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ビンゴの確率

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導入

このページは、ビンゴの確率に関する私のメインページの続編です。

このドキュメントのすべてのテーブルは、24 枚の数字カード (およびフリー スクエア) と 75 個のボールに基づくアメリカン ビンゴに基づいています。

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平均ボール数

次の表は、ゲームの種類とカードの数別に、平均で引かれたボールの数を示しています。

平均ボール数

ゲームカード
2000 4000 6000 8000 10000
シングルビンゴ8.62 8.05 7.82 7.71 7.56
ダブルビンゴ19.32 18.04 17.22 16.79 16.53
トリプルビンゴ27.13 25.77 25.03 24.49 24.08
シングルハードウェイ11.41 10.33 9.79 9.49 9.36
ダブルハードウェイ24.56 23.07 22.25 21.76 21.28
トリプルハードウェイ33.44 31.95 31.09 30.64 30.02
シックスパック9.51 8.9 8.55 8.37 8.26
9パック21.79 20.27 19.6 18.95 18.65
カバーオール57.57 56.38 55.56 55.08 54.79

ジャックポットシェア

カバーオールを含むすべてのビンゴゲームでは、タイがよく見られます。カードの枚数が多いほど、またパターンをカバーしやすいほど、タイが多くなります。以下の表は、パターンとカードの枚数に応じて、ビンゴと判定する人の平均人数を示しています。HWはHard Way（ハードウェイ）の略で、プレイヤーがフリースクエアを利用できないことを意味します。

ビンゴを予想するプレイヤー数

ゲームカード
2000 4000 6000 8000 10000
シングルビンゴ2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
ダブルビンゴ1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
トリプルビンゴ1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
シングルHWビンゴ1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
ダブルHWビンゴ1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
トリプルHWビンゴ1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
シックスパック1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
9パック1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
カバーオール1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

ビンゴで大きな不満となるのは、ジャックポットを分け合わなければならないことです。私見では、多くのプレイヤーは、同時にビンゴをしている他のプレイヤーの人数に関わらず、ジャックポットを全額受け取るために保険料を支払うでしょう。上記の表は、このようなジャックポット分け合い保険の適正な保険料の算出に使用できます。例えば、10,000枚のカードを使ったカバーオールゲームでは、当選者の予想数は1.38人です。ジャックポット分け合い保険の適正な保険料は、カード1枚あたりの価格の38%となります。

ジャックポット分配保険というコンセプトは特許出願中です。ビンゴパーラーの皆様にこのコンセプトを試していただければ幸いです。ご興味をお持ちいただけましたら、ぜひご連絡ください。

次の表は、指定されたボール数とプレイ中のカード枚数でカバーオールがヒットする確率を示しています。例えば、6000枚のカードでカバーオールがちょうど50ボールでヒットする確率は0.012944です。最後の行は、サンプルサイズ内のセッション数を示しています。

カバーオールで抽選されるボールの平均数

ゲームカード
2000 4000 6000 8000 10000
40以下0 0 0 0 0
41 0 0.00004 0 0.00009 0
42 0.00004 0.00004 0.000063 0 0.000112
43 0 0.00004 0 0.00018 0.000112
44 0.00004 0.00028 0.000127 0.00027 0.000448
45 0.00012 0.00048 0.000508 0.00054 0.00056
46 0.000241 0.00048 0.000952 0.000989 0.001121
47 0.000482 0.001039 0.002284 0.003238 0.002914
48 0.001084 0.002118 0.003617 0.004047 0.005155
49 0.002571 0.004077 0.006409 0.010073 0.012104
50 0.004338 0.008593 0.012944 0.017178 0.020733
51 0.008274 0.015508 0.022525 0.0286 0.035974
52 0.014018 0.028338 0.043464 0.053422 0.065785
53 0.026148 0.049043 0.071447 0.087418 0.101984
54 0.042355 0.081418 0.113135 0.135264 0.151294
55 0.073263 0.124625 0.153934 0.179243 0.19489
56 0.10865 0.167073 0.187056 0.194622 0.194329
57 0.152692 0.190495 0.186485 0.161435 0.132691
58 0.180025 0.168832 0.124492 0.089756 0.06119
59 0.179945 0.108318 0.056091 0.02797 0.016026
60 0.128853 0.03969 0.012437 0.005216 0.002466
61 0.059245 0.008194 0.002094 0.00054 0.000336
62 0.015344 0.001319 0 0.00009 0
63 0.002229 0.00008 0 0。00009 0
64 0.00008 0 0 0 0
65歳以上0 0 0 0 0
合計1 1 1 1 1
平均57.57741 56.316 55.594289 55.12672 54.768912
サンプルサイズ49793 25019 15760 11119 8923

一方向パターンの確率密度

次の3つの表は、4～24個のマークからなる「片道」パターンを、正確なコール回数に応じてカバーする確率を示しています。この表は、パターンを形成する方法が1つしかない場合にのみ有効です。例えば、切手サイズのパターンを正確に50回コールしてカバーする確率は1.52%です。このパターンは、カードの右上隅の4つの数字をカバーすると定義されています。例えば、プレイヤーがどの隅の4つの数字もカバーできる場合、この表は有効ではありません。

