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アトキンスダイエットのスロットマシンを解体する
導入
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2008年、オーストラリアのシドニーで開催されたスロットマシンに関するカンファレンスでの講演用に、アトキンスダイエットスロットマシンを設計しました。このスロットマシンは、ビデオスロット（ポキーとも呼ばれる）の設計例として使用されました。まず、ペイテーブルとリールストリップを紹介し、次に様々な勝ち方における確率とリターンについて解説します。
ペイテーブル
次の表はアトキンスダイエットの配当表です。勝利はすべて左揃えでなければなりません。アトキンスシンボルはワイルドで、体重計以外のどのシンボルにも代用できます。
アトキンスダイエットの給与表
| シンボル | 5回連続 | 4連続 | 3回連続 | 2回連続 |
|---|---|---|---|---|
| アトキンス | 5000 | 500 | 50 | 5 |
| ステーキ | 1000 | 200 | 40 | 3 |
| ハム | 500 | 150 | 30 | 2 |
| バッファローウィング | 300 | 100 | 25 | 2 |
| ソーセージ | 200 | 75 | 20 | 0 |
| 卵 | 200 | 75 | 20 | 0 |
| バター | 100 | 50 | 15 | 0 |
| チーズ | 100 | 50 | 15 | 0 |
| ベーコン | 50 | 25 | 10 | 0 |
| マヨネーズ | 50 | 25 | 10 | 0 |
リールストリップ
以下はアトキンスダイエットのリールストリップです。
アトキンスダイエットリールストリップ
| 停止 | リール1 | リール2 | リール3 | リール4 | リール5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 規模 | マヨネーズ | ハム | ハム | ベーコン |
| 2 | マヨネーズ | バッファローウィング | バター | チーズ | 規模 |
| 3 | ハム | ステーキ | 卵 | アトキンス | ステーキ |
| 4 | ソーセージ | ソーセージ | 規模 | 規模 | ハム |
| 5 | ベーコン | チーズ | チーズ | バター | チーズ |
| 6 | 卵 | マヨネーズ | マヨネーズ | ベーコン | ソーセージ |
| 7 | チーズ | ハム | バター | チーズ | バター |
| 8 | マヨネーズ | バター | ハム | ソーセージ | ベーコン |
| 9 | ソーセージ | ベーコン | ソーセージ | ステーキ | バッファローウィング |
| 10 | バター | ステーキ | ベーコン | 卵 | チーズ |
| 11 | バッファローウィング | ソーセージ | ステーキ | ベーコン | ソーセージ |
| 12 | ベーコン | マヨネーズ | バッファローウィング | マヨネーズ | ハム |
| 13 | 卵 | ハム | バター | ソーセージ | バター |
| 14 | マヨネーズ | アトキンス | マヨネーズ | チーズ | ステーキ |
| 15 | ステーキ | バター | チーズ | バター | マヨネーズ |
| 16 | バッファローウィング | 卵 | ソーセージ | ハム | 卵 |
| 17 | バター | チーズ | 卵 | マヨネーズ | ソーセージ |
| 18 | チーズ | ベーコン | ベーコン | ベーコン | ハム |
| 19 | 卵 | ソーセージ | マヨネーズ | バッファローウィング | アトキンス |
| 20 | アトキンス | バッファローウィング | バッファローウィング | ソーセージ | バター |
| 21 | ベーコン | 規模 | ハム | チーズ | バッファローウィング |
| 22 | マヨネーズ | マヨネーズ | ソーセージ | 卵 | マヨネーズ |
| 23 | ハム | バター | ベーコン | バター | 卵 |
| 24 | チーズ | チーズ | チーズ | バッファローウィング | ハム |
| 25 | 卵 | ベーコン | 卵 | ベーコン | ベーコン |
| 26 | 規模 | 卵 | アトキンス | マヨネーズ | バター |
| 27 | バター | バッファローウィング | バッファローウィング | 卵 | ステーキ |
| 28 | ベーコン | マヨネーズ | ベーコン | ハム | マヨネーズ |
| 29 | ソーセージ | ステーキ | バター | ソーセージ | ソーセージ |
| 30 | バッファローウィング | ハム | チーズ | ステーキ | 卵 |
| 31 | ステーキ | チーズ | マヨネーズ | マヨネーズ | チーズ |
| 32 | バター | ベーコン | ステーキ | ベーコン | バッファローウィング |
例のスピン
次のスピンの例を見てみましょう。
マルチラインビデオスロットの仕組みは、各リールからランダムに1つの数字を選び、それをリールストリップ上の対応する停止位置にマッピングすることです。選ばれたランダムな数字が、リールが中央列のどこで停止するかを指定すると仮定しましょう。その場合、上下のシンボルは、リールストリップ上の真上と真下のシンボルになります。
上記の例では、リール1～5にそれぞれ27、14、3、31、27という乱数が出た場合の結果となります。以下の表は、画面に表示される15個のシンボルすべてがリールストリップ上のどの位置に現れるかを示しています。
アトキンスダイエットリールストリップ
| 停止 | リール1 | リール2 | リール3 | リール4 | リール5 |
|---|---|---|---|---|---|
| トップ | 26 | 13 | 2 | 30 | 26 |
| 真ん中 | 27 | 14 | 3 | 31 | 27 |
