Wizardに尋ねる #235

バルト諸国とロシアでプレイされているオアシスポーカーの派生版、「ロイヤルポーカー」を知りました。英語のルールはこちらです。様々な追加ベットに様々なシナリオが追加されており、カジノで見てきた限りでは、プレイヤーを騙し取ってしまうようです。彼らは、どんなにひどい手札でもモンスター級のカードにしようとカードを買い漁っています。このゲームの結果をシミュレートし、ハウスエッジと戦略を導き出すアルゴリズムを考案していただけますか？よろしくお願いします！

Martin から Tallinn

この件について、ますます頻繁に質問を受けるようになりました。残念ながら、このゲームの組み合わせの数はとてつもなく膨大になります。総当たりループプログラムだと、完成までに数千年かかるかもしれません。しかし、優秀なプログラマーなら近道を見つけることができるでしょう。コストとメリットを天秤にかけると、このプロジェクトは時間の無駄だと感じます。もし私がロシアやバルト諸国に住んでいたら、おそらく違った気持ちになっていたでしょう。

他の読者のために、ロイヤルポーカーはカリビアンスタッドポーカーに似たゲームですが、以下のオプションが追加されています。私の理解では、プレイヤーはこれらのオプションのいずれか、またはすべてを選択できますが、オプション2と3の両方を選択することはできません。

プレイヤーが2つのペイハンドを成立させ、その両方がディーラーに勝ち、かつどちらのハンドももう一方のハンドと完全に同じではない場合、両方のハンドが支払われます。アンティとレイズの両方が支払われるかどうかは分かりません。例えば、プレイヤーが6枚のカードを持っていて、ストレートとフラッシュを成立させられる場合、両方のハンドが支払われる可能性があります。
プレイヤーはアンティの価格で 1 ～ 5 枚のカードを交換できます。
プレイヤーはアンティの価格で 6 枚目のカードを購入できます。
ディーラーが4枚の伏せたカードをめくる前に、プレイヤーは「インシュランス」を賭けることができます。ディーラーが条件を満たさなかった場合、インシュランスベットは同額の配当となります。
プレイヤーは、アンティ賭け金の代償として、ディーラーに最も高いカードをデッキ内の次のカードと交換するよう強制することができます。
「AA ボーナス」サイドベットがあり、プレイヤーの最初の 5 枚のカードがエースのペア以上の場合、7 対 1 の配当が支払われます。

AAボーナスのサイドベットとインシュランスオプションは絶対に取るべきではなく、全く価値がないと言えるでしょう。AAボーナスのハウスエッジは12.99%です。以下の表は、ディーラーのアップカードに応じて、インシュランスのハウスエッジが8.57%から33.57%の範囲であることを示しています。

ロシアンポーカーにおける保険

ディーラーのアップカード	組み合わせ	確率	有効期限
あ	132804	0.335714	-0.328571
K	132804	0.335714	-0.328571
質問	108528	0.457143	-0.085714
J	108732	0.456122	-0.087755
10	108936	0.455102	-0.089796
9	109140	0.454082	-0.091837
8	109140	0.454082	-0.091837
7	109140	0.454082	-0.091837
6	109140	0.454082	-0.091837
5	109140	0.454082	-0.091837
4	108936	0.455102	-0.089796
3	108732	0.456122	-0.087755
2	108528	0.457143	-0.085714

オアシスポーカーの私のページでは、カードの交換オプションを追加するだけでハウスエッジが5.22%から1.04%に下がることもわかっています。ダブルペイ、6枚目のカードを保持できる（交換ではなく）、ディーラーにカードの交換を強制するというルールは、適切な戦略を知っていれば、プレイヤーに有利なゲームに発展させるのに役立つと思います。フェルマーの真似をして申し訳ありませんが、現時点ではこれが精一杯です。

追伸：一部のカジノでは、プレイヤーが勝った場合、アンティベットはプッシュのみというルールを追加していると聞きました。これはカジノ側に大きく有利に働き、アドバンテージを帳消しにすると思います。

最近、7,033個の賞品がある抽選に参加しました。当選確率は13分の1だそうです。5枚購入しました。当選確率は実際どれくらいでしょうか？また、高額賞品が40個あるのですが、高額賞品が当たる確率はどれくらいでしょうか？

匿名から Mesa, AZ

話を簡単にするために、チケットを多く買えば買うほど、自分自身と競争することになるため、1枚あたりの価値が下がるという事実は無視しましょう。とはいえ、5枚のチケット全てが外れてしまう確率は(12/13) ⁵ = 67.02%です。つまり、少なくとも1つの賞品が当たる確率は32.98%です。購入前のチケットは合計7033×13=91,429枚あります。そのうち91,429-40=91,389枚は高額賞品ではありません。5枚のチケットで高額賞品が1つも当たらない確率は(91,389/91429) ⁵ = 99.78%です。つまり、少なくとも1つの高額賞品が当たる確率は0.22%、つまり458分の1です。

あなたによると、プレイ時間が長くなるほど、損失はハウスエッジである負の期待値に近づくということですね。では、もし私たちが完全に論理的なプレイヤーであれば、この漸近関数を避けるために、常に資金のすべてを一つの賭けに賭けることになるのでしょうか？これは、Bluejayがvegasclick.comで与えているアドバイスです。

ブルージェイはこう言います。「…プレイ時間が長くなればなるほど負ける可能性が高くなると分かっているなら、プレイ時間が短ければ短いほど勝つ可能性が高くなるということです。そして、プレイできる最短期間はたった1回だけです。つまり、統計的に見て、1回だけ均等額の賭けをして、全財産を一度に賭けるのが最善策なのです…」

オッズの魔法使いはこの推論に同意するでしょうか?

Peter から Sydney

はい、もちろんです！目標が$xの勝ち負けで、イーブンマネーゲームに限定されているなら、イーブンマネーベットを1回だけ行うことでオッズを最大化できます。かつて「ザ・カジノ」という番組で、イーブンマネーベットに限らないものの、実際にそのような状況がありました。そこで私は、通常のゲームで初期資金$1,000から$4,000の勝利を達成するオッズを最大化する方法について相談を受けました。私は彼らに、パスラインに$100、クラップスのオッズに$900を賭けてもらいました。残念ながら、私たちは負けてしまいました。もしその賭けに勝っていたら、目標の$4,000に達するだけの金額を賭けさせていたでしょう。

しかし、楽しみを重視するなら、少額の賭け金を長期間続ける方がより多くの利益を得られるでしょう。単に損失を最小限に抑えたいだけなら、そもそもプレイしない方が良いでしょう。

最近の記事で、ノースカロライナ大学の先発ポイントガード、タイ・ローソンが「僕が負けたのはリノだけだ。その時はチーム全員が負けていた」と発言したことが報じられた。「負けたのはリノだけだ。他の5、6回ギャンブルをした時は、少なくとも500ドルは勝てた」

Ben から Austin, TX

ハウスエッジ（クラップスでは正しくプレイすれば非常に低い）を無視すると、1,000ドルを失う確率と500ドルを獲得する確率は2/3です。5回中4回勝つ確率は、5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9%となります。