ビデオポーカー - 確率

シーケンシャル ロイヤルビデオ ポーカーに関する私のページによれば、その確率は 400 万分の 1 程度です。

デッキに残っている47枚のカードから3枚を引く方法は、(47,3)=16,215通りあります。そのうち1枚はロイヤルカードに必要な3枚なので、確率は16,215分の1です。

同じペイテーブルを想定すると、トリプル プレイ マシンでもシングル ハンド マシンでも期待されるリターンは同じです。

従来の8/5戦略でプレイした場合、この例のリターンは99.68%になります。しかし、このジャックポットに最適な戦略でプレイした場合、リターンは100.08%になります。つまり、ウォン氏の考えは間違っていなかったということです。

残りの47枚のカードは、プレイヤーがどのカードを引くかを決めるまでシャッフルされ続けると理解しています。つまり、ドローカードは全く決まっていません。数学的に言えば、違いはありません。

リターンは99.9367%です。

どういたしまして、優しいお言葉ありがとうございます！

一般式はcombin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZです。ここでp = 1/combin(47,5-Y)です。

Combin は Excel の式で、X!/[Z! × (XZ)!] に等しくなります。

プレイヤーがロイヤルに 4 枚持っている 10 プレイのビデオ ポーカーの例を見てみましょう。

親切なお言葉ありがとうございます。はい、スリーカードの確率はペイテーブルによって異なり、プレイヤーの戦略に影響を与えます。私のビデオポーカープログラムは、ドローで可能性のあるすべてのカードをループ処理することで、常にあらゆるハンドに最適なプレイを導き出します。しかし、戦略を文書化するのは非常に時間がかかります。

52 枚のカードを使用するビデオ ポーカー ゲームでは、ナチュラル ロイヤル フラッシュが配られる確率は 649,740 分の 1 です。

一日中この質問に取り組んできたので、ご満足いただけたでしょうか。答えは、私の新しいビデオポーカー付録1をご覧ください。分散だけで破産リスクの数値を簡単に得る方法はありません。各ハンドのリターンとその確率によって大きく左右されます。

いいえ、そうではありません。よくある誤解とは異なり、サイクルは存在しません。すべてのハンドは独立しています。理論上の99.54%のリターンを保証するには、無限のハンドを完璧にプレイする必要があります。

いくつか数字を挙げてみましょう。9-6ジャック以上の場合、ロイヤルはリターンの1.98%を占めます。つまり、ロイヤル同士のリターンは97.56%と予想できます。1ハンドの標準偏差は4.42です。ロイヤル同士の平均数である40,391ハンドのリターンの標準偏差は2.20%です。つまり、ロイヤルサイクルが1サイクル完了したとしても、99.54%のリターンには程遠いということです。95%の確率で、95.24%から103.85%の範囲に収まる可能性があります。

ポップアップについては、私も大嫌いです。でも、食卓にご飯を並べるには何かが必要です。ポップアップは、得られる情報に対する代償だと考えてください。

最初の 5 枚のカードの組み合わせは、combin(52,5)=2598960 通りあります。 すべてを分析する必要はありません。個人的には、それらを 191659 通りに分類し、それぞれを同様のハンドの数で重み付けします。たとえば、エース 4 枚とキング 1 枚のシングルトンの場合、キングのスーツに関係なくオッズは同じです。 キングの可能性のあるスーツごとに 4 つのハンドを分析する必要はなく、そのうちの 1 つだけを分析して 4 倍します。 ハンドができたら、そのハンドをプレイする方法は 2 ⁵ =32 通りあります。 私は各方法を分析し、期待値が最大となるプレイを採用します。 プレイの期待値を決定するには、代わりのカードが落ちる可能性のあるすべての方法を分析し、各ハンドにスコアを付ける必要があります。 5 枚のカードすべてを捨てる場合、代わりのハンドの可能な組み合わせは combin(47,5)= 1533939 通りあります。特定のハンドの最善のプレイを決定するために分析しなければならないハンドの総数は、combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1 で、偶然にも 2598960 にも等しくなります。したがって、ショートカットをまったく使用しない場合は、2598960 ² = 6,754,593,081,600 ハンドを分析する必要があります。最初のハンドを 191659 に減らしても、分析するハンドは 498,114,074,640 個残ります。明らかに、より多くのショートカットが必要です。デスクトップ コンピュータでこれだけのハンドを処理するには、少なくとも数時間かかります。個人的には、実際にハンドにスコアを付けることはせず、慎重に選択した数式を使用してハンドが改善する確率を決定します。たとえば、任意のペアと 3 つのシングルトンがある場合、ハンドがツーペアに改善する確率は常に同じです。ストレートやフラッシュになると状況は複雑になりますが、それでもまだ対応可能です。私のプログラムは、ジャック以上のカードの期待リターンを約1分で計算できます。以前は1日以上かかっていたことを考えると、かなり誇りに思っています。これでご質問にお答えできたかと思います。

スペードのエースを持っていて、エース以外のシングルトンを4枚捨てたとしましょう。エースでフォー・オブ・ア・カインドが揃う可能性は44通りあります。44は、他の3枚のエースと合わせて、ドローで手に入る可能性のあるシングルトンの数です（52枚からエース4枚と捨てたシングルトン4枚を差し引いた数です）。また、エースと捨てた4枚に加えて、他の8つのランクのいずれかでフォー・オブ・ア・カインドが揃う可能性もあります。つまり、このディールでフォー・オブ・ア・カインドが揃う可能性は合計で44+8=52通りです。このディールの組み合わせの総数はcombin(47,4)=178365通りです。つまり、フォー・オブ・ア・カインドが揃う確率は52/178365 = 3430分の1です。