4～10個のマークパターンを正確にカバーする確率をコール数で拡張

通話4マーク5マーク6マーク7マーク8マーク9マーク10マーク
4 0.000000823 0 0 0 0 0 0
5 0.000003291 0.000000058 0 0 0 0 0
6 0.000008227 0.00000029 0.000000005 0 0 0 0
7 0.000016455 0.000000869 0.00000003 0.000000001 0 0 0
8 0.000028796 0.000002028 0.000000104 0.000000004 0 0 0
9 0.000046073 0.000004056 0.000000278 0.000000014 0 0 0
10 0.00006911 0.0000073 0.000000626 0.000000042 0.000000002 0 0
11 0.000098729 0.000012167 0.000001251 0.000000106 0.000000007 0 0
12 0.000135752 0.00001912 0.000002294 0.000000233 0.00000002 0.000000001 0
13 0.000181003 0.00002868 0.000003933 0.000000466 0.000000047 0.000000004 0
14 0.000235304 0.000041427 0.000006392 0.000000865 0.000000102 0.00000001 0.000000001
15 0.000299478 0.000057997 0.000009942 0.000001513 0.000000203 0.000000024 0.000000002
16 0.000374347 0.000079087 0.000014914 0.000002522 0.000000381 0.000000051 0.000000006
17 0.000460735 0.00010545 0.000021693 0.000004035 0.000000678 0.000000102 0.000000014
18 0.000559464 0.000137896 0.000030731 0.000006235 0.000001153 0.000000194 0.000000029
19 0.000671356 0.000177295 0.000042551 0.000009353 0.000001886 0.000000348 0.000000059
20 0.000797236 0.000224573 0.000057747 0.00001367 0.000002987 0.000000602 0.000000111
21 0.000937924 0.000280717 0.000076997 0.000019528 0.000004595 0.000001003 0.000000203
22 0.001094245 0。000346768 0.000101058 0.000027339 0.000006892 0.00000162 0.000000355
23 0.00126702 0.000423827 0.000130781 0.000037592 0.000010109 0.000002546 0.0000006
24 0.001457074 0.000513054 0.000167109 0.000050859 0.000014531 0.000003904 0.000000986
25 0.001665227 0.000615665 0.000211085 0.000067812 0.000020515 0.000005856 0.000001577
26 0.001892303 0.000732934 0.000263856 0.000089227 0.000028493 0.000008612 0.000002465
27 0.002139125 0.000866195 0.000326679 0.000115995 0.00003899 0.000012439 0.000003769
28 0.002406516 0.001016838 0.000400925 0.000149136 0.000052636 0.000017676 0.000005654
29 0.002695298 0.001186311 0.000488082 0.00018981 0.000070182 0.000024747 0.000008332
30 0.003006294 0.00137612 0.000589766 0.000239325 0.000092512 0.000034174 0.000012082
31 0.003340327 0.001587831 0.000707719 0.000299157 0.000120668 0.000046601 0.00001726
32 0.003698219 0.001823066 0.000843819 0.000370954 0.000155863 0.000062811 0.000024321
33 0.004080793 0.002083504 0.001000082 0.000456559 0.000199505 0.000083747 0.000033837
34 0.004488872 0.002370883 0.001178668 0.000558017 0.000253218 0.000110546 0.000046526
35 0.004923279 0.002687001 0.001381886 0.000677592 0.000318867 0.000144561 0.000063276
36 0.005384837 0.003033711 0.001612201 0.000817783 0.000398583 0.000187394 0.000085179
37 0.005874368 0.003412925 0.001872233 0.00098134 0.000494793 0.000240935 0.000113572
38 0.006392694 0.003826613 0.002164769 0.001171276 0.000610245 0.000307399 0.000150077
39 0.006940639 0.004276802 0.002492765 0.001390891 0.000748042 0.000389373 0.000196653
40 0.007519026 0.00476558 0.002859348 0.00164378 0.000911676 0.000489856 0.000255649