| 底 | 28 | 15 | 4 | 32 | 28 |
また、リールのストリップは巻き取られることに注意してください。つまり、中央の位置に1を選んだ場合、上の位置は32になります。同様に、中央の位置に32を選んだ場合、下の位置は1になります。
シンボル分布
ビデオスロットの配当を計算する最初のステップは、各リールに各シンボルが出現する頻度を数えることです。次の表がその答えです。
アトキンスダイエットのシンボル分布
| シンボル | リール1 | リール2 | リール3 | リール4 | リール5 |
|---|---|---|---|---|---|
| アトキンス | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| ステーキ | 2 | 3 | 2 | 2 | 3 |
| ハム | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
| バッファローウィング | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 |
| ソーセージ | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 |
| 卵 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 |
| バター | 4 | 3 | 4 | 3 | 4 |
| チーズ | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 |
| ベーコン | 4 | 4 | 4 | 5 | 3 |
| マヨネーズ | 4 | 5 | 4 | 4 | 3 |
| 規模 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 合計 | 32 | 32 | 32 | 32 | 32 |
ラインペイ数学
アトキンスダイエットには、32 × 32 × 32 × 32 × 32 = 33,554,432通りの結果が考えられます。以下の表は、これらの組み合わせのうち、各勝利の可能性がいくつあるかを示しています。これらの数値は、5つのネストされたループを持つプログラムで、各可能な組み合わせにおける各勝利の合計を集計した結果です。
アトキンスダイエットラインの給与組み合わせ
| シンボル | 5回連続 | 4連続 | 3回連続 | 2回連続 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|
| アトキンス | 1 | 28 | 513 | 1,024 | 1,566 |
| ステーキ | 431 | 2,996 | 32,480 | 326,656 | 362,563 |
| ハム | 955 | 5,157 | 42,112 | 315,392 | 363,616 |
| バッファローウィング | 764 | 5,348 | 58,464 | 430,080 | 494,656 |
| ソーセージ | 1,595 | 8,613 | 54,432 | - | 64,640 |
| 卵 | 956 | 6,692 | 52,864 | - | 60,512 |
| バター | 1,995 | 10,692 | 88,704 | - | 101,391 |
| チーズ | 1,996 | 13,860 | 85,536 | - | 101,392 |
| ベーコン | 2,976 | 20,832 | 103,168 | - | 126,976 |
| マヨネーズ | 2,980 | 20,860 | 128,736 | - | 152,576 |
| 合計 | 14,649 | 95,078 | 647,009 | 1,073,152 | 1,829,888 |
次の表は、それぞれの当選確率を示しています。これは、上の表に示されている当選の組み合わせの数を、合計33,554,432の組み合わせ数で割ったものです。右下のセルの合計は、1ラインあたりの当選頻度（当選確率）が5.45%であることを示しています。
アトキンスラインペイ確率
| シンボル | 5回連続 | 4連続 | 3回連続 | 2回連続 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|
| アトキンス | 0.00000003 | 0.00000083 | 0.00001529 | 0.00003052 | 0.00004667 |
| ステーキ | 0.00001284 | 0.00008929 | 0.00096798 | 0.00973511 | 0.01080522 |
| ハム | 0.00002846 | 0.00015369 | 0.00125504 | 0.00939941 | 0.01083660 |
| バッファローウィング | 0.00002277 | 0.00015938 | 0.00174236 | 0.01281738 | 0.01474190 |
| ソーセージ | 0.00004753 | 0.00025669 | 0.00162220 | - | 0.00192642 |
| 卵 | 0.00002849 | 0.00019944 | 0.00157547 | - | 0.00180340 |
| バター | 0.00005946 | 0.00031865 | 0.00264359 | - | 0.00302169 |
| チーズ | 0.00005949 | 0.00041306 | 0.00254917 | - | 0.00302172 |
| ベーコン | 0.00008869 | 0.00062084 | 0.00307465 | - | 0.00378418 |
| マヨネーズ | 0.00008881 | 0.00062168 | 0.00383663 | - | 0.00454712 |
| 合計 | 0.00043657 | 0.00283355 | 0.01928237 | 0.03198242 | 0.05453491 |