1. 1/47
2. 1/combin(47,2) = 1/1081
3. 1/combin(47,3) = 1/16215
4. 1/combin(47,4) = 1/178365
5. 4/combin(52,5) = 1/2598960

残り47枚のカードから4枚を選ぶ方法は、combin(47,4) = 178365通りあります。必要な3枚のカードが選ばれる方法は1通りだけです。つまり、確率は178365分の1です。

nプレイマシンで4カードロイヤルを引いた場合、x枚のロイヤルが当たる確率は、combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nxです。combin(n,x)関数の説明については、ポーカーの確率に関するセクションをご覧ください。3プレイの場合、確率は以下のとおりです。

0 ロイヤルズ: 0.937519
1ロイヤル：0.061143
2ロイヤル：0.001329
3ロイヤル：0.000010

最初の質問にお答えすると、最初のハンドで52枚のカードから5枚を選ぶ方法は2598960通りあります。ドローでは、プレイヤーが持っているカードの枚数に応じて、1、47、1081、16215、178365、または1533939通りの交換カードを引くことができます。これらの数字の最小公分母は7669695です。実際の組み合わせは合計7669695になるように重み付けされます。したがって、組み合わせの総数は2,596,960*7,669,695=19,933,230,517,200通りです。2つ目の質問にお答えすると、ビデオポーカーマシンは1から52までの数字をランダムに選び、カードに割り当てるだけです。乱数生成器自体は非常に複雑ですが、目的は単純です。

ネバダ州ゲーミング管理委員会規則14.040.1(a)では、ゲーミング機器はプレイヤーが最適な戦略をとった場合、少なくとも75%のリターンを返さなければならないと規定されています。2つ目の質問にお答えすると、私はビデオポーカーのプログラムを修正し、常に最悪のプレイをするようにしました。例えば、配当のないハンドの5枚すべてをキープし、パットハンドの一部または全部を捨てるというものです。ジャックス・オア・ベターが9/6の場合、この戦略ではリターンは2.72%、ハウスエッジは97.28%となります。以下は完全なリターン表です。このようなプレイヤーは、プレイが悪かったため、カジノを訴えることはできません。

確率は 1/combin(47,2) = 1081 分の 1 です。私が研究したすべてのゲームでは、Chase the Royal ゲームを除いて、ハイペアは 3 ロイヤルよりも強いハンドです。

3枚の2を持っている場合、残りの2ともう1枚のカードを得る方法は46通りあります。デッキに残っている47枚のカードから2枚を選ぶ方法は、combin(47,2)=1081通りです。したがって、3枚の2を持っている状態でドローで4枚の2を得る確率は、46/1081 = 4.26% = 23.5分の1です。2枚の2を持っている場合、さらに2枚の2ともう1枚のカードを得る方法は45通りあります。47枚のカードから3枚を選ぶ方法は、combin(47,3)=16215通りです。したがって、2枚の2を持っている状態でドローで4枚の2を得る確率は、45/16215 = 0.28% = 360.33分の1です。

もしあなたの戦略が、ロイヤルの数を何としても最大化することだとしたら、23081ハンドに1回ロイヤルが出ることになります。ロイヤルの確率が同じ2つのプレイがあった場合、プレイヤーは他のハンドのリターンを最大化するプレイを選ぶと仮定しました。この戦略のハウスエッジは、9/6ジャック以上のゲームでは51.98%です。以下は、各ハンドの確率とリターンを示す表です。

ロイヤルシーカーリターンテーブル

手	精算	確率	戻る
ロイヤルフラッシュ	800	0.000043	0.034661
ストレートフラッシュ	50	0.000029	0.001472
4つの種類	25	0.000222	0.005561
フルハウス	9	0.001363	0.012268
フラッシュ	6	0.00428	0.025681
真っ直ぐ	4	0.004548	0.018191
3つの種類	3	0.020353	0.061058
ツーペア	2	0.046374	0.092749
ジャックス・オア・ベター	1	0.228543	0.228543
何もない	0	0.694243	0
合計	0	1	0.480184

ありがとうございます！はい、以前、1%のアドバンテージしかないベッティングシステムがあれば、そのエッジをグラインドするだけで1,000ドルを1,000,000ドルに増やせると言いました。ビデオポーカーでも同じことが可能ですが、0.77%のアドバンテージを持つゲーム（フルペイのデュースワイルド）はクォーターレベルでしか見つからないため、はるかに時間がかかります。1時間に1,000ハンド（このスピードに到達できる人はほとんどいません）を完璧にプレイできたと仮定すると、平均時給は9.63ドルになります。1,000,000ドルに達するには、11.86年間休みなく働く必要があります。また、クォータービデオポーカーをプレイするには1,000ドルでは資金が不足しすぎるため、破産のリスクはかなり高くなります。テーブルゲームでは、同じエッジでもプレイヤーがより多くの金額を賭けることができるため、1,000,000ドルに到達する方が早いでしょう。

この答えは簡単な公式で表せます。初期投資額をハウスエッジで割るのです。この場合、答えは100ドル/0.02 = 5000ドルです。しかし、ビデオポーカーのボラティリティが高いため、ほとんどの場合、100ドルはそれほど長くは持ちません。

ジャック以上のカードが9/6枚ある場合、スリーカードまたはフルハウスの確率は0.085961です。計算を簡単にするために、スリーカードのランクが3である確率を13で割ります。これは明らかに確率を誇張しています。ジャックからエースまでのカードは、それらのカードをより多く保持するのが正しい戦略なので、これらのカードはより多く出現するからです。0.085961/13 = 0.006612。9ゲームで勝ちを3倍にすることは、18回のフリーゲームを獲得するのと同じです。18 * 0.006612 = 0.119023。これに、スリーカードのスリーカードの出現率が不釣り合いに少ない（おそらく75%）ことを考慮して、何らかの調整係数を適用します。0.119023 * 0.75 = 0.089267。したがって、通常のリターンが何であれ、1.089を掛けます。

