シッカーマン・ダイス

今週は、カミーノ・デル・ノルテの旅を一時中断します。代わりに、私が提示するパズルは、それ自体がニュースレターに値すると思うので、ご紹介します。それでは、そのパズルをご覧ください。

2つのサイコロに番号を振ることで、任意の合計値が出る確率が、通常の6面サイコロ2個を使った場合と同じになるようにするにはどうすればよいでしょうか？一方のサイコロは、各面に1～4個の点が振られている必要があります。もう一方のサイコロは、各面に任意の数の点が振られていても構いません。

まず、それぞれの合計値と通常のサイコロ2個の組み合わせの数を確認してみましょう。

以下は、2から12までの各合計値がどのくらいの頻度で観測されるかを示したものです。

仮に、サイコロ1の目が1から4までの数字に限定されているとしましょう。少なくとも1と4がそれぞれ1つずつあると考えるのが妥当です。そうでなければ、出目の範囲はもっと狭くなっていたはずです。

合計が2になる組み合わせを1つ作るためには、サイコロ2にちょうど1つの1が出なければなりません。

12の組み合わせを1つ実現するためには、サイコロ2に8がちょうど1つ出なければなりません。

サイコロ1で1と4がそれぞれ1つずつしか出ないということはあり得ません。そうでなければ、合計が2または12になる回数が複数回になってしまうからです。現在の状況は以下のとおりです。

サイコロ1に2が4つあった場合、合計が3になる方法は少なくとも4通りあります。必要なのはちょうど2通りです。したがって、少なくとも1つの面には3が出なければなりません。

サイコロ2の目が1-2-2-2-3-4だった場合、合計が3になる方法は少なくとも3通りあります。しかし、必要なのはちょうど2通りです。

つまり、サイコロ2の目は1-2-2-3-3-4でなければなりません。これで、現時点で3が出る方法は3通りあります。

サイコロ1の配置を考えると、サイコロ2には2は出ません。そうでなければ、合計が3になる組み合わせが多すぎます。サイコロ2の次の数字を3にしてみましょう。そうすると、2つのサイコロの合計は次のようになります。

合計が5になる方法は3通りあることに注目してください。必要なのは合計4通りです。2つのサイコロを使うと、1+4、4+1、2+3、または3+2で合計が5になることを思い出してください。

サイコロ2にさらに3を加えると、合計5になる組み合わせが5通りになり、多すぎます。したがって、サイコロ2の次の目は、サイコロ1の1と一致する4でなければならず、合計が5になる組み合わせがもう1つ増えます。これで、次のようになります。

合計6になる方法は4通りあります。必要なのは5通りです。もしサイコロ2にさらに4を加えると、合計5になる方法が多すぎます。したがって、合計5になるもう1つの方法は、サイコロ2の5とサイコロ1の1を組み合わせることで実現する必要があります。そうすると次のようになります。

次に検討する合計は7です。これまでに5通りの方法が分かっており、6通り必要です。これは、サイコロ2に6を加えることによってのみ達成できます。6はサイコロ1の1と組み合わさり、合計が7になるもう1つの方法となります。これにより、次のようになります。

それぞれの合計値の組み合わせは、通常のサイコロ2個の組み合わせと一致します。これで完了です。ちなみに、これらはシーカーマンサイコロと呼ばれています。

クレジット

私はこの問題を何十年にもわたって何度も見てきました。サイコロの目が1から4までの範囲であるというヒントが与えられないと、難しすぎると思います。

この解決策の論理を理解する上で参考になった良い動画は、Ted-EdのYouTubeチャンネルにある「呪われたサイコロの謎を解けるか？ - ダン・フィンケル」というタイトルのものです。