ケノ - よくある質問

最初の40個、最後の40個、あるいは任意の40個でn個の数字が出る確率は、combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20)です。したがって、最初の40個（および最後の40個）でちょうど10個の数字が出る確率は、combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243です。どちらかの半分がもう一方よりも多く出る確率は、1-.203243= 0.796757です。特定の半分がもう一方よりも多く出る確率は、この数字の半分、つまり0.398378です。この賭けの配当がイーブンマネーの場合、ハウスエッジは20.32%になります。イーブンベットの配当が3対1の場合、この賭けのハウスエッジは18.70%になります。配当が4対1の場合、プレイヤーのエッジは1.62%になります。オンラインブラックジャックの期待値はプラスで、プレイヤーがプレイすればするほど、純利益を得る確率が高くなります。現在、最も優れたゲームはUnified Gamingのシングルデッキで、プレイヤーエッジは0.16%です。プレイヤーが100万ハンドをフラットベットした場合でも、負ける確率は約8.6%です。Boss Mediaのシングルプレイヤーゲームでは、プレイヤーエッジは0.07%で、100万ハンドプレイ後の負ける確率は約27.5%です。

違いはない。

特定の数字が他の数字よりも可能性が高いとは思えません。私のアドバイスは、何でもいいから選んでください。違いはありません。

プレイするゲームの数に関係なく、全体的な期待リターンは同じです。もちろん、プレイするマシンの数が多いほど、特定の数字が当たる可能性は高くなりますが、すべて外れた場合は損失が大きくなります。

パイゴウポーカーは最も変動率が低く、平均的にはキノが最も変動率が高いです。

ネバダ州、そしておそらくアメリカの他の主要なギャンブル市場では、ボールは完全にランダムで、結果はボールによって決まります。しかし、インディアンカジノで時々見られるクラスIIスロットでは、何でもありです。

タイベットの勝率は、combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243です。配当が3対1の場合、ハウスエッジは18.703%です。表（または裏）ベットの勝率は、(1-0.20343)/2 = 0.398378です。配当がイーブンマネーの場合、ハウスエッジは20.324%です。

褒め言葉はどこへでも通じます。n回表が出る組み合わせの数は、 combin (40,n)*combin(40,20-n)です。これは、上位40個からn個、下位40個から20-n個を選ぶ方法の数です。次の表は、0回から20回表が出る確率を示しています。

20個すべて出る確率は、combin(80,20) = 3,535,316,142,212,180,000 で 1 です。つまり、確率は 350京分の1 程度です。地球上に50億人がいて、全員が週に一度プレイすると仮定すると、平均して1356万年に1人の勝者が出ることになります。ほとんどのカジノでは、20個近く出ると同額の賞金が支払われます。例えば、ラスベガスのヒルトンホテルは、20個中17個以上出ると2万ドルを支払います。20個中20個出たという話は聞いたことがありませんし、実際にあったかどうかも疑わしいです。

同意しません。ストリップ沿いの主要カジノでキノラウンジがないところは一つも思い当たりません。一般的に、キノがないカジノはラスベガス郊外の地元のカジノくらいです。なぜなら、地元の人のほとんどはキノがバカげたゲームだということを知っているからです。

追伸：後日、読者から訂正のメールがあり、ラスベガスのニューヨーク・ニューヨーク・カジノがキノ・ラウンジを撤去したとのことでした。

あなたが幸せであることを願います。私はこれに一日中費やしました。書いてシミュレーションを実行した結果、3 行に 11 個以上のマークが含まれる確率は 86.96% であることがわかりました。これは、反対側に戦うチャンスすら与えていません。マークを 12 個まで増やしても、勝率は 53.68% のままで、7.36% のアドバンテージがあります。ただし、空の行に賭けるというあなたの立場は間違っていると思います。空の行が少なくとも 1 つある確率はわずか 33.39% なので、空の行がないという立場を取った方が良いでしょう。ついでに、他の多くの確率を計算して、キノのプロップの新しいページにまとめました。そのページから、これらの賭けとその他の良い等額ベットのリストを以下に示します。良い側がリストされています。