デュースワイルドセクションから、1ハンドで4つのデュースが出る確率は0.000204であることがわかります。つまり、1ハンドで4つのデュースが出ない確率は1-0.000204 = 0.999796です。14000ハンドで4つのデュースが出ない確率は0.999796 × ¹⁴⁰⁰⁰ = 5.75%です。

それほど珍しいことではありません。ラスベガスのカジノでは、24時間以内に2回目のロイヤルヒットで配当が2倍になるプロモーションを実施することがあります。例えば、1時間あたり400ハンド、つまり合計3200ハンドのペースで8時間プレイしたとします。1ハンドがロイヤルフラッシュになる確率は0.00002476です。3200ハンドのうちロイヤルが0ハンドになる確率は(1-0.00002476) ^×3200 = 0.923825です。ロイヤルが1ハンドになる確率は3200×0.923825×(1-0.923825)× ³¹⁹⁹ = 0.073198です。つまり、2ハンド以上になる確率は1-0.923825-0.073198 = 0.002977、つまり約336分の1です。

これはポアソン分布に関する良い質問です。ある事象が特定の瞬間に等確率で発生し、他の事象とは独立しており、期待される平均数がmであるとすると、n個の事象が発生する確率はe ^-m *m ⁿ /n!となります。つまり、この状況では確率はe ^-17.76 *17.76 ³ /3! = 0.00001808、つまり55321分の1となります。

プレイ回数に応じてゲームごとにゼロを獲得する確率は次のとおりです。

この表はランダムシミュレーションに基づいています。100回プレイしてゼロの勝利を得ることは理論的には可能ですが、15,820,000回のプレイでそのようなことは一度も起こりませんでした。ですから、そのことについては書かないでください。この表では、10回プレイしてゼロになる確率は0.025914、つまり2.59%です。これが10回連続で起こる確率は、0.025914÷ ¹⁰ = 7,323,073,295,177,980分の1です。

問題のソフトウェアをフリープレイモードで試してみましたが、結果は良好でした。特に10ゲームでは毎回何らかの勝利金を得ることができました。しかし、私の知る限り、このソフトウェアを提供し、米国からのリアルマネープレイヤーを受け入れているカジノは存在しません。さらに調査を進める予定ですが、このフォーラムでその方法を説明するのは控えさせていただきます。

他のハンドがゼロ配当であるかのように、ロイヤルを何としても目指す戦略は、9/6ジャックス・オア・ベターゲームで47.85%のリターンをもたらします。ロイヤルの期待出現頻度は、40388ハンドに1回から23081ハンドに1回に増加します。

ほぼそうです。5プレイで1回のディールにつきロイヤルが2枚以上出た場合、1回の出現としてカウントされるため、出現頻度は5倍よりわずかに少なくなります。これは、ロイヤルの総数が5倍になるからです。ただし、ディールでロイヤルが1枚出た場合、つまりドローで5枚になった場合など、同じプレイでロイヤルがまとまって出現することがあります。

次の表は、フルペイの最適戦略を前提として、保持されているロイヤルのカードの数に応じて 1 回のプレイでロイヤルを作成する確率を示しています。

1プレイビデオポーカーにおけるロイヤルフラッシュの確率

カード保持	取引の確率	引き分けの確率	総確率
0	0.19066396	0.0000014	0.00000027
1	0	0.00000561	0
2	0.01969711	0.00006167	0.00000121
3	0.01299751	0.00092507	0.00001202
4	0.0003309	0.0212766	0.00000704
5	0.00000154	1	0.00000154
合計	0.22369101	0	0.00002208

この表からわかるのは、ロイヤルドローが成立する可能性がある確率が22.37%であるということです。残りの確率は、ワイルドカードやペアを持っているなどの理由でロイヤルは成立しません。右下のセルは、ロイヤルの全体的な確率が0.00002208、つまり45282分の1であることを示しています。

次の表は、同じことを 5 回プレイした場合と、少なくとも 1 つのロイヤルの確率で示しています。

5人プレイビデオポーカーにおけるロイヤルフラッシュの確率

カード保持	取引の確率	引き分けの確率	総確率
0	0.19066396	0.00000698	0.00000133
1	0	0.00002803	0
2	0.01969711	0.00030832	0.00000607
3	0.01299751	0.0046168	0.00006001
4	0.0003309	0.10195134	0.00003374
5	0.00000154	1	0.00000154
合計	0.22369101	0	0.00010268

少なくとも1つのロイヤルが出る確率は0.00010268であることに注目してください。これは、ワンプレイの場合の確率の4.65倍です。これは、少なくとも1つのロイヤルが出る確率が、常にワンプレイの5倍未満であるためです。例えば、ワンプレイではロイヤルが出る確率は1/47です。しかし、5プレイでは少なくとも1つのロイヤルが出る確率は1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341となり、約4.79倍になります。

ボーナスポーカーやダブルボーナスのようなゲームでは、プレイヤーが大きな勝利を収めるチャンスを高めるために、特定のフォーカードに高い配当が設定されていると推測します。もちろん、小さな勝利は犠牲になりますが。エースは通常のポーカーでは最も高いカードなので、プレミアムフォーカードとして4枚のエースが存在するのは理にかなっています。2が4枚のキングよりも高い配当となるのは、プレイヤーが低いカードを持っている頻度が低いため、2が4枚のキングよりも出現頻度が低いからです。つまり、各カードの出現確率は同じですが、プレイヤーの行動によって低いフォーカードの出現頻度が低くなり、ゲームメーカーが低いフォーカードに高い配当を支払いやすくなるのです。

まずは一般的なケースを検討してみましょう。

次のフォー・オブ・ア・カインドが昇格に必要なカードである確率を p と定義します。

q を 1 - p と定義します。

必要な 1 枚を得るために必要な 4 種類の予想数として m を定義します。

確率の合計は1です。したがって、

(1) p + p×q ¹ + p×q ² + p×q ³ + p×q ⁴ + ... = 1

以下は p と q に関する m の式です。

(2) m = 1×p + 2×q×p ¹ + 3×q ² ×p + 4×q ³ ×p + 5×q ⁴ ×p + ...

