パワーボール宝くじ

概要

パワーボールは非常に大きなジャックポットで知られるマルチステート宝くじであり、ロトアメリカの名前で1988年から始まりました。1992年に名称がパワーボールへと変更され、この記事を書いている時点でパワーボールは44の州でプレイできます。

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ルール

2015年10月7日にルールが変更され、ジャックポットがヒットしにくくなる代わりにジャックポットが大きくなりました。以前のジャックポット確率は1億7,520万分の1でしたが、現在は2億9,220万人に1人です。完全なルールは次のとおりです：

1. チケットの費用は2ドルです。カリフォルニアを除けば、プレイヤーはパワープレイのマルチプライヤーを有効にするための追加の1ドルを支払うこともできます。
2. プレイヤーは1から69までの5つの異なる数字と1から26までの1つの「パワーボール」を選びます。
3. 毎週土曜日と水曜日の東部標準時午後10時59分に、1から69までの番号が付けられた5つの白いボールと1から26までの1つの赤いパワーボールが選ばれます。
4. プレイヤーは下の表が示すように、ドローされたボールが一致するピックの数に応じて勝利となります。

   配当表

   マッチした 白のボール	マッチした パワーボール	勝利
   5	あり	ジャックポット
   5	なし	$1,000,000
   4	あり	$10,000
   3	あり	$100
   4	なし	$100
   2	あり	$7
   3	なし	$7
   1	あり	$4
   0	あり	$4

5. プレイヤーがパワープレイオプションを呼び出すと、ジャックポット以外の賞金は少なくとも2倍になります。$1,000,000の賞金の乗数は常に2であり、それ以外の可能な乗数は以下に示します。

   1億5000万ドル未満のジャックポット

   乗数	加重	確率
   10	1	0.023256
   5	2	0.046512
   4	3	0.069767
   3	13	0.302326
   2	24	0.558140
   合計	43	1.000000

   1億5000万ドル以上のジャックポット

   乗数	加重	確率
   5	2	0.047619
   4	3	0.071429
   3	13	0.309524
   2	24	0.571429
   合計	42	1.000000

6. 宣伝されているジャックポットの金額は30年の年金として支払われ、最初の支払いは支払われる合計金額の1.5051435％で即座に支払われます。将来の支払いは毎年複合されて毎年5％ほど増加します。
7. 年金の代わりにプレイヤーは一時金を選択することができますが、これは額面金額の約61％になります。
8. カルフォルニアでは全ての賞品を相互に支払う必要があるため配当表が異なります。
9. 大きなプログレッシブの宝くじと同様に、複数のプレイヤーが当選した場合のジャックポットは全ての当選者に均等に分配されます。
10. 大きな賞金のある宝くじと同様に、4-8-15-16-23-42のような ロスト ナンバーの非常に頻繁に選択される数字のセットがヒットした場合には固定賞品を減らす必要があります。

カリフォルニアのルール

上記のように、カリフォルニアの全ての賞金はパリミュチュエル方式で支払われる必要があります。つまりは本質的に進歩的でなければならず、州は全ての売上の約50％を利益として差し控えて残りの50％を次のように様々な賞金プールに分配します。ジャックポットのサイズが小さいほどその貢献率は高くなります。

カリフォルニアにはパワープレイのオプションはありません。

出典： カリフォルニア州の宝くじ規制 — 39ページから始まるセクション3.7を参照してください。

パワーボールの解析

次のグラフは、y軸に沿って販売されたパワーボールチケットの数（百万単位）をx軸に沿ったジャックポットサイズ（百万単位）で示しています。2本の黒い線はジャックポットサイズごとの売上の見積もりを示していますが、2016年1月6日の5億2900万ドルの大当たりによってこの関係は指数関数的であることが分かります。それ以降は対数関係を示しており、グラフのデータポイントに合う単一の曲線のアイデアを誰かが持っている場合はぜひ聞かせてください。

Jackpot Sharing

The next chart shows the estimated number of tickets sold (in millions), estimated number of winners, and probability of at least one winner by jackpot size (in millions).

Estimated number of tickets sold is based on data from 10-7-15 (the date the Powerball changed the rules to 69 white balls and 26 red balls) to 11-7-22 (the date of a $2.04 billion jackpot). Based on this data, I find demand to have an exponential relationship with jackpot size up to jackpots of about $400 million. After that, I show the relationship to be linear. It is hard to estimate demand for large jackpots because there have been only 62 jackpots of $400 million or more and only five of a billion or more at the time of this writing on November 9, 2022. However, following is my best estimate for number of tickets sold (in millions) by jackpot size (j) in millions.