ライブキノと同様に、何を選んでもオッズは同じですが、ゲームで出るボールとは関係ありません。

これは実はかなり難しい問題です。4つのボールのうち、どれか1つが選ばれる回数（重複も含む）の確率を求めるのは簡単です。難しいのは、どの選択肢もy回選ばれたと仮定した場合、x通りの選択肢が選ばれる確率を求めることです。解答と解法は、 MathProblems.infoのページ、問題205に掲載しています。

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キノに例えると、誰もが40個の遺伝子を持ち、それぞれがキノのボールで表現されます。ただし、それぞれのボールには固有の番号が振られています。血縁関係のない二人が交配すると、それは二人で80個のボールをホッパーに集め、交配によって生まれた子孫のために40個の遺伝子をランダムに選択するようなものです。

つまり、あなたが受胎した時、あなたはホッパーに入っていたボールの半分を受け取り、残りの半分は無駄になりました。あなたの兄弟姉妹が受胎した時、彼または彼女はあなたが生まれた時に抽選されたボールの半分を受け取り、残りの半分は抽選されなかったボールを受け取りました。つまり、あなたは遺伝的に50%同一です。これは、キノで40個の数字が抽選された場合、2回連続して抽選されると平均20個のボールが共通するのと同じ理由です。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

他の読者の皆様へお知らせです。クレオパトラ・キノは通常のキノと同じようにプレイできますが、最後に引かれたボールがプレイヤーの選んだ数字と一致し、かつ勝利した場合、プレイヤーは2倍のマルチプライヤーで12回のフリーゲームを獲得できます。フリーゲームでさらにフリーゲームを獲得することはできません。

ピック数や配当表が指定されていないため、3-10-56-180-1000のピック8配当表を例として使用しましょう。まずはリターンを計算してみましょう。

キノでy個のボールの中からx個のボールを選ぶ方法は、20個の中からx個、60個の中からyx個を選ぶ方法と同じです。Excelで表すと、combin(20,x)*combin(60,yx)となります。さらに、combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!) となります。つまり、x! = 1*2*3*...*x となります。

確認はここまでにして、このペイテーブルのリターン表をご覧ください。右の列には、後で必要になる勝利の期待値（平方）が表示されています。

次に、平均ボーナスを計算してみましょう。上の表から、ボーナスを除いた平均勝利金は0.593301であることがわかります。ボーナスでは、プレイヤーは12回の2倍フリースピンを獲得します。したがって、ボーナスからの期待勝利金は2×12×0.593301 = 14.239212となります。

次に、ボーナス当選確率を計算してみましょう。プレイヤーが4つの数字を当てた場合、20番目のボールがそれらの4つの数字のいずれかである確率は4/20です。一般的に、プレイヤーがcを当てた場合、20番目のボールが当選に貢献する確率はc/20です。

ボーナス獲得の確率式は、確率(キャッチ4)*(4/20) + 確率(キャッチ5)*(5/20) + 確率(キャッチ6)*(6/20) + 確率(キャッチ7)*(7/20) + 確率(キャッチ8)*(8/20)です。上記のリターン表から、各勝利の確率が分かります。したがって、ボーナス獲得の確率は以下のとおりです。

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644。

ボーナスを獲得する確率と平均ボーナス獲得額から、ボーナスからのリターンは 0.021644 × 14.239212 = 0.308198 と計算できます。

知る必要はありませんが、ゲームの全体的なリターンは、ベースゲームからのリターンとボーナスからのリターンを足したもので、0.593301 + 0.308198 = 0.901498 になります。

さて、実際の分散について見ていきましょう。念のため、分散に関する一般的な公式は次のとおりです。

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y) となります。ここで、var は分散、cov は共分散を表します。このゲームの場合、

総分散 = var(ベースゲーム) + var(ボーナス) + 2*cov(ベースゲームとボーナス)。

分散の基本式はE(x^2) - [E(x)]^2です。言い換えれば、期待勝利数の二乗から期待勝利数の二乗を引いた値です。

では、まずはベースゲームの分散から見ていきましょう。先ほど、最初の表から期待勝利額の二乗値が必要になると言いましたね。最初の表の右下のセルには、期待勝利額の二乗値が19.530214と表示されています。期待勝利額は0.593301であることは既に分かっています。したがって、ベースゲームの分散値は19.530214 - 0.593301 ² = 19.178208となります。