(2)の両辺にqを掛けます。

(3) mq = 1×pq + 2×p×q ² + 3×p×q ³ + 4×p×q ⁴ + 5×p×q ⁵

(2)から(3)を引く

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

(4)の右辺は(1)の1に等しい。

（５）m - mq = 1

（6）m×（1-q）=1

(7) m = 1/(1-q) = 1/p.

したがって、イベントの確率が p の場合、平均すると発生するまでに 1/p 回の試行が必要になります。

問題に戻りましょう。リストの最初の4枚のカードを消すには、当然1枚の4枚のカードが必要です。次の4枚のカードが必要なカードになる確率は12/13です。つまり、平均すると、1枚のカードを手に入れるのに13/12=1.0833回の試行が必要になります。リストから2枚カードを消した後、次の4枚のカードが必要なカードになる確率は11/13なので、3枚目を手に入れるのにさらに13/11=1.1818回の試行が必要になります。

このパターンに従うと、各種類を少なくとも1つずつ得る4種類の合計期待数は

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41.34173882。

はい。9/6ジャックス・オア・ベターをプレイしていると仮定しましょう。最終ハンドあたりの分散はn*1.966391 + 17.548285です（nはプレイ回数）。つまり、10プレイの場合のハンドあたりの分散は10*1.966391 + 17.548285 = 37.2122、1プレイの場合は1*1.966391 + 17.548285 = 19.51468です。10プレイの場合、最初の1,000ハンド、つまり合計10,000ハンドの分散は10,000*37.2122 = 372,122です。1プレイの場合、10,000ハンドの分散は10,000*19.51468 = 195,149です。しかし、ここで議論すべきは標準偏差、つまり分散の平方根だと思います。10人プレイの10,000ハンドの標準偏差は372,122 ^{× 0.5} = 610.02です。1人プレイの10,000ハンドの標準偏差は195.149 ^{× 0.5} = 441.75です。最終的なハンドの合計が同じであれば、9/6ジャックス・オア・ベターでは、10人プレイは常に38.1%変動が大きくなります。詳しくは、 n人プレイビデオポーカーの標準偏差に関するセクションをご覧ください。

完璧な戦略で9/6ジャックス・オア・ベターをプレイした場合、ドローでロイヤルが出る確率は40,601ハンドに1回ですが、ロイヤルが4枚出る確率は460ハンドに1回です。ロイヤルが出るたびに、88.33回、1枚手札が手に入ることになります。ロイヤルが4枚出る場合、50.37%は何も支払われず、24.89%はペア、7.89%はストレート、16.16%はフラッシュ、0.69%はストレートフラッシュとして支払われます。正確な数字は以下の通りです。

9/6 ジャックス・オア・ベターの可能性のある結果

手	組み合わせ	確率
フォーロイヤル＋ストレートフラッシュ	299529168	0.000015
フォー・トゥ・ロイヤル＋フラッシュ	7005972000	0.000351
フォーロイヤル＋ストレート	3420857076	0.000172
フォーロイヤル＋ペア	10793270244	0.000541
4対ロイヤル（無料）	21844510692	0.001096
ロイヤルフラッシュ	490952388	0.000025
その他すべて	19889375425632	0.9978
合計	19933230517200	1

170個の4対1ロイヤルズの期待値は170/88.33 = 1.92です。平均値が1.92のときに0個が出る確率はe ^-1.92 = 14.59%です。

ポアソン分布は、このような疑問に答えるのに使えます。一般的な公式はe ^-m *m ^x /x!です。ここで、xは観測されたイベントの数、mは期待値です。この場合、xは3です。「 Not so Ugly Ducks deuces wild 」でロイヤルフラッシュが出る確率は0.000023です。したがって、10,000ハンドでロイヤルフラッシュが出る期待値は0.23になります。したがって、10,000ハンドでロイヤルフラッシュがちょうど3つ出る確率はe ^-0.23 *0.23 ³ /3! = 0.161%です。Excelでは、この式はpoisson(3,0.23,0)となります。

ロイヤルの確率は40,000分の1と仮定されていると仮定します。1セッションあたり4,000ハンドプレイすると、1セッションあたりのロイヤルの期待値は0.1です。1セッションあたりロイヤルが0枚の確率に非常に近い近似値はe ^-0.1 = 90.48%です。90%にならないのは、1セッションあたりにロイヤルが複数枚出る場合があるためです。50セッションにおけるロイヤルの期待値は0.1 × 50 = 5です。50セッションでロイヤルが0枚の確率はe ^-5 = 0.67%と近似できます。正確な確率は(39,999/40,000)^(200,000) = 0.67%です。

シングルラインでプレイするなら簡単です。$800,000は$5のハンド160,000回です。つまり、ロイヤルサイクルは3.9616回です。ロイヤルが1回も出ない確率は、e ^-3.9616 = 1.9%と近似できます。