次の表は、各勝利の可能性に対する配当への寄与を示しています。各セルは、上の表の確率と配当表の積です。右のセルは、ラインペイによる総配当が63.46%であることを示しています。
アトキンスダイエットの期待収益
| シンボル | 5回連続 | 4連続 | 3回連続 | 2回連続 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|
| アトキンス（野生） | 0.000149 | 0.000417 | 0.000764 | 0.000153 | 0.001483 |
| ステーキ | 0.012845 | 0.017858 | 0.038719 | 0.029205 | 0.098627 |
| ハム | 0.014231 | 0.023054 | 0.037651 | 0.018799 | 0.093734 |
| バッファローウィング | 0.006831 | 0.015938 | 0.043559 | 0.025635 | 0.091963 |
| ソーセージ | 0.009507 | 0.019252 | 0.032444 | - | 0.061202 |
| 卵 | 0.005698 | 0.014958 | 0.031509 | - | 0.052165 |
| バター | 0.005946 | 0.015932 | 0.039654 | - | 0.061532 |
| チーズ | 0.005949 | 0.020653 | 0.038238 | - | 0.064839 |
| ベーコン | 0.004435 | 0.015521 | 0.030746 | - | 0.050702 |
| マヨネーズ | 0.004441 | 0.015542 | 0.038366 | - | 0.058349 |
| 合計 | 0.070029 | 0.159124 | 0.331651 | 0.073792 | 0.634597 |
スキャッターペイ
スケールはスキャッターペイシンボルとして機能します。スキャッターペイが画面上のどこに現れても、プレイヤーはスキャッターペイを獲得できます。ラインペイとは異なり、スキャッターは左揃えである必要も、アクティブなペイライン上にある必要もありません。公平を期すために、スキャッターペイの勝利はベットした合計金額に基づいて決定されます。以下の表は、リールあたりのスキャッターの数、リールあたりのシンボルの合計数、そしてそのリールにおけるスキャッターの出現確率（3×(列2)/(列3)）を示しています。3倍にしているのは、各リールに3つの表示位置があるためです。
アトキンスダイエットのリールごとのスキャッター
| リール | 散らばる | 合計シンボル リールで | 散らばる 確率 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 32 | 0.18750 |
| 2 | 1 | 32 | 0.09375 |
| 3 | 1 | 32 | 0.09375 |
| 4 | 1 | 32 | 0.09375 |
| 5 | 1 | 32 | 0.09375 |
次の表は、スキャッターシンボルが合計0～5個の場合の確率と配当への寄与度を示しています。右下のセルは、スキャッターペイ機能がゲームの配当の6.98%を還元することを示しています。
アトキンスダイエットの散布配当確率とリターン
| 散らばる | 支払う | 組み合わせ | 確率 | 戻る |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 100 | 486 | 0.000014 | 0.001448 |
| 4 | 25 | 20,898 | 0.000623 | 0.015570 |
| 3 | 5 | 353,916 | 0.010548 | 0.052738 |
| 合計 | 33,554,432 | 0.011185 | 0.069756 |
ボーナス
プレイヤーは少なくとも3つのスキャッターシンボルを獲得するとボーナスを獲得します。上記の表で、3つから5つのシンボルが出現する確率の合計は0.011185です。ボーナス中は、プレイヤーは10回のフリースピンを獲得し、すべての勝利が3倍になります。
このゲームでは、フリースピンは通常ゲームと同じリールストリップを使用します。ラインペイの期待値は0.634597、スキャッターの期待値は0.069756であることが既に示されています。つまり、勝利が3倍になった場合、1スピンあたりの期待値は3 × (0.634597 + 0.069756) = 2.113058となります。
次に、フリースピンはフリースピンの中で無限に獲得できるというルールがあります。ボーナスで獲得できるスピンの総数は、10/(1-10×0.011185) = 11.259335回と予想されます。
したがって、フリースピンが 11.259335 回で、スピンあたりの平均勝利額が 2.113058 の場合、ボーナスあたりの予想される最終勝利額は 11.259335 × 2.113058 = 23.791632 になります。
そもそもボーナスを獲得する確率は 0.011185 なので、ボーナス機能の最初のスピンあたりの期待収益は 0.011185 × 23.791632 = 0.266105 となります。
まとめ
以下の表は、このゲームで勝つための3つの方法をまとめたものです。右下のセルは期待収益率が97.046%であることを示しています。つまり、プレイヤーが賭けた1ドルにつき、97セントが戻ってくると期待できるということです。
アトキンスダイエットの概要
| アイテム | 戻る |
|---|---|
| ラインペイ | 63.460% |
| 散らばる | 6.976% |
| ボーナス | 26.610% |
| 合計 | 97.046% |
さらなる解体
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内部リンク
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