41 0.008128677 0.005295089 0.003267826 0.001933858 0.001105062 0.00061232 0.000329869
42 0.008770414 0.005867531 0.003721691 0.002265377 0.001332575 0.000760761 0.000422645
43 0.009445061 0.006485165 0.004224622 0.00264294 0.00159909 0.000939764 0.000537912
44 0.010153441 0.007150311 0.004780493 0.003071525 0.001910024 0.001154567 0.0006803
45 0.010896376 0.007865342 0.005393377 0.003556502 0.00227138 0.001411137 0。000855235
46 0.011674688 0.008632692 0.006067549 0.004103657 0.002689792 0.001716248 0.001069043
47 0.012489202 0.009454853 0.006807494 0.004719205 0.003172575 0.002077563 0.001329081
48 0.013340738 0.010334375 0.00761791 0.00540982 0.003727775 0.00250373 0.001643863
49 0.014230121 0.011273863 0.008503714 0.006182652 0.004364225 0.003004476 0.002023216
50 0.015158172 0.012275984 0.009470045 0.007045347 0.005091596 0.003590715 0.00247844
51 0.016125715 0.013343461 0.010522272 0.008006077 0.00592046 0.004274661 0.003022487
52 0.017133572 0.014479075 0.011665997 0.009073554 0.006862351 0.005069946 0.003670163
53 0.018182566 0.015685664 0.012907061 0.010257061 0.007929828 0.005991755 0.004438337
54 0.01927352 0.016966127 0.014251547 0.011566473 0.009136541 0.007056955 0.005346178
55 0.020407257 0.018323417 0.015705786 0.013012282 0.010497303 0.008284252 0.006415414
56 0.021584598 0.019760548 0.017276365 0.014605622 0.012028159 0.009694338 0.007670604
57 0.022806368 0.02128059 0.018970126 0.016358297 0.013746468 0.01131006 0.009139443
58 0.024073388 0.022886672 0.020794176 0.018282802 0.015670974 0.013156601 0.010853088
59 0.025386482 0.024581981 0.022755891 0.020392357 0.017821891 0.015261657 0.012846513
60 0.026746472 0.026369762 0.024862918 0.022700925 0.020220992 0.017655642 0.015158885
61 0.028154182 0.028253316 0.027123183 0.02522325 0.022891689 0.020371895 0.017833982
62 0.029610432 0.030236005 0.029544896 0.027974878 0.025859131 0.023446898 0.020920633
63 0.031116048 0.032321247 0.032136554 0.030972186 0.029150293 0.026920513 0.024473193
64 0.03267185 0.034512518 0.034906946 0.034232416 0.032794079 0.030836224 0.028552059
65 0.034278662 0.036813352 0.037865162 0.0377737 0.036821422 0.035241398 0.033224214
66 0.035937307 0.039227342 0.041020592 0.041615094 0.041265387 0.04018756 0.03856382
67 0.037648608 0.041758139 0.044382936 0.045776603 0.04616128 0.045730671 0.044652844
68 0.039413386 0.044409449 0.047962205 0.05027922 0.051546763 0.05193144 0.051581734
69 0.041232465 0.04718504 0.051768729 0。055144951 0.057461965 0.058855632 0.059450134
70 0.043106668 0.050088734 0.055813161 0.060396851 0.063949607 0.066574404 0.068367654
71 0.045036818 0.053124415 0.060106481 0.066059055 0.071055118 0.07516465 0.078454685
72 0.047023736 0.056296022 0.064660002 0.072156814 0.078826772 0.084709367 0.089843268
73 0.049068246 0.059607553 0.069485376 0.078716525 0.087315809 0.095298038 0.10267802
74 0.051171171 0.063063063 0.074594595 0.085765766 0.096576577 0.107027027 0.117117117
75 0.053333333 0.066666667 0.08 0.093333333 0.106666667 0.12 0.133333333
合計1 1 1 1 1 1 1