マルチラインゲームになると、計算はより複雑になります。この質問に答える最も簡単な方法は、ランダムシミュレーションだと思います。私のビデオポーカー付録6には、50プレイの9/6ジャックス・オア・ベターで、1ハンドにつき少なくとも1つのロイヤルが出る確率が0.00099893であると示されています。1ドルの50プレイの1ハンドは250ドルです。つまり、最初のハンドを3,200回プレイしたことになります。3,200ハンドのうちロイヤルが出るハンドの期待値は3.1966です。同様の近似法を用いると、ロイヤルが0個出る確率はe ^-3.1966 = 4.09%です。シミュレーション結果に基づく正確な答えは、(1-0.00099893)^3200 = 0.04083732、つまり4.08%です。

どういたしまして。ご質問の答えを見つけるために、9/6 Jacks or Better でランダムシミュレーションをいくつか実行してみました。以下の表は、9/6 Jacks or Better で2～9ラインをプレイした場合の共分散を示しています。分散はベースゲームをプレイした場合と同じになります。

9/6ジャックス・オア・ベター・スピンポーカーにおける共分散

線	共分散
2	1.99
3	3.70
4	9.62
5	15.27
6	19.53
7	23.37
8	27.94
9	33.46

9ライン9/6ジャックス・オア・ベターの例を見てみましょう。ベースゲームの分散は19.52です。共分散は33.46です。つまり、合計分散は19.52 + 33.46 = 52.98です。標準偏差は52.98 ^1/2 = 7.28です。

彼女が一定のレートでフラットベットしている限り、もちろん賭けるべきです。彼女は何らかの価値のないプログレッションを使っているか、あるいはこれは間接的な誇張表現でしょう。このことから、友人側にとって最適なハンド数はどれくらいだろうと考えました。ジャック・オア・ベターが9/6で、最適な戦略をとれば、リードする確率は136ハンドで最大となり、その確率は39.2782%です。

6/5ダブルダブルボーナスのリターンは正確には0.946569です。表によると、ロイヤルの確率は0.000025です。しかし、私はもっと大きな数字を使いたいので、リターンを当選金額で割ると0.020297/800 = 0.00002537となります。ロイヤル以外の当選金額のリターンは0.926273です。損益分岐点のジャックポット額をjとしましょう。jについて解くと：

1 = 0.926273 + 0.00002537*j
j = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906.

2,906はベット単位で表されます。1ドルのマシン（合計ベット額5ドル）の場合、損益分岐点は5ドル×2,906 = 14,530ドルになります。つまり、12,000ドルでは損益分岐点にはまだ程遠いということです。完璧主義者の誰かが私にメールを送る前に言っておきますが、プログレッシブレートが上がるにつれて、最適な戦略は変化し、ロイヤル獲得に向けてより積極的にプレイするようになります。私の回答は、プレイヤーが常に同じ6/5の最適戦略に従うことを前提としています。

52枚のカードを使ったビデオポーカーゲームでは、メーター内のコインが1,000枚増えるごとに0.5%を加算するのが簡単な近似値です。10,100ドルのメーターの場合、非プログレッシブゲームよりも6,100ドル高くなります。これはドルゲームなので、6,100枚のコインが必要です。したがって、0.5% × (6,100/1,000) = 3.05%を基本リターンに加算します。基本リターンは92.63%なので、トータルリターンは94.66% + 3.05% = 97.71%と概算できます。10,100ドルのメーターの実際のリターンは97.75%なので、ほぼ近い値です。

3がロイヤルになる確率は4つのスーツから選べます。5つのランクから3を選ぶ方法は、(5,3)=10通りあります。残りの2枚を選ぶ方法は、(47,2)=1,081通りあります。52枚から5枚を選ぶ方法は、(52,5)=2,598,960通りあります。つまり、3がロイヤルになる確率は、4×10×1081/2,598,960 = 1.66%です。

他の読者のために、あらゆる確率変数の歪度係数（歪度）とは、どちらの方向の裾が長いかを示す指標です。負の歪度は、最も起こりやすい結果が分布の上限側にあり、極端な結果が下限側に偏る傾向があることを意味します。正の歪度はその逆で、最も起こりやすい結果は下限側にありますが、極端な結果が上限側に偏る傾向があります。負の歪度では平均値は中央値より小さくなり、正の歪度では平均値は中央値より大きくなります。正確な計算式はWikipediaや多くの統計書籍で見つけることができます。

大まかに言えば、歪度は1回のセッションでどれだけの頻度で勝利を得られるかと相関関係にあります。ジャックス・オア・ベターでは、ロイヤルが出ない限り、数時間で勝利セッションを得ることはまずありません。一方、ダブル・ダブル・ボーナスでは、高額の4倍の配当があるため、数時間プレイすれば勝利する可能性が高くなります。ほとんどの人は認知バイアスの影響を受けやすいため、負けたときの痛みは勝利したときの喜びの2倍です。人々がダブル・ダブル・ボーナスをプレイするのは、その変動性を好むからではなく、勝つ可能性が高くなるからです。次の表は、一般的な4つのビデオポーカーゲームの主要な統計情報を示しています。ジャックス・オア・ベターで歪度が最も大きいのは興味深い点です。

JoB — 9/6 =ジャックス・オア・ベターのフルペイ
BP — 8/5 = 標準配当ボーナスポーカー
DDB — 9/6 = 標準配当ダブルダブルボーナスポーカー
DW — NSUD = 「それほど醜いアヒルではない」デュース・ワイルド

