TTH、TTT)、合計組み合わせは 23=8 個なので、確率は 5/8 = 62.5% で、3 回のフリップで 2 回連続して表が出ることはありません。
しかし、ここまで来ると成功する組み合わせを数えるのは面倒になってきました。別の方法を試してみましょう。3回目が裏だった場合、2回目以降の成功する組み合わせはすべて有効です。つまり、HTT、THT、TTTという2回連続の成功組み合わせすべてに裏を追加すればいいのです。3回目が表の場合、その後のどの組み合わせも、その後にTHを追加することで有効になります（HTH、TTH）。つまり、3回目が裏の場合、有効な組み合わせは3つ、表の場合、有効な組み合わせは2つで、合計5つになります。
4回目 – 裏が出た場合、3回目で出た5つの組み合わせすべてを使用し、それぞれにTを1つ追加します。表が出た場合、2回目に戻って、それぞれにTHを1つ追加します。合計の組み合わせは5+3=8です。
何かパターンが見えますか？2つの1から始まり、各要素が前の2つの1の和になるパターンは、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…のように続き、フィボナッチ数列として知られています。まさにここで行っているのは、前回の投げが裏なら1つ、表なら2つ戻るというものです。
以下の表は、1回から20回投げた場合の、成功した組み合わせの数、合計の組み合わせの数、そして2回連続して表が出ない確率を示しています。確率は、成功した組み合わせの数を合計の組み合わせの数で割ったもので、2のn乗です（nは投げた回数）。一番下の行は、2回連続して表が出ない確率が17711/1048576 = 約1.69%であることを示しています。
これはフィボナッチ数列の実用的な使い方の一例です。来週は、数列内の連続する2つの項の比に注目して、この使い方を詳しく見ていきます。
ロジックパズルの答え
木曜日
ロジックパズルの解答
まずユニコーンの発言を見てみましょう。月曜日と木曜日のみ、ユニコーンの真実性と一致しています。
次にペガサスの発言を見てみましょう。これは木曜日と日曜日のみユニコーンの真実性と一致しています。