Wizardに尋ねる #196

ケリー基準に従うならば、ビデオポーカーのアドバンテージを持つプレイヤーは、最適な戦略から逸脱するべきであると私は考えます。境界線上のハンドでは、ケリー基準は、たとえリターンが低くても、ボラティリティの低い戦略を選択することを推奨すると思いますが、具体的な例が思い浮かびません。皆さんはどうお考えですか？

Scott E. から New York

同意です！ケリー基準のセクションで説明したように、プレイヤーに有利な賭けには、リスクとリターンのバランスをとるために最適なベット額があります。ケリー基準の額を正確に賭けることで、平均的な運を持つプレイヤーにとって資金の増加率が最大になります。

例えば、リターンが100.76%のフルペイデュースワイルドでは、毎ハンドの最適なベット額はバンクロールの0.03419%です。最近はフルペイデュースワイルドが見つかるとしても、おそらく25セントの額面カードだけでしょう。もし何にでも賭けられるとしたら、長期的なバンクロールの成長には、バンクロール全体の0.03419%が最適な額でしょう。バンクロールが3,656ドルのプレイヤーにとって、25セントの額面カードゲームが最適なケリーベット額となります。

ケリーのセクションで説明したように、最適なベット額とは、ベット後のバンクロールの期待対数値を最大化する額であり、これをケリー効用と呼びます。通常、ケリー効用は最適な戦略を実行することで最大化されます。しかし、例外として、3と9が5枚揃い、2が3枚揃うという状況があります。特に、22277を見てみましょう。2だけをキープした場合の期待値は15.057354で、5枚の同じカードをキープした場合の期待値は常にちょうど15です。

以下の表は、3枚の2を持つ場合の従来の期待値とケリー効用の両方を示しています。ドローの任意のハンドにおけるケリー効用はp*log(1+0.0003419*w)です。ここで、pは確率、wは勝ちです。

プレイヤーは3つのデュースを持っている

手	支払う	組み合わせ	確率	戻る	ケリーユーティリティ
4つのデュース	200	46	0.042553	8.510638	0.001222
ワイルドロイヤル	25	40	0.037003	0.925069	0.000137
5枚の同じもの	15	67	0.06198	0.929695	0.000138
ストレートフラッシュ	9	108	0.099907	0.899167	0.000133
フォー・オブ・ア・カインド	5	820	0.758557	3.792784	0.000563
合計		1081	1	15.057354	0.002193

次の表は、同じ数字を 5 枚揃えた場合を示しています。

プレイヤーは5枚の同じカードを持っている

手	支払う	組み合わせ	確率	戻る	ケリーユーティリティ
4つのデュース	200	0	0	0	0
ワイルドロイヤル	25	0	0	0	0
5枚の同じもの	15	1	1	15	0.002222
ストレートフラッシュ	9	0	0	0	0
フォー・オブ・ア・カインド	5	0	0	0	0
合計		1	1	15	0.002222

ケリー効用は、ファイブオブアカインドをキープする方が0.002222（0.002193）と高いことがわかります。この特定のハンドでは、バンクロールが13,290ユニットまで、またはクォータープレイヤーが16,613ドルまでであれば、ケリー基準に基づきファイブオブアカインドをキープすることが正しいプレイとなります。

前述したように、最適戦略のプレイヤーにとって最適なケリーベットサイズはバンクロールの0.03419%です。最適戦略のプレイヤー（ただし、22233から22299のカードをキープするプレイヤーを除く）にとって最適なベットサイズはバンクロールの0.03434%です。最適戦略のプレイヤーのバンクロール増加率は、ベットごとに0.0002605%です。ケリーベットのプレイヤーの場合、0.0002615%です。最適戦略とケリーベットサイズを採用したプレイヤーは、40,000ハンドごとにバンクロールが10.98%増加すると予想されます。保守的なプレイヤーが、22233から22299のカードをキープし、その戦略に基づいたケリーベットサイズを採用した場合、40,000ハンドごとに11.03%の増加が期待できます。

ですから、状況によっては、最適な戦略に逆らって、より保守的な戦略を取るべきだと私は考えています。ただ、ロブ・シンガーがこのことを耳にしないことを願うばかりです。

昨晩プレイしていた時、プレイヤーの一人、ずる賢く、みすぼらしく、攻撃的な老プレイヤーが、フロップでイーブンマネーのサイドベットをしようとテーブルに挑んできました。この気難しい老プレイヤーは、フロップの3枚のカードのうち1枚がエース、デュース、ジャックのいずれかになるかに賭けていました（時には、識別可能な3枚のカードを入れ替えることもありました）。この賭けのオッズはどれくらいでしょうか？賢明な方、ご意見をいただければ幸いです。

匿名

カードが全て公開される前、フロップに3つのランクのカードが出現しない確率は、 combin (40,3)/combin(52,3) = 9880/22100 = 44.71%です。つまり、このプレイヤーは10.59%のアドバンテージを持っていました。