これを知ることで、ビデオポーカープレイヤーは実際にどう役立つのでしょうか？おそらく、スキューの大きいゲームは、数時間のセッションで負ける可能性が高くなると言えるでしょう。例えば、ジャックス・オア・ベターでは、ロイヤルが出なければ、ハウスエッジによって最終的に資金が減っていくでしょう。しかし、デュース・ワイルドやダブル・ダブル・ボーナスのようなゲームでは、2番目に高い勝ち金がセッション中に窮地から脱出できる可能性があります。つまり、スキューはロイヤルが出ないときに勝てないようにするのです。スキューを知っても勝率は上がりませんが、何が起こるかを知っておくことは精神的に役立ちます。ですから、次に9/6ジャックスで負けたときは、スキューのせいにしましょう。

この質問にご協力いただいた Jeff B. に感謝します。

いい発見ですね！どの通貨でプレイしているか教えていただけませんでしたが、これは重要なので、ドルだと仮定します。5枚のコインの最大ベットで、w（w<1200）の勝利に必要なダブルの回数は、1+int(log(1200)-log(w))/log(2)です。

以下の表は、各イニシャルハンドにおける、ダブル前の勝利額、ダブル前の確率、必要なダブル回数、ダブル後の勝利額、そして250ドルのボーナスを含むダブル後の勝利額を達成する確率を示しています。右下のセルは115.5%のリターンを示しています。平均して297ハンドごとにジャックポットを獲得でき、平均ジャックポットは1,717.46ドルです。

8-5 トリプルボーナスリターンテーブル（1,200 ドル以上の勝利で 250 ドルのボーナス）

プレダブル勝利	支払う	プレダブル確率	ダブルスが必要	ダブル勝利後	二重確率後	戻る
ロイヤルフラッシュ	4000ドル	0.000026	0	4250ドル	0.000026	0.02193
ストレートフラッシュ	500ドル	0.000118	2	2250ドル	0.00003	0.013322
4枚のエース	1200ドル	0.000235	0	1450ドル	0.000235	0.068227
4 2-4	600ドル	0.000542	1	1450ドル	0.000271	0.078557
4 5-K	250ドル	0.001629	3	2250ドル	0.000204	0.091637
フルハウス	40ドル	0.010546	5	1530ドル	0.00033	0.100842
フラッシュ	25ドル	0.011055	6	1850ドル	0.000173	0.063913
真っ直ぐ	20ドル	0.012738	6	1530ドル	0.000199	0.060902
3つ揃い	15ドル	0.075542	7	2170ドル	0.00059	0.256136
2組	5ドル	0.123065	8	1530ドル	0.000481	0.147101
ジャック以上	5ドル	0.211575	8	1530ドル	0.000826	0.252898
合計		0.447071	0	0	0.003364	1.155465

以下の表は、ロイヤルが存在する場合の、カードの枚数に応じた各種類のロイヤルの確率を示しています。ロイヤルの3.4%は、1枚のカードを持っていることから生じます。ロイヤルが存在する確率は40,391分の1なので、ロイヤルが1枚のカードを持っている無条件の確率は1,186,106分の1です。

配られたカードの組み合わせは、combin(52,5)=2,598,960通りあります。私のビデオポーカーのリターンテーブルに約20兆通りの組み合わせがあるのは、ドローで何が起こるかを考慮しなければならないからです。プレイヤーが捨てるカードの枚数に応じた組み合わせの数は次のとおりです。

ビデオポーカーのドローの組み合わせ

破棄	組み合わせ
0	1
1	47
2	1,081
3	16,215
4	178,365
5	1,533,939

これらの組み合わせの最小公倍数は、5×combin(47,5)= 7,669,695です。プレイヤーが何枚のカードを捨てるかに関わらず、返される組み合わせは合計が7,669,695になるように重み付けされます。例えば、プレイヤーが3枚捨てた場合、ドローには16,215通りの組み合わせがあり、それぞれに7,669,695/16,215 = 473の重み付けがされます。

したがって、ビデオポーカーの組み合わせの総数は、2,598,960 × 7,669,695 = 19,933,230,517,200 となります。ビデオポーカーのリターンを自分でプログラムする方法の詳細については、ビデオポーカー分析の方法論に関するページをご覧ください。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

一番の推測はロイヤル・エース・ボーナス・ポーカーです。何年も前にメスキートで一度だけ見たことがあります。エース4枚で800ドルの配当ですが、通常のジャックではなく、エースのペアという最低配当の役で埋め合わせています。配当表はこちらです。

標準偏差は13.58！これは9-6ジャックス・オア・ベターの4.42の3倍以上です。

しかし、簡単に見つけられるゲームに限るなら、標準偏差9.91のTriple Double Bonusを推薦します。こちらがそのペイテーブルです。

この質問は、私の関連サイトであるWizard of Vegasのフォーラムで提起され、議論されました。

7,281.8コイン。興味深いことに、このメーターで一度だけプレイした場合、還元率はわずか98.5%になります。この時点でプレイすべき理由は、ジャックポットを当てるまでプレイできると想定されているからです。これは、2%のキャッシュバック・スロットクラブを持っているようなものです。98.5% + 2% = 100.5%です。

4000コインのジャックポット戦略を、7,281.8コインのジャックポットでプレイし始めた場合、201.18ベットの利益が期待できます。しかし、7,281.8コインのジャックポットで戦略を変える方法を時間をかけて学んだ場合、期待利益は234.31コインになります。

ところで、フランク・ニーランド著『 The Secret World of Video Poker Progressives』を読み終えたところです。この本には、より複雑なプログレッシブ状況に対応する多くの公式が詰まっているだけでなく、長年プログレッシブハンターチームを率いてきたニーランドの経験に基づいた実践的なアドバイスやエピソードも満載です。プログレッシブビデオポーカーで有利な立場にいるプレイヤーにおすすめです。