次に、ボーナスの分散を計算してみましょう（すでにボーナスを獲得していると仮定します）。そのためには、以下の点を思い出してください。

var(ax) = a ² x、ここで a は定数です。

また、n 個のランダム変数 x の分散は nx であることも思い出してください。

ただし、ボーナスゲームの基本勝利数をxとすると、ボーナス全体の分散は2 ² × 12 × xとなります。前述の通り、ボーナスを除いたベースゲーム1回のスピンの分散は19.178208です。したがって、ボーナスが既に当選している場合、ボーナス全体の分散は2 ² × 12 × 19.178208 = 920.554000となります。

しかし、ここで知っておくべきなのは、最初のボールが引かれる前のボーナスの分散であり、ボーナスが全く当たらない可能性も含みます。ボーナスの分散に当選確率を掛け合わせるだけではだめです。代わりに、var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 を思い出してください。これを次のように整理してみましょう。

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

ボーナスの平均と分散はわかっているので、ボーナスで予想される勝利額の二乗は、920.554000 + 19.178208 ² = 1123.309169 となります。

したがって、最初のボールが抽選される前のボーナスからの勝利の期待二乗は、prob(ボーナス) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239 です。

ボーナスからの期待勝利額は、最初のボールが出る前は0.308198と既に計算しました。したがって、最初のボールが出る前のボーナスの全体的な分散は、24.313239 - 0.308198 ² = 24.218253となります。

次のステップは共分散を計算することです。「なぜ基本配当とボーナス配当に相関関係があるのですか？」と疑問に思うかもしれません。ボーナスを発動させるには、最後のボールが配当に貢献している必要があるからです。最後のボールが配当に貢献していると仮定すると、平均配当は増加します。ちなみに、ベイズの条件確率の公式は次のようになります。

P(A が B を与えられた場合) = P(A と B)/P(B)。

最後のボールがヒットだったことを前提に、ベース ゲームのリターン テーブルをやり直してみましょう。

右下のセルは、最後のボールがヒットだったと仮定すると、平均勝利は 6.757734 であることを示しています。

次に、大学の統計学の授業で学んだ次のことを思い出してください。

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) 。

この例では、x = ベースゲームの勝利、y = ボーナスゲームの勝利とします。まずは exp(xy) について考えてみましょう。

Exp(xy) = 確率(ボーナス獲得)*(ボーナス獲得時のベースゲームの平均勝利数)*平均(ボーナス勝利数) + 確率(ボーナス未獲得)*(ボーナス未獲得時のベースゲームの平均勝利数)*平均(ボーナス未獲得時のボーナス勝利数)。平均(ボーナス未獲得時のボーナス勝利数) = 0 と簡単に言えるので、次のように書き直すことができます。

Exp(xy) = prob(ボーナス獲得)*(ボーナス獲得時のベースゲームの平均勝利)*平均(ボーナス勝利) =

E(x)とE(y)はすでに解いているので、共分散は次のようになります。

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865。

共分散が関係する場合の分散の全体的な方程式に戻りましょう。

総分散 = var(ベースゲーム) + var(ボーナス) + 2*cov(ベースゲームとボーナス) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191。標準偏差はその平方根で、6.869948となります。

ということで、どうぞ。これは何時間もかかったので、気に入っていただけたら嬉しいです。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。

調べてみると、これはサイドベットではなく、ピック20チケットでゼロが出た場合に支払われる金額であることがわかりました。以下は、ステーションカジノのピック20チケットに関する私の完全な分析です。

右下のセルには、チケットの全体的なリターンが 69.70% であることが示されています。これはライブ キノでは典型的な値です。

0 をキャッチすることについての質問に答えると、確率の列にはその確率が 0.001186 であることが示されており、1 で 200 の勝利の場合、リターンに対して 23.71% が返されます。

以下の表は、組み合わせの数、確率、そして最低のボールへの寄与度（ボールと確率の積）を示しています。右下のセルは、期待される最低のボールが9.1818182であることを示しています。

このような、最も低いボールが1である問題を解くには、もっと簡単な方法があります。最も低いボールの公式は(m+1)/(b+1)です。ここで、mはボールの最大値、bはボールの数です。この場合、m=100、n=10なので、最も低いボールは101/11 = 9.181818となります。

この質問は、 Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。