Wizardに尋ねる #197
イギリスとオランダを結ぶフェリーから、こんなひどいルーレットのオッズを見つけました。
- 1 番号: 30対1
- 2つの数字：15対1
- 3つの数字：10対1
- 4つの数字：7対1
- 5つの数字：5対1
- 6つの数字：4対1
フェリーはヨーロッパの2国間を航行しているにもかかわらず、アメリカ式（ダブルゼロ）です。一体どんな確率なのでしょうか？ — スパンキー・マクブルージェイ
あのフェリー運航会社は恥を知れ。ハウスエッジは13.16%から21.05%まで変動し、以下の通りです。
オランダ/イギリスフェリールーレット
| 数字 | 確率 | 支払う | ハウスエッジ |
| 1 | 2.63% | 30 | 18.42% |
| 2 | 5.26% | 15 | 15.79% |
| 3 | 7.89% | 10 | 13.16% |
| 4 | 10.53% | 7 | 15.79% |
| 5 | 13.16% | 5 | 21.05% |
| 6 | 15.79% | 4 | 21.05% |
数字が 38 個ある場合、そのうちの 1 つも当たらない確率は 38 × (37/38) 200 = 18.34% であると誤って言う可能性があります。
これが間違っている理由は、2つの数字が当たらないことを二重にカウントしているからです。そのため、これらの確率を差し引く必要があります。38個の数字のうち、2つの数字の組み合わせは(38,2) = 703通りあります。与えられた2つの数字のうち、当たらないことの確率は(36/38) 200 = 0.000020127です。両方の数字が当たらないことの確率を差し引く必要があります。つまり、次のようになります。
38×(37/38) 200 - 結合(38,2)×(36/38) 200 = 16.9255%。
しかし、これで3つの数字が当たらない確率は打ち消されました。任意の3つの数字のグループについて、1つの数字が当たらない確率を3回計算しました。そして、3つの数字のうち2つを選ぶ方法ごとに3回引き算し、3つの数字すべてが当たらない確率を0とします。このようなグループはcombin(38,3)=8,436通りあります。これらを足し合わせると、以下のようになります。
38×(37/38) 200 - combin(38,2)×(36/38) 200 + combin(38,3)×(35/38) 200 = 16.9862%。
しかし、これで4つの数字が当たらない確率を過剰に数えてしまいました。4つの数字の組み合わせ(38,4)=73,815個は、それぞれ元々4つずつ数えられていました。次に、4つの数字のうち2つが当たる組み合わせ(4,2)=6個をそれぞれ減算しました。そして、4つの数字のうち3つが当たる組み合わせ(4,2)=6個をそれぞれ加算しました。つまり、4つの数字の組み合わせはそれぞれ、4 − 6 + 4 = 2回数えられたことになります。この重複分を調整するには、各グループについて減算する必要があります。これらを減算すると、以下のようになります。
38×(37/38) 200 - combin(38,2)×(36/38) 200 + combin(38,3)×(35/38) 200 - combin(38,4)×(34/38) 200 = 16.9845%。
このプロセスを続けると、37個の数字が外れるまで、足し算と引き算を交互に繰り返していきます。したがって、少なくとも1つの数字が外れない確率は次のようになります。
i=1から37までの合計[(-1) (i+1) × combin(38,i) × ((38-i)/38) 38 ] = 16.9845715651245%
以下は、このような 200 スピン実験を 126,900,000 回ランダムにシミュレーションした結果です。
ルーレット200回スピンでヒットした数字
| ヒット数 | 観察 | 比率 |
|---|---|---|
| 31歳以下 | 0 | 0 |
| 32 | 1 | 0.00000001 |
| 33 | 33 | 0.00000026 |
| 34 | 1812 | 0.00001428 |
| 35 | 68845 | 0.00054251 |
| 36 | 1577029 | 0.01242734 |
| 37 | 19904109 | 0.15684877 |
| 38 | 105348171 | 0.83016683 |
| 合計 | 126900000 | 1 |
少なくとも 1 つの数字がヒットしなかった回数の比率は 0.169833 でした。