11～17マークパターンを正確にカバーする確率（コール数による）

通話11マーク12マーク13マーク14マーク15マーク16マーク17マーク
11 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0
16 0.000000001 0 0 0 0 0 0
17 0.000000002 0 0 0 0 0 0
18 0.000000004 0 0 0 0 0 0
19 0.000000009 0.000000001 0 0 0 0 0
20 0.000000019 0.000000003 0 0 0 0 0
21 0.000000038 0.000000006 0.000000001 0 0 0 0
22 0.000000072 0.000000014 0.000000002 0 0 0 0
23 0.000000132 0.000000027 0.000000005 0.000000001 0 0 0
24 0.000000234 0.000000052 0.000000011 0.000000002 0 0 0
25 0.0000004 0.000000096 0.000000021 0.000000004 0.000000001 0 0
26 0.000000667 0.000000171 0.000000041 0.000000009 0.000000002 0 0
27 0.000001084 0.000000296 0.000000076 0.000000019 0.000000004 0.000000001 0
28 0.000001722 0.000000499 0.000000137 0.000000036 0.000000009 0.000000002 0
29 0.000002679 0.000000822 0.00000024 0.000000067 0.000000018 0.000000004 0.000000001
30 0.000004089 0.000001324 0.00000041 0.000000121 0.000000034 0.000000009 0.000000002
31 0.000006134 0.000002091 0.000000683 0.000000214 0.000000064 0.000000018 0.000000005
32 0.000009055 0.000003241 0.000001115 0.000000368 0.000000116 0.000000035 0.00000001
33 0.000013171 0.000004939 0.000001784 0.00000062 0.000000207 0.000000066 0.00000002
34 0.000018897 0.000007408 0.000002803 0。000001022 0.000000359 0.000000121 0.000000039
35 0.000026771 0.000010952 0.000004331 0.000001655 0.000000611 0.000000217 0.000000074
36 0.000037479 0.000015971 0.000006591 0.000002633 0.000001018 0.00000038 0.000000137
37 0.000051894 0.000022998 0.000009887 0.000004122 0.000001665 0.000000651 0.000000246
38 0.000071113 0.000032728 0.000014633 0.000006354 0.000002679 0.000001095 0.000000434
39 0.000096511 0.000046062 0.000021386 0.000009658 0.000004241 0.000001809 0.000000749
40 0.000129791 0.000064158 0.000030891 0.000014487 0.000006616 0.00000294 0.000001271
41 0.000173054 0.000088494 0.00004413 0.000021463 0.000010178 0.000004705 0.000002118
42 0.000228879 0.000120941 0.00006239 0.000031427 0.000015456 0.000007419 0.000003474
43 0.000300403 0.000163856 0.000087347 0.000045516 0.000023184 0.000011541 0.000005611
44 0.000391434 0.000220182 0.000121158 0.000065239 0.000034377 0.000017723 0.000008937
45 0.000506562 0.000293576 0.000166593 0.000092597 0.000050419 0.00002689 0.000014043
46 0.000651294 0.000388556 0.000227172 0.000130215 0.000073189 0.000040335 0.000021791
47 0.000832209 0.000510674 0.00030735 0.000181512 0.000105209 0.000059852 0.000033413
48 0.00105713 0.000666713 0.000412727 0.000250913 0.000149843 0.000087908 0.000050659
49 0.001335323 0.000864925 0.000550303 0.00034411 0.000211543 0.000127866 0.000075988
50 0.001677713 0.001115298 0.000728779 0.000468372 0.00029616 0.000184277 0.000112831
51 0.002097141 0.001429869 0.00095892 0.000632935 0.000411334 0.000263253 0.000165928
52 0.002608639 0.001823083 0.001253972 0.000849465 0.000566973 0.000372942 0.00024178
53 0.003229744 0.002312203 0.001630164 0.00113262 0.000775858 0.000524135 0.000349238
54 0.003980847 0.00291778 0.002107285 0.001500722 0.001054371 0.000731031 0.00050026
55 0.004885585 0.003664188 0.002709367 0.00197656 0.001423401 0.001012196 0.000710896
56 0.00597127 0.004580236 0.003465469 0.002588353 0.001909441 0.00139177 0.001002546
57 0.007269372 0.005699849 0.004410597 0.003370878 0.002545921 0.001900954 0.001403565
58 0。008816047 0.007062856 0.005586756 0.00436682 0.003374825 0.002579867 0.001951297
59 0.010652724 0.008715865 0.007044171 0.005628345 0.004448633 0.00347982 0.002694649
60 0.012826749 0.01071325 0.008842683 0.007218964 0.005832653 0.004666122 0.003697309
61 0.015392099 0.013118266 0.011053354 0.009215699 0.007607808 0.006221496 0.005041785
62 0.018410157 0.016004284 0.013760297 0.011711618 0.009873964 0.008250245 0.006834419
63 0.021950572 0.019456189 0.017062769 0.014818782 0.01275387 0.010883302 0.009211608
64 0.026092189 0.023571921 0.021077538 0.018671665 0.016397832 0.014284334 0.012347475
65 0.030924076 0.028464206 0.025941585 0.023431109 0.020989225 0.018657089 0.0164633
66 0.036546635 0.034262471 0.031815151 0.029288886 0.026750973 0.024254216 0.021839072
67 0.04307282 0.041114965 0.038885185 0.036472953 0.033953159 0.031387809 0.028827574
68 0.050629456 0.049191119 0.047369225 0.045253478 0.042921917 0.040441984 0.037871519
69 0.059358672 0.058684142 0.057519774 0.055949755 0.054049822 0.051887829 0.049524294
70 0.069419464 0.069813893 0.0696292 0.068938091 0.067807958 0.066301115 0.064475025
71 0.080989374 0.082830042 0.084035241 0.084660814 0.084759948 0.084383237 0.083578736
72 0.094266321 0.09801555 0.101127155 0.103636513 0.105578181 0.10698589 0.10789255
73 0.109470566 0.115690485 0.121352585 0.126471677 0.131062569 0.135140072 0.138718993
74 0.126846847 0.136216216 0.145225225 0.153873874 0.162162162 0.17009009 0.177657658
75 0.146666667 0.16 0.173333333 0.186666667 0.2 0.213333333 0.226666667
合計1 1 1 1 1 1 1