If j <= 400, tickets sold = 6.7092*exp(0.0025*j)
If j > 400, tickets sold = 0.19059*j - 58

パワーボールの解析

上記のルールのセクションで述べたように、ジャックポットが1億5000万ドル未満の場合では10倍のボールがパワープレイホッパーに追加されて平均乗数は119/43、つまり2.7674％になります。次の表は、1億5,000万ドル未満のジャックポットに対するパワープレイ機能による追加の勝利を示しています。支払いの列には標準のパワーボールの勝利を超える追加の勝利が表示され、$1,000,000の賞金の乗数は常に2倍であることを忘れないでください。右下のセルは42.23％のリターンを示しています。

ジャックポットが1億5000万ドルを超える場合、10倍のボールがパワープレイホッパーから削除されることで平均乗数は109/42、つまり2.5952％になります。次の表は1億5,000万ドルを超えるジャックポットに対するパワープレイ機能による追加の勝利で、右下のセルは38.95％のリターンを示しています。

年金分析

Starting in August 2021 some states launched an additional game down as Double Play. As of November, 2022, states that offer the Double Play option are Colorado, Florida, Indiana, Maryland, Michigan, Missouri, Montana New Jersey, Pennsylvania, Puerto Rico, South Carolina, South Dakota, Tennessee, Washington.

The Double Play is an optional additional $1 bet on top of a Powerball ticket. Thirty minutes after every Powerball drawing there will be a Double Play drawing, using the same Powerball rules of drawing five balls without replacement from a pool of 69 white balls and one ball from a pool of 26 red balls, known as the Powerball. The same set of numbers chosen for the Powerball drawing will also be used for the Double Play Drawing. If the player purchases both the Power Play and Double Play, the multiplier will NOT apply to the Double Play game.

The following is the pay table for the Double Play drawing according to the number of white balls that match as well as the Powerball.

• Match 5 + Power Ball pays $10,000,000
• Match 4 + Power Ball pays $50,000
• Match 3 + Power Ball pays $500
• Match 2 + Power Ball pays $20
• Match 1 + Power Ball pays $10
• Match 0 + Power Ball pays $7
• Match 5 pays $500,000
• Match 4 pays $500
• Match 3 pays $20

The following table shows my analysis of the Double Pay feature by itself. The lower right cell shows an expected return of 53.43%, which is a higher return, most of the time, compared to the Powerball by itself.

年金分析

61％の一時金のオファーを想定して税金を回避する方法で一時金を投資できるとすると、長期的には一時金を受け取るより多くのお金を得るには2.84％の金利を上回る必要があります。キャピタルゲイン税率を20％と仮定した場合、一時金をより良い値にするには3.92％を超える必要があります。

少し訂正させてください。宝くじの当選者が全ての支払いを受け取る前に死亡した場合には、将来の支払いは全て宝くじ/州に戻るという神話が広まっていますが、実際にはそれらの支払いは他の資産と同じように当選者の意思に従って処理されます。以下はパワーボールのウェブサイトから引用しました：

• 年金の受賞者が死亡した場合はどうなりますか？
• 宝くじの賞品はエステート処理され、宝くじの年金賞は他の資産とまったく同じように扱われて残りの年金の支払いは相続人または他の人に渡すことができます。パワーボールゲームは不動産の年金賞金を現金化することさえでき、これによって不動産が賞品を配布しやすくなる場合があります。また、連邦不動産税を支払うために年金を現金化する必要があるかもしれません。有価証券の一部または全部を競争入札で売却するか有価証券を不動産に譲渡するだけであり、いかなる種類の料金も請求しません。当選者が亡くなったときに大当たりが州に戻るべきではないと人々が不満を言うのをよく耳にしますが、実際にはそうではありません。この誤解はこの賞品が「エステートに行く」とか「国に行く」と聞く人もいるのではないかと思います。

結論

数学的に言えばパワーボールはひどい賭けです。宝くじの削減、ジャックポットの共有、年金、税金を考慮した後の期待収益が40％を超えることはありません。宝くじを購入するという決定は完全に不合理であると私は思っており、人々が自分のお金を捨てるために列を作る理由を未だにまだ理解できません。

私が当時住んでいた1984年にカリフォルニアが宝くじを合法化して以来、私はそれがどんなにひどい賭けであるかを多くの人に説いてきましたが、私が救ったと思われる人の数は一体いくつになるでしょうか？私の知る限りその数は0です。それでも、私はこの試みを続けています。宝くじが決して良い賭けではないとまでは言い切れませんが、私はここでパワーボールがそうではないことをここに少しは示せたと願っています。

内部リンク

• 宝くじ — 一般ページ。
• パワーボール計算機 — パワーボールジャックポットのオッズを計算します。
• メガミリオン計算機 — メガミリオンジャックポットのオッズを計算します。
• 宝くじの購入者は賢い? - 宝くじのリターンが多い米国の州は、宝くじのリターンが少ない州よりも居住者1人あたりの損失が大きい傾向がありますか？
• 宝くじのジャックポットのチケット計算機 — パワーボールとメガミリオンのジャックポットサイズのチケットの販売数とその勝率を見積もります。

外部リンク

• 宝くじの記念となった週 2018年10月29日に2つの大きなジャックポットが当選しました。
• パワーボール — 公式ウェブサイト。 賞金とオッズに関するページを参照してください。
• Wikipedia.
• LottoReport.com — 過去のチケット販売とジャックポットサイズに関する情報。
• Power Ball at 400 Million — Wizard of Vegasのフォーラムでのパワーボールに関する討論。

作成者： Michael Shackleford