このような一連の質問にほぼ正確な答えを得るには、行列代数を使う必要があります。似たような、しかしより簡単な質問に、 2010年6月4日のコラムで回答しました。行列代数がまだ苦手なら、まずそちらを復習することをお勧めします。

ステップ1：最初の5,000ハンドでロイヤルが0～6個以上出現する確率を求めます。ロイヤル出現の確率を40,000分の1と仮定します。5,000ハンドにおけるロイヤル出現の期待値は5,000/40,000 = 0.125です。ポアソン分布を用いると、ちょうどr個のロイヤル出現の確率はe ^-0.125 × 0.125 ^r /r!となります。これらの確率は以下のとおりです。

ステップ2：残りの24,995,000ハンドには7つの状態があると仮定します。それぞれの状態において、前の5,000ハンドでロイヤルが0、1、2、3、4、または5個になるか、あるいはプレイヤーが既に5,000ハンドでロイヤルを6個獲得している可能性があります。この場合、成功は達成され、取り消されることはありません。新しいハンドごとに、プレイヤーの状態には以下の3つのいずれかが起こります。

1. レベルが下がります。これは、5,000ゲーム前にプレイされたハンドがロイヤルで、現在ドロップアウトしているが、新しいハンドがロイヤルでなかった場合に発生します。
2. 同じレベルのまま。これは通常、5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルでなく、新しいハンドもロイヤルでない場合、発生します。また、5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルで、新しいハンドもロイヤルである場合にも発生することがあります。
3. レベルアップ。5,000ゲーム前にプレイしたハンドがロイヤルでなく、新しいハンドがロイヤルの場合に発生します。

ステップ 3: 追加でプレイされるゲームの各状態の変化のオッズの遷移マトリックスを作成します。

最初の行は、新しいハンドがプレイされる前のレベル0に相当します。次のハンドでレベル1に進む確率は40,000分の1です。レベル0に留まる確率は39,999/40,000です。

2行目は、新しいハンドがプレイされる前のレベル1に対応します。次のハンドでレベル2に進むオッズは、ドロップオフしたハンドでロイヤルを失わず、新しいハンドでロイヤルを獲得するオッズ = (4999/5000) × (1/40000) = 0.0000250 です。レベル0に戻るオッズは、ドロップオフしたハンドでロイヤルを獲得せず、現在のゲームでロイヤルを獲得するオッズ = (1/5000) × (39999/40000) = 0.0002000 です。同じままである確率は、pr(ロイヤルの離脱なし) × pr(新しいロイヤルなし) + pr(ロイヤルの離脱) × pr(新しいロイヤル) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750 です。

2行目から6行目の確率は、過去5,000ハンドの履歴におけるロイヤルの数に依存します。ロイヤルの数が多いほど、新しいハンドがプレイされる際にロイヤルが1つ消える確率が高くなります。rを過去5,000ハンドにおけるロイヤルの数、pを新しいロイヤルが出る確率とします。

Pr(レベルアップ) = Pr(ロイヤルの離脱なし) × Pr(新しいロイヤル) = (1-(r/5000))× p。

Pr(同じレベルに留まる) = Pr(ロイヤルの離脱なし) × Pr(新しいロイヤルなし) + Pr(ロイヤルの離脱) × Pr(新しいロイヤル) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p。

Pr(レベル降格) = Pr(王族の脱退) × Pr(新しい王族なし) = (r/5000)× (1-p)。

7行目は、5,000ハンド中6枚のロイヤルを獲得するという成功状態を達成したことに相当します。一度この偉業を達成すると、その成功状態は二度と剥奪されないため、その成功状態を維持できる確率は100%です。

遷移行列の行は、上段のレベル0から始まる、新しいハンド前のレベルに対応します。列は、左段のレベル0から始まる、新しいハンド後のレベルに対応します。行列の数値本体は、1ゲームで各古い状態から各新しい状態に移行する確率に対応します。これをT1 = と呼びましょう。

0.999975	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000200	0.999775	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000400	0.999575	0.000025	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000600	0.999375	0.000025	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000800	0.999175	0.000025	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.001000	0.998975	0.000025
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

この遷移行列を自身で乗算すると、連続する2つのゲームにおける各状態変化の確率が得られます。これを2つのゲームにわたる遷移行列T2と呼びましょう。

0.999950	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000400	0.999550	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000800	0.999150	0.000050	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.001199	0.998750	0.000050	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.001599	0.998351	0.000050	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000001	0.001998	0.997951	0.000050
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

ちなみに、Excelで同じサイズの2つの行列を掛け合わせるには、まず新しい行列を配置したい領域を選択します。次に、=MMULT(行列1の範囲, 行列2の範囲)という数式を使用します。最後にCtrl+Shift+Enterキーを押します。

T2 を自身で乗算すると、連続する 4 つのゲームにおける各状態変化の確率、つまり T4 が得られます。

0.999900	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000800	0.999100	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.001598	0.998301	0.000100	0.000000	0.000000	0.000000
0.000000	0.000001	0.002396	0.997503	0.000100	0.000000	0.000000
0.000000	0.000000	0.000003	0.003193	0.996705	0.000100	0.000000
0.000000	0.000000	0.000000	0.000005	0.003989	0.995907	0.000100
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

したがって、T-16,777,216 に達するまで、この倍増プロセスを 24 回繰り返します。

0.882415	0.110305	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000091
0.882415	0.110305	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000092
0.882413	0.110304	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000094
0.882385	0.110301	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000125
0.881714	0.110217	0.006887	0.000287	0.000009	0.000000	0.000885
0.860229	0.107531	0.006720	0.000280	0.000009	0.000000	0.025231
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