18～24個のマークパターンを正確にカバーする確率（コール数による）

通話18マーク19マーク20マーク21マーク22マーク23マーク24マーク
18 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0
26 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0 0 0
30 0.000000001 0 0 0 0 0 0
31 0.000000001 0 0 0 0 0 0
32 0.000000003 0.000000001 0 0 0 0 0
33 0.000000006 0.000000002 0 0 0 0 0
34 0.000000012 0.000000004 0.000000001 0 0 0 0
35 0.000000024 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0 0 0
36 0.000000047 0.000000016 0.000000005 0.000000002 0 0 0
37 0.00000009 0.000000032 0.000000011 0.000000003 0.000000001 0 0
38 0.000000166 0.000000062 0.000000022 0.000000008 0.000000002 0.000000001 0
39 0.000000301 0.000000117 0.000000044 0.000000016 0.000000006 0.000000002 0.000000001
40 0.000000534 0.000000217 0.000000086 0.000000033 0.000000012 0.000000004 0.000000001
41 0.000000928 0.000000395 0.000000163 0.000000066 0.000000025 0.00000001 0.000000003
42 0.000001585 0.000000705 0.000000305 0.000000128 0.000000052 0.000000021 0.000000008
43 0.000002663 0.000001233 0.000000556 0。000000244 0.000000104 0.000000043 0.000000017
44 0.000004405 0.000002121 0.000000997 0.000000457 0.000000204 0.000000088 0.000000037
45 0.000007178 0.000003589 0.000001754 0.000000837 0.00000039 0.000000177 0.000000078
46 0.000011537 0.000005982 0.000003036 0.000001507 0.000000731 0.000000346 0.00000016
47 0.000018299 0.000009827 0.000005172 0.000002666 0.000001345 0.000000663 0.000000319
48 0.000028669 0.000015927 0.000008682 0.000004641 0.000002431 0.000001247 0.000000625
49 0.000044391 0.000025484 0.00001437 0.000007956 0.000004322 0.000002302 0.000001201
50 0.000067973 0.00004028 0.000023472 0.000013443 0.000007563 0.000004177 0.000002263
51 0.00010299 0.000062938 0.000037858 0.000022405 0.00001304 0.000007459 0.000004191
52 0.000154484 0.000097268 0.000060335 0.000036859 0.000022168 0.000013118 0.000007634
53 0.00022952 0.000148763 0.000095074 0.000059897 0.000037184 0.000022738 0.000013688
54 0.000337904 0.000225269 0.000148204 0.000096198 0.000061587 0.000038875 0.000024183
55 0.000493157 0.000337904 0.000228657 0.000152784 0.000100778 0.000065601 0.000042125
56 0.00071378 0.00050229 0.000349337 0.00024009 0.000163024 0.000109335 0.000072402
57 0.001024915 0.000740217 0.000528726 0.000373473 0.000260838 0.000180081 0.000122865
58 0.001460505 0.001081855 0.000793089 0.00057535 0.000412994 0.000293275 0.000205979
59 0.00206608 0.00156869 0.001179466 0.000878166 0.000647396 0.000472499 0.000341337
60 0.00290235 0.002257383 0.001739713 0.001328508 0.001005167 0.000753444 0.000559414
61 0.00404979 0.003224833 0.002545921 0.001992762 0.001546411 0.001189649 0.000907157
62 0.005614482 0.004574763 0.003697647 0.002964841 0.002358277 0.001860733 0.001456226
63 0.007735509 0.006446257 0.005331491 0.004376669 0.003566175 0.002884136 0.002315026
64 0.010594284 0.00902476 0.007633726 0.00641233 0.005349263 0.004431722 0.003646166
65 0.014426259 0.012556188 0.010856855 0.009327025 0.007961693 0.0067531 0.005691576
66 0.019535559 0.017364941 0.015341207 0.013472369 0.011761592 0.010208175 0.008808391
67 0。026313202 0.023876794 0.021542972 0.019329921 0.017250336 0.015312262 0.013519857
68 0.03525969 0.032647861 0.030070399 0.02755542 0.025125489 0.022798256 0.020587054
69 0.047012921 0.044401092 0.041730349 0.039036845 0.036351771 0.03370177 0.031109327
70 0.062382529 0.060072065 0.057587882 0.054970251 0.052255671 0.049477067 0.04666399
71 0.08239202 0.080866242 0.079042191 0.076958351 0.074650958 0.072154056 0.069499559
72 0.108330248 0.108330248 0.107922991 0.107138097 0.106004361 0.104549755 0.102801432
73 0.141814143 0.144440331 0.146612366 0.148345057 0.149653215 0.150551648 0.151055165
74 0.184864865 0.191711712 0.198198198 0.204324324 0.21009009 0.215495495 0.220540541
75 0.24 0.253333333 0.266666667 0.28 0.293333333 0.306666667 0.32
合計1 1 1 1 1 1 1

カバーパターンの平均呼び出し回数

次の表は、1～24点のパターンをカバーするための平均コール数を示しています。この表は、パターンをカバーする方法が1つしかない場合にのみ有効です。

xマークのパターンをカバーするための期待コール

マークス期待される
通話
1 38
2 50.666667
3 57
4 60.8
5 63.333333
6 65.142857
7 66.5
8 67.555556
9 68.4
10 69.090909
11 69.666667
12 70.153846
13 70.571429
14 70.933333
15 71.25
16 71.529412
17 71.777778
18 72
19 72.2
20 72.380952
21 72.545455
22 72.695652
23 72.833333
24 72.96

マルチプレイヤービンゴ

次の3つの表は、マルチプレイヤービンゴに関するものです。1人のプレイヤーがx回のコールでビンゴを達成する確率がpである場合、n人のうち少なくとも1人のプレイヤーがビンゴを達成する確率は1-(1-p) nであると言うのは正確ではありません。これは、カード間の当選確率が相関しているためです。すべてのハードには、1から15、16から30、46から60、61から75の範囲の数字が5つ、さらに31から45の範囲の数字が4つ含まれている必要があるためです。上記の表は正確な確率を用いて計算されましたが、マルチプレイヤーテーブルはランダムシミュレーションによって決定されました。

次の表は、プレイ中のカードの枚数に応じて、4回から31回のコールでビンゴが出る確率を示しています。例えば、200枚のカードを使ったゲームで、15回のコールで最初のビンゴが出る確率は11.77%です。この表はランダムシミュレーションに基づいています。非常に低い確率は、サンプル中のわずか1回の発生に基づいている可能性があるため、鵜呑みにしないでください。

呼び出し回数によるビンゴの確率

通話100枚のカード200枚のカード500枚のカード1000枚のカード
4 0.000333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.001341463 0.002625 0.006396723 0.011673257
6 0.003404038 0.006691083 0.015624365 0.028503103
7 0.006963215 0.013373607 0.03056466 0.054277042
8 0.012340564 0.023433519 0.051918191 0.086568549
9 0.019871351 0.037010947 0.076838161 0.120499356
10 0.029717013 0.053648288 0.103894182 0.145935527
11 0.041651539 0.072544586 0.126298908 0.15385821
12 0.055417233 0.091149084 0.13820249 0.140720391
13 0.069777089 0.107159236 0.13611471 0.110260937
14 0.08362415 0.116721736 0.117300559 0.072856976
15 0.095122551 0.11774383 0.087937627 0.040533943
16 0.102117953 0.108574045 0.056048018 0.018943822
17 0.103352359 0.090687301 0.030212144 0.00801996
18 0.097540284 0.067779658 0.013738567 0.003046216
19 0.085478209 0.044590565 0.005132749 0.000995289
20 0.069016393 0.025538416 0.001649517 0.000279221
21 0.050929028 0.012566083 0.00046875 0.000039631
22 0.033866054 0.005165804 0.000095274 0.000004504
23 0.02017523 0.001741441 0.000016514 0.000000901
24 0.010526889 0.000481091 0.000002541 0
25 0.00477439 0.000112858 0 0
26 0.001839564 0.000019506 0 0
27 0.000604958 0.000002588 0 0
28 0.00017433 0.000000597 0 0
29 0。000033287 0 0 0
30 0.000007197 0 0 0
31 0.0000005 0 0 0
合計1 1 1 1

次の表は、プレイ中のカードの枚数に応じて、4回から31回以下のコールでビンゴが出る確率を示しています。例えば、200枚のカードを使ったゲームでは、15回以下のコールで最初のビンゴが出る確率は64.27%です。非常に低い確率は、サンプル中のわずか1回の発生に基づいている可能性があるため、鵜呑みにしないようにしましょう。

コール数以下によるビンゴの確率

通話100枚のカード200枚のカード500枚のカード1000枚のカード
4 0.000333167 0.000639132 0.001545351 0.002983166
5 0.00167463 0.003264132 0.007942073 0.014656423
6 0.005078669 0.009955215 0.023566438 0.043159526
7 0.012041883 0.023328822 0.054131098 0.097436567
8 0.024382447 0.046762341 0.106049289 0.184005116
9 0.044253798 0.083773288 0.182887449 0.304504472
10 0.073970812 0.137421576 0.286781631 0.450439999
11 0.115622351 0.209966162 0.413080539 0.604298208
12 0.171039584 0.301115247 0.551283028 0.7450186
13 0.240816673 0.408274482 0.687397739 0.855279537
14 0.324440824 0.524996218 0.804698298 0.928136512
15 0.419563375 0.642740048 0.892635925 0.968670456
16 0.521681327 0.751314092 0.948683943 0.987614278
17 0.625033687 0.842001393 0.978896087 0.995634238
18 0.72257397 0.909781051 0.992634654 0.998680454
19 0.808052179 0.954371616 0.997767403 0.999675743
20 0.877068573 0.979910032 0.999416921 0.999954964
21 0.927997601 0.992476115 0.999885671 0.999994596
22 0.961863655 0.997641919 0.999980945 0.999999099
23 0.982038884 0.99938336 0.999997459 1
24 0.992565774 0.999864451 1 1
25 0.997340164 0.999977309 1 1
26 0.999179728 0.999996815 1 1
27 0.999784686 0.999999403 1 1
28 0.999959016 1 1 1
29 0.999992303 1 1 1
30 0.9999995 1 1 1
31 1 1 1 1

ビンゴでは同点がよく発生します。カードの枚数が多いほど、同時に「ビンゴ」とコールする人の数も増えます。以下の表は、コール数とカード枚数に応じた当選者の期待数を示しています。例えば、200枚のカードを使ったゲームで、20回目のコールで「ビンゴ」とコールされた場合、ビンゴとコールするプレイヤーの期待数は1.66人になります。非常に低い確率は、サンプル中のわずか1回の発生に基づいている可能性があるため、鵜呑みにしないでください。

ビンゴを予想するプレイヤー数

通話100枚のカード200枚のカード500枚のカード1000枚のカード
4 1.0090009 1.02335721 1.061652281 1.114432367
5 1.015275708 1.029496512 1.069307914 1.121296296
6 1.022258765 1.042122799 1.083987154 1.146942645
7 1.028581682 1.048192412 1.104964568 1.190889479
8 1.033890891 1.061522127 1.132701248 1.239306635
9 1.043170534 1.077518379 1.164762676 1.302551913
10 1.052359825 1.094201366 1.207151634 1.389465628
11 1.063636058 1.116077308 1.260499384 1.502997342
12 1.076579112 1.141551275 1.324602686 1.647857033
13 1.093521954 1.174362146 1.405741511 1.836531471
14 1.113105085 1.212457155 1.508972374 2.093635644
15 1.135955427 1.255469998 1.643348814 2.449646682
16 1.161564153 1.311716739 1.802746991 2.885650437
17 1.19272741 1.377605556 2.010154312 3.418463612
18 1.230036493 1.454971001 2.284419787 3.982554701
19 1.271820227 1.549211465 2.629625046 4.328506787
20 1.322227855 1.660278243 3.078167116 4.719354839
21 1.382000573 1.804489007 3.447154472 6.772727273
22 1.449972845 1.961545871 4.026666667 3.6
23 1.52832292 2.178420391 5.153846154 2
24 1.615738147 2.376086057 4.75 0
25 1.722860792 2.726631393 0 0
26 1.855784383 2.714285714 0 0
27 2.020819564 3.461538462 0 0
28 2.170298165 4.666666667 0 0
29 2.21021021 0 0 0
30 2.569444444 0 0 0
31 2.6 0 0 0
全体1.201004098 1.263574841 1.401860391 1.598345388

100枚のカードを使ったビンゴの確率は、10,004,000ゲームのサンプルサイズに基づいています。200枚のカードを使った場合のサンプルサイズは5,024,000、500枚のカードを使った場合のサンプルサイズは5,574,400、1000枚のカードを使った場合のサンプルサイズは1,110,230です。

マルチプレイヤーカバーオール

次の 3 つの表は、100 人、200 人、500 人、1000 人のプレイヤーによるカバーオール ゲーム (カード全体をカバーする) に関するものです。

次の表は、プレイ中のカードの枚数に応じて、カバーオールが24回から75回コールされる確率を示しています。例えば、200枚のカードを使ったゲームでは、カバーオールが60回コールされる確率は8.88%です。非常に低い確率は、サンプル中のわずか1回の発生に基づいている可能性があるため、鵜呑みにしないようにしましょう。

通話回数によるカバーオールの確率

通話100枚のカード200枚のカード500枚のカード1000枚のカード
24 0 0 0 0
25 0 0 0 0
26 0 0 0 0
27 0 0 0 0
28 0 0 0 0
29 0 0 0 0
30 0 0 0 0
31 0 0 0 0
32 0 0 0 0
33 0 0 0 0
34 0 0 0 0
35 0 0 0 0
36 0 0 0 0
37 0 0 0 0
38 0.000000081 0 0.000000556 0
39 0 0.000000451 0 0
40 0.000000244 0.000000451 0.000001668 0.00000335
41 0.000000812 0.000000677 0.000001112 0
42 0.000000812 0.000002481 0.000003336 0.000005584
43 0.0000013 0.00000406 0.000008341 0.000023453
44 0.000004387 0.000006316 0.000017794 0.000040205
45 0.000007392 0.000011954 0.000035587 0.000067009
46 0.000016653 0.000031127 0.0000873 0.000161939
47 0.000032331 0.000061126 0.000171819 0.000329462
48 0.000063444 0.000131273 0.000310832 0.000617601
49 0.000124939 0.000240217 0.000598866 0.001111235
50 0.000221852 0.000450885 0.001129893 0.002188966
51 0.000418197 0.000823052 0.002054604 0.004050704
52 0.000773924 0.001495433 0.003847309 0.007561983
53 0.001392283 0.002724033 0.00671597 0.013308019
54 0.002404224 0.004761024 0.011786588 0.02302323
55 0.004186596 0。008286004 0.020299155 0.038641948
56 0.00714078 0.014069246 0.033530916 0.062962922
57 0.011965475 0.023529942 0.054423376 0.096555729
58 0.019776442 0.037942709 0.083837856 0.136793612
59 0.031830382 0.059312281 0.120524911 0.17127094
60 0.04982039 0.08881606 0.157332629 0.180108331
61 0.075076767 0.124190143 0.177556161 0.147070583
62 0.106797563 0.156943949 0.161671486 0.082063882
63 0.140753859 0.172727416 0.107064613 0.027109672
64 0.164937206 0.152701928 0.045642794 0.004566674
65 0.163299594 0.099422578 0.01031528 0.000350681
66 0.126231113 0.04129559 0.000993661 0.000012285
67 0.067797238 0.009152588 0.000035587 0
68 0.021547035 0.000845833 0 0
69 0.003220227 0.000019172 0 0
70 0.000154427 0 0 0
71 0.000002031 0 0 0
72 0 0 0 0
73 0 0 0 0
74 0 0 0 0
75 0 0 0 0
合計1 1 1 1

100人参加のゲームでは、カバーオールコールの期待値は63.43回、200人参加のゲームでは62.00回、500人参加のゲームでは60.18回、1000人参加のゲームでは58.85回です。非常に低い確率は、サンプル中のわずか1回の発生に基づいている可能性があるため、鵜呑みにしないようにしましょう。

次の表は、プレイ中のカードの枚数に応じて、24回から75回までのコールでカバーオールがコールされる確率を示しています。例えば、200枚のカードを使ったゲームでは、60回以下のコールで最初のカバーオールがコールされる確率は36.69%です。

通話回数以下によるカバーオール確率

通話100枚のカード200枚のカード500枚のカード1000枚のカード
24 0 0 0 0
25 0 0 0 0
26 0 0 0 0
27 0 0 0 0
28 0 0 0 0
29 0 0 0 0
30 0 0 0 0
31 0 0 0 0
32 0 0 0 0
33 0 0 0 0
34 0 0 0 0
35 0 0 0 0
36 0 0 0 0
37 0 0 0 0
38 0.000000081 0 0.000000556 0
39 0.000000081 0.000000451 0.000000556 0
40 0.000000325 0.000000902 0.000002224 0.00000335
41 0.000001137 0.000001579 0.000003336 0.00000335
42 0.00000195 0.00000406 0.000006673 0.000008935
43 0.000003249 0.00000812 0.000015013 0.000032388
44 0.000007636 0.000014436 0.000032807 0.000072593
45 0.000015028 0.00002639 0.000068394 0.000139602
46 0.000031682 0.000057517 0.000155694 0.000301541
47 0.000064013 0.000118642 0.000327513 0.000631003
48 0.000127457 0.000249915 0.000638345 0.001248604
49 0.000252396 0.000490132 0.001237211 0.002359839
50 0.000474249 0.000941017 0.002367104 0.004548805
51 0.000892445 0.001764069 0.004421708 0.008599509
52 0.001666369 0.003259502 0.008269017 0.016161492
53 0.003058652 0.005983534 0.014984987 0.029469511
54 0.005462876 0.010744558 0.026771575 0.052492741
55 0.009649472 0.019030563 0.04707073 0.091134688
56 0.016790252 0.033099808 0。080601646 0.15409761
57 0.028755727 0.056629751 0.135025022 0.250653339
58 0.048532169 0.09457246 0.218862878 0.387446951
59 0.080362551 0.153884741 0.339387789 0.558717891
60 0.130182941 0.242700801 0.496720418 0.738826223
61 0.205259708 0.366890944 0.674276579 0.885896806
62 0.312057271 0.523834893 0.835948065 0.967960688
63 0.452811129 0.69656231 0.943012678 0.99507036
64 0.617748335 0.849264238 0.988655472 0.999637034
65 0.781047929 0.948686816 0.998970752 0.999987715
66 0.907279041 0.989982407 0.999964413 1
67 0.975076279 0.999134995 1 1
68 0.996623314 0.999980828 1 1
69 0.999843542 1 1 1
70 0.999997969 1 1 1
71 1 1 1 1
72 1 1 1 1
73 1 1 1 1
74 1 1 1 1
75 1 1 1 1

ジャックポットシェア

カバーオールを含むすべてのビンゴゲームでは、タイがよく見られます。カードの枚数が多いほど、またパターンをカバーしやすいほど、タイが多くなります。以下の表は、パターンとカードの枚数に応じて、ビンゴと判定する人の平均人数を示しています。HWはHard Way（ハードウェイ）の略で、プレイヤーがフリースクエアを利用できないことを意味します。

ビンゴを予想するプレイヤー数

ゲームカード
2000 4000 6000 8000 10000
シングルビンゴ2.62 4.11 5.72 7.11 8.2
ダブルビンゴ1.3 1.34 1.37 1.39 1.42
トリプルビンゴ1.27 1.31 1.33 1.34 1.33
シングルHWビンゴ1.49 1.78 2.01 2.32 2.6
ダブルHWビンゴ1.27 1.3 1.33 1.35 1.4
トリプルHWビンゴ1.26 1.27 1.29 1.31 1.31
シックスパック1.96 2.54 3.08 3.68 4.21
9パック1.35 1.43 1.47 1.53 1.55
カバーオール1.32 1.34 1.34 1.35 1.38

ビンゴで大きな不満となるのは、ジャックポットを分け合わなければならないことです。私見では、多くのプレイヤーは、同時にビンゴをしている他のプレイヤーの人数に関わらず、ジャックポットを全額受け取るために保険料を支払うでしょう。上記の表は、このようなジャックポット分け合い保険の適正な保険料の算出に使用できます。例えば、10,000枚のカードを使ったカバーオールゲームでは、当選者の予想数は1.38人です。ジャックポット分け合い保険の適正な保険料は、カード1枚あたりの価格の38%となります。

ジャックポット分配保険というコンセプトは特許出願中です。ビンゴパーラーの皆様にこのコンセプトを試していただければ幸いです。ご興味をお持ちいただけましたら、ぜひご連絡ください。

ビンゴの確率に関するもう一つの優れた情報源は、Durango Billの「Bingo Probabilities」です。彼のビンゴの確率は私と同じですが、計算方法についてより詳しく説明しています。

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ビンゴに関するウィザードの情報

作成者： Michael Shackleford