ウィザードさん、ラスベガスのトレジャーアイランドで現在稼働している新しい「サーバーベース」のスロットマシンについてどう思いますか？どうやらこの技術のおかげで、カジノはバックオフィスから瞬時にマシンの設定を変更できるそうです。ゲームの種類、額面、そして…配当まで！これはちょっとやりすぎだと思います。カジノ側が特定のプレイヤー（例えば酔っ払ったハイローラー）をターゲットにして、そのプレイヤーが勝ちにくくするのを、一体どうやって防げるというのでしょう？カジノがどんなプレイヤーでも、いつでも監視できることは周知の事実です。監視とこの技術の組み合わせは、カジノ側にあまりにも大きな優位性を与えているように思えます。テーブルプレイヤーがディーラーやピットボスとハンドのことで激しく口論になったとします（たまに起こります）。その同じプレイヤーがスロットマシンに行けば、カジノ側は仕返しに彼のマシンの配当を下げることができるなんて？もちろん、特定のプレイヤーを「優遇」することもできるでしょう…それも同じように危険です。ゲームや額面の変更を許可することには大賛成ですが、配当率に関しては規制当局が関与すべきではないでしょうか???

Gary から Charolotte, NC

この技術を活用しているカジノの一つで働く情報筋に尋ねたところ、トレジャーアイランド以外にも、カリフォルニア州、ミシガン州、ミシシッピ州のカジノでもこの技術が使われているとのことでした。彼はこう言いました。

ゲームにクレジットが残っている間は、何も変更できません。スロットマシンは、メーターにクレジットがある間は、送信された変更を常に拒否します。ネバダ州では、変更の前後4分間はマシンをアイドル状態にする必要があります。また、スロットマシンの前に立っている人には、この変更が完全に透過的ではありません。「リモート設定中」（またはそれに似たようなメッセージ）という黒いウィンドウがポップアップ表示されます。

主にゲームで利用可能な額面を変更するためにこのシステムを使用しています。カジノの混雑時にテーブルゲームの最低賭け金が引き上げられるのと同様に、金曜日の朝に低額のゲームを削除し、月曜日の朝に元に戻します。

スロットマネージャーがあなたを気に入らないからといって、ゲームを厳しく制限することはできませんのでご安心ください。ゲーム内でクレジットが残っている限り、何も変更できません。

先日、チャールズタウン競馬場とスロットを訪れ、ケンタッキーダービーに賭けました。ヒスパニック系の男性がスロットマシンで6,000ドルという高額配当を当てたのですが、どうやら身分証明書の提示がうまくいっていないようでした。私はカジノに1時間ほど滞在しました。帰り際に彼とすれ違った時、まだマシンのそばに立っていたのですが、彼はまだ身分証明書の提示がうまくいっていないようでした。質問なのですが、彼が（何らかの理由で）身分証明書を持っていなくても、配当を受け取ることはできるのでしょうか？カジノはウェストバージニア州にあります。違法に国内に滞在している人が賭けたり、賭け金を受け取ったりすることは、規則で禁止されているのでしょうか？

John から Ellicott City, MD

これを元賭博規制当局者で現在はカジノ経営者のブライアンに転送しました。彼はこう言いました。

カジノ側は、誰かが不法入国していることを知りません。有効なパスポートを所持していれば、ジャックポットは支払われます。不法入国者はこのことを知らないか、恐れているか、有効な身分証明書を提示できない可能性があります。1,200ドル以上を獲得した場合、税務上の理由から身分証明書の提示が求められます。身分証明書を所持していない場合、ジャックポットは当人が請求するまで保管されます。ほとんどの場合、身分証明書を忘れたという正当な理由ですが、未成年者がギャンブルをしていた場合など、問題が発生することもあります。未成年者が請求しない場合、控除額（ジャックポット）が支払われなかったか、遺棄財産に関する規則が適用されるため、賞金は収益に加算される必要があります。また、米国と同様に、ほとんどの国が世界中の所得に課税します。そのため、米国は複数の国と租税条約を締結し、米国で獲得した賞金を各国政府に源泉徴収または通知することで、米国政府は常に分け前を受け取ることができます。

55,088ハンドのポーカーで、フロップでペアになった回数は2,787回でした。そのうち、セットになった回数は273回です。これは期待値とどう一致しているでしょうか？

Linus から Alingsås, Sweden

ご存じない読者のために説明すると、「セット」とはフロップ後のスリーカード（ポケットペアを含む）のことです。セットが成立しない確率は(48+combin(48,3))/combin(50,3) = 17,344/19600 = 88.49%です。つまり、セットが成立する確率は11.51%です。2,787組のペアのうち、セットが成立する確率は320.8回です。つまり、期待値より47.8セット低いことになります。分散はn × p × (1-p)で、nはハンド数、pはセットが成立する確率です。この場合、分散は2,787 × .1176 × .8824 = 283.86です。標準偏差はその平方根で16.85です。つまり、期待値より47.8/16.85 = 2.84標準偏差低いことになります。この程度かそれ以上の運の確率は、標準正規分布表、または Excel では norsdist(-2.84) = 0.002256、つまり 443 分の 1 として確認できます。