もう一度倍にすると、目標のT-24,995,500を超えてしまいます。そこで、既に計算済みのより小さな遷移行列を慎重に掛け合わせる必要があります。2の累乗を使えばどんな数値でも求めることができます（2進法の醍醐味です！）。この場合、T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T- ^{2 19 ×} T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 13 × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

0.882375	0.110300	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000136
0.882375	0.110300	0.006893	0.000287	0.000009	0.000000	0.000136
0.882373	0.110299	0.006892	0.000287	0.000009	0.000000	0.000138
0.882345	0.110296	0.006892	0.000287	0.000009	0.000000	0.000170
0.881675	0.110212	0.006887	0.000287	0.000009	0.000000	0.000930
0.860191	0.107527	0.006719	0.000280	0.000009	0.000000	0.025275
0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000

正直に言うと、シンプルさと時間節約のため、最後の4回の掛け算は気にする必要はありません。これらは最後の56ハンドにのみ対応しており、その56ハンドが最終結果に影響を与える確率はごくわずかです。完璧主義の読者の多くは、もし可能なら私がそんなことを言ったら、きっと木小屋に叩き落とされるでしょう。

ステップ4: 5,000ハンド後の初期状態にT-24,995,500を掛けます。ステップ1のS-0を以下のようにします。

0.8824969026

0.1103121128

0.0068945071

0.0002872711

0.0000089772

0.0000002244

0.0000000048

つまり、S-0 × T-24,995,500 =

0.88237528

0.11029964

0.00689251

0.00028707

0.00000896

0.00000022

0.00013632

一番下のセルの数字は、25,000,000ハンド中、5,000ハンド以内に少なくとも1回は6ロイヤルを達成する確率です。つまり、7,336分の1の確率です。

この質問にご協力いただいた CrystalMath に感謝します。

答える前に、n 個のアイテムから k 個を置換して選択する方法の数は、combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!) であることを思い出していただきたいです。

とはいえ、7 枚のカードのハンドの種類と、それぞれを作成するためのさまざまな方法は次のとおりです。

• 1つのスートのカード7枚: combin(13,7)=1,176。
• 1つのスートのカード6枚と別のスートのカード1枚: COMBIN(13,6)×13 = 22,308。
• 1つのスートのカードが5枚、別のスートのカードが2枚の場合: COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386。
• 1つのスートのカードが5枚と、他の2つのスートのカードがそれぞれ1枚ずつ: COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117。
• 1つのスートのカードが4枚、別のスートのカードが3枚の場合: COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490。
• 1つのスートのカードが4枚、2番目のスートのカードが2枚、3番目のスートのカードが1枚の場合: COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010。
• 1つのスートのカード4枚と、別のスートのカード1枚ずつ 3: COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325。
• 2つの異なるスートのカード3枚と3つ目のスートのカード1枚: 13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533。
• 1つのスートのカード3枚と他の2つのスートのカード2枚ずつ: COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166。
• 1つのスートのカードが3枚、2番目のスートのカードが2枚、他の2つのスートのカードがそれぞれ1枚：COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2,030,028。
• 3 つのスーツからそれぞれ 2 枚のカードと 4 番目のスーツから 1 枚のカード: ((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1,068,080。

これらの組み合わせの合計は6,009,159通りです。52枚のカードから7枚を選ぶ組み合わせ（combin(52,7)= 133,784,560通り）と比較すると、分析対象となるハンドは95.5%減少します。

この質問に関する詳しい議論については、 Wizard of Vegasの私のフォーラムを参照してください。

ペアがフォー・オブ・ア・カインドに改善する確率は、45/COMBIN(47,3) = 約 0.002775208 です。

10 回中 10 回それが起こる確率は、(0.002775208) ¹⁰ = 約 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分の 1 です。

その確率は、パワーボールのチケットを 3 枚、独立してランダムに購入し、その 3 枚すべてに当選するのと同じような確率です。

これは、デッキの残りのカードから各カードが均等に引かれる、自然な確率を持つ通常のビデオポーカーゲームではないという説明です。いいえ、これは「VLT」、つまりビデオ・ロッタリー・ターミナルと呼ばれるものです。このようなゲームでは、プレイヤーがどのように手札を支払ったかに関わらず、結果はあらかじめ決まっています。スクラッチカードの宝くじのようなものですが、ビデオポーカーのように結果がプレイヤーに表示されます。もしプレイヤーが5枚のカードをすべて持っていたらどうなるのかと疑問に思うかもしれません。そうなると、精霊が現れてカードの一部を変えたり、プレイヤーがボーナスを獲得して最終的な賞金を2,500クレジットにしたりしていたでしょう。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで提起され、議論されています。

この問題について、私はビデオポーカーの数学の専門家である尊敬する同僚のゲイリー・ケーラーに尋ねました。デッキの数に応じて、彼の答えは次のとおりです。

最初のロイヤルの場合、どのスーツでも、配りで3枚のロイヤルが完成する確率は4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0.01663742です。ドローでロイヤルが完成する確率は1/combin(47,2) = 0.00092507です。つまり、両方の事象が発生する確率は0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539、つまり64,974分の1となります。

この方法で10回の手札で、任意の2つのスーツのロイヤルが2枚揃う確率は、combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810です。また、2枚のロイヤルは同じスーツでなければならないと指定しました。2枚目のロイヤルが1枚目のロイヤルと一致する確率は1/4なので、前の確率を4で割ると0.00000000266453となり、これは3億7530万1378分の1に相当します。

この質問は、Wizard of Vegasの私のフォーラムで尋ねられ、